衡水中学高二上学期第一次月考数学试题与答案

2011—2012学年度高二上学期一调考试
高二年级(理科)数学试卷
一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案
的序号填涂在答题卡上）
1. 过点P(-3,1),Q(0,m)的直线的倾斜角α的范围为[
3
π，32π]，则m 值的范围为（ ） A.m ≥2 B.-24≤≤m C.m 2-≤或m ≥4 D.m ≤0或m ≥2.
2.如果点（5，b ）在两条平行线6x-8y+1=0,3x-4y+5=0之间,则b 应取的整数值为（ ）
A.-4
B.4.
C.-5
D.5.
3．若过点P(-2,1)作圆2
22)1()3(r y x =++-的切线有且只有一条，则圆的半径r 为（ ）
A.29
B. 29
C. 小于29
D. 大于29.
4. 过圆x 2
+y 2
-2x+4y- 4=0内一点M （3，0）作直线 ，使它被该圆截得的线段最短，则直线
的方程是（ ）
A ．x+y-3=0
B ．x-y-3=0
C ．x+4y-3=0
D ．x-4y-3=0
5．函数3
()sin 1()f x x x x R =++∈，若3)(=a f ,则()f a -的值为（ ） A.3 B.0 C.-1 D.-2
6.圆0122
2
=++-+y ax y x 关于直线01=--y x 对称的圆的方程为12
2
=+y x , 则实数a 的值为（ ）
A ．0
B ．6
C ． ±2
D ．2 7. 已知p ：,0)3(:,1|32|<-<-x x q x 则p 是q 的（ ） A ．必要不充分条件 B ． 充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
8. 直线)0(>+=n n my x 经过点)34,4(A ，若可行域⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥-+≤003y y x n my x 围成的三角形的
外接圆的直径为
3
3
14，则实数n 的值是（ ） A. 3或5 B.4或5 C. 3或6 D.3或4
9. 已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2， 则两圆的圆心距等于（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．2
10. 已知等比数列{n a }中，各项都是正数，且1a ，321
,22
a a 成等差数列，则
=++6
58
7a a a a （ ）
A.1+12-
C. 3+
D.3-
11. 若关于x 的方程3)2(42+-=-x k x 有两个不等实数根，则实数k 的范围是 （ ）
A. 53(
,]124 B.5(,)12+∞ C.13(,]24 D.5
(0,]12
12. 若直线1x y
a b
+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ）
A ．221a b +≤
B ．22
1a b +≥ C ．22111a b
+≥
D ．
2
211
1a b
+≤ 二、填空题（每题5分，共20分。

把答案填在题中横线上）
13．等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若157824,8a a a a a +-=-=，则9S 等于______ 14.已知||||1a b ==，a 与b 夹角是b a k d b a c 4,32,1200-=+=且c 与d 垂直，k 的值
为_____
15. 函数)1,0(1)2(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线
01=++ny mx 上，其中0>mn ,则
n
m 2
1+的最小值为 . 16．已知P 是直线0843=++y x 上的动点，PA 、PB 是圆01222
2
=+--+y x y x 的切线， A 、B 是切点，C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值是_________.
三、解答题（共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题10分）过点M （3，0）作直线l 与圆：162
2
=+y x 交于A ，B 两点，求l 的斜率，使△AOB 面积最大，并求此最大面积.
18. （本题12分）已知曲线C ：0422
2
=+--+m y x y x （1）当m 为何值时，曲线C 表示圆；
（2）若曲线C 与直线1+=x y 交于M 、N 两点，且OM ⊥ON(O 为坐标原点)，求m 的值。

19. （本题12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足sin cos .c A a C = （I ）求角C 的大小；
（II ）求)cos(sin 3C B A +-的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．
20. （本题12分） 如图，在四棱锥O —ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4
π
=∠ABC ，
OA ⊥底面ABCD ，且OA=2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点。

（1）证明：直线MN//平面OCD ； （2）求点N 到平面OCD 的距离。

21. （本题12分）某人上午7：00乘汽车以1v 千米/小时1(30100)v ≤≤匀速从A 地出发到距
300公里的B 地，在B 地不作停留，然后骑摩托车以2v 千米/小时2(420)v ≤≤匀速从B 地
出发到距50公里的C 地，计划在当天16：00至21：00到达C 地。

