_北京市中国人民大学附属中学2020-2021学年八年级下学期期末数学模拟试卷(12)解析版

2020-2021学年北京人大附中八年级（下）期末数学模拟试卷（12）一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列计算正确的是（）
A．（﹣a3）2＝a5B．
C．＝a D．（a﹣b）2＝a2﹣ab+b2
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，D为BC边上一点．将△ABD沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，则DE的长为（）
A．B．C．D．
3．在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（）
A．AB＝B．∠BAC＝90°
C．S△ABC＝10D．点A到直线BC的距离是2
4．甲、乙、丙、丁四个小组的同学分别参加了班里组织的中华古诗词知识竞赛，四个小组的平均分相同，若要从中选择出一个各成员实力更平均的小组参加年级的比赛，那么应选（）
甲乙丙丁方差 3.6 3.24 4.3 A．甲组B．乙组C．丙组D．丁组
5．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝2，则OC的长为（）
A．2B．3C．2D．4
6．下列各组数中，能构成直角三角形的是（）
A．4，5，6B．1，1，C．6，8，11D．5，12，23 7．如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A（﹣3，0）、B（0，5）两点，则不等式﹣kx﹣b＜0的解集为（）
A．x＞﹣3B．x＜﹣3C．x＞3D．x＜3
8．如图，已知点D，E分别在∠CAB的边AB，AC上，若P A＝12，∠CAB＝60°，由作图痕迹可得，PE的最小值是（）
A．2B．3C．6D．12
9．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则DH＝（）
A．B．C．D．
10．在平面直角坐标系中，已知函数y＝kx﹣k（k≠0）的图象过点P（2，1），则该函数的
图象可能是（）
A．B．
C．D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．若一组数据1，3，x，5，4，6的平均数是4，则这组数据的中位数是．12．若a＜1，化简＝．
13．如图，有一四边形空地ABCD，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积为．
14．如图，在平行四边形ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处，若∠ACB＝30°，AB＝4，则△ADE的周长为．
15．如图，已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝mx+n相交于点P（﹣4，﹣3），则关于x的不等式mx+n＜kx+b的解集为．
16．如图，在周长为16，面积为6的矩形纸片ABCD中，E是AD的中点．F是AB上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A落在点A'处．在EF上任取一点G，连接GA'，GC，则A'G+GC的最小值为．
三、解答题（共52分）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽8m，高6m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积．
19．某工厂有220名员工，财务科要了解员工收入情况．现在抽测了10名员工的本月收入，结果如下：（单位：元）1660，1540，1510，1670，1620，1580，1580，1600，1620，1620（1）全厂员工的月平均收入是多少？
（2）平均每名员工的年薪是多少？
（3）财务科本月应准备多少钱发工资？
20．甲、乙两家体育用品商店出售相同的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球每盒定价5元，乒乓球拍每副定价40元．现两家商店都搞促销活动，甲店每买一副球拍赠两盒乒乓球；乙店按九折优惠．某班级需购球拍4副，乒乓球x盒．（x≥8）
（1）若在甲店购买付款y甲（元），在乙店购买付款y乙（元），分别写出y与x的函数关系式；
（2）试讨论在哪家商店购买合算？
21．如图，在△ABC中，BD是AC的垂直平分线．过点D作AB的平行线交BC于点F，过点B作AC的平行线，两平行线相交于点E，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．
22．受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”．某水果经销商主动从该种植专业户购进甲、乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．
（1）求出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；
（2）若经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲、乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？
2020-2021学年北京人大附中八年级（下）期末数学模拟试卷（12）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列计算正确的是（）
A．（﹣a3）2＝a5B．
C．＝a D．（a﹣b）2＝a2﹣ab+b2
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及二次根式的加减运算法则、完全平方公式分别化简得出答案．
【解答】解：A、（﹣a3）2＝a6，故此选项错误；
B、﹣＝2﹣＝，故此选项正确；
C、＝|a|，故此选项错误；
D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故此选项错误；
故选：B．
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，D为BC边上一点．将△ABD沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，则DE的长为（）
A．B．C．D．
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可求AC＝5，由折叠的性质可得AE＝AB＝13，BD ＝DE，在Rt△CDE中，由勾股定理可求DE的长．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴AC＝＝＝5，
∵将△ABD沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，
∴AE＝AB＝13，BD＝DE，
∴CE＝8，
∵DE2＝CD2+CE2，
∴DE2＝(12﹣DE)2+64，
∴DE＝，
故选：C．
3．在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（）
A．AB＝B．∠BAC＝90°
C．S△ABC＝10D．点A到直线BC的距离是2
【分析】根据题意和题目中的数据，利用勾股定理，可以得到AB、BC、AC的值，然后即可判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
AB＝＝2，故选项A正确；
AC＝＝，
BC＝＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，故选项B正确；
∴S△ABC＝＝5，故选项C错误；
作AD⊥BC于点D，
则＝5，
即＝5，
解得，AD＝2，
即点A到直线BC的距离是2，故选项D正确；
故选：C．
4．甲、乙、丙、丁四个小组的同学分别参加了班里组织的中华古诗词知识竞赛，四个小组的平均分相同，若要从中选择出一个各成员实力更平均的小组参加年级的比赛，那么应选（）
甲乙丙丁方差 3.6 3.24 4.3 A．甲组B．乙组C．丙组D．丁组
【分析】在平均分相同的情况下，方差越小，波动越小，成绩越稳定．
【解答】解：由图表可得：，
∴若要从中选择出一个各成员实力更平均的小组参加年级的比赛，那么应选乙组．
故选：B．
5．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝2，则OC的长为（）
A．2B．3C．2D．4
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC＝2AB＝4，再根据矩形的对角线互相平分解答．
【解答】解：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝30°，AB＝2，
∴AC＝2AB＝2×2＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC＝OA＝AC＝2．
故选：A．
6．下列各组数中，能构成直角三角形的是（）
A．4，5，6B．1，1，C．6，8