设乘汽车、骑摩托车的
时间分别是x,y 小时，如果已知所需的经费)8(2)5(3100y x p -+-+=元，那么21,v v 分别是多少时走的最经济，此时花费多少元？
22. （本题12分）已知m ∈R ，直线l ：2
(1)4mx m y m -+=和圆C ：
2284160x y x y +-++=。

（1）求直线l 斜率的取值范围；
（2）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12
的两段圆弧？为什么？
2011—2012学年度高二上学期一调考试
高二年级(理科)数学试卷参考答案
一、选择题 CBBAD BBACC AC 二、填空题 108；16；223+；22 三、解答题：
17. 解：要使△AOB 面积最大，则应有∠AOB=900
， ………………2分 此时O 到直线AB 的距离2
2
4⨯
=d =22. ………………4分 又直线AB 的方程)3(-=x k y ，∴
22132
=+k
k ∴22±=k ， ………………8分
此时△AOB 面积有最大值8. ……………………………10分 18.解 （1）由D 2
+E 2
-4F=4+16-4m=20-4m>0，得m<5． …………………………4分 （2）设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，由OM ⊥ON 得x 1x 2+ y 1y 2=0。

将直线方程1+=x y 与曲线C ：x 2
+y 2
-2x-4y+m=0联立并消去y 得
03422=-+-m x x ，
由韦达定理得x 1+x 2=2①, x 1x 2=
2
3
-m ②， ………………………………８分 又由y=x+1得，x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(x 1+1)(x 2+1)=2 x 1x 2+( x 1+x 2)+1=0． 将①、②代入得m=0（满足0>∆）.
综上，m=0 ……………………………………………１２分 19. 解析：（I ）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =因为0,A π<< 所以sin 0.sin cos .cos 0,tan 1,4A C C C C C π
>=≠==从而又所以则
……4分
（II ）)cos(sin 3)cos(sin 3A A C B A --=
+-π
=)6
sin(2cos sin 3π
+=+A A A …………………………………………７分
又12
1166,430π
πππ<
+<<<A A ， 所以2
6
π
π
=
+
A 即3
A π
=
时 2sin()6
A π
+
取最大值2． ………………１０分
综上所述，)cos(sin 3C B A +-的最大值为2，此时5,.3
12
A B π
π
==
…………１２分 20.
……………………………４分
（2）点N 到平面OCD 的距离即为A 点到平面OCD 距离的一半……………………………６分
……………………９分
……………………………１
１分
所以N 到平面OCD 的距离为3
1
. ……… ………………１２分
21.解：由题意得，1
300
v x =
，250v y =
∵204,1003021≤≤≤≤v v ∴525
310,22
x y ≤≤≤≤
由题设中的限制条件得149≤+≤y x
于是得约束条件⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
≤≤≤≤≤+≤2252
5103149y x y x
目标函数y x y x p 23131)8(2)5(3100--=-+-+= ………………６分 做出可行域（如图）， 当2
23,23z
x y y x z +-
=+=即平行移动到过（10，4）点时纵截距最大，此时p 最小. 所以当4,10==y x ，即5.12,3021==v v 时，93min =p 元 ………………１２分 （没有图扣２分）
22. 解： （Ⅰ）直线l 的方程可化为22411
m m
y x m m =
-
++， 直线l 的斜率2
1
m
k m =+， …………………………2分 因为2
1(1)2
m m +≤
， 所以21
12
m k m =
+≤，当且仅当1m =时等号成立． 所以，斜率k 的取值范围是1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，． …………………………5分 （Ⅱ）不能． ……………………………………………………6分
由（Ⅰ）知l 的方程为(4)y k x =-，其中12
k ≤
． 圆C 的圆心为(42)C -，
，半径2r =．
圆心C 到直线l 的距离2
21d k
=
+．………………………………………9分
由
1
2
k≤，得1
d>，即
2
r
d>．
从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于2
3
π
．
所以l不能将圆C分割成弧长的比值为1
2
的两段弧．……………12分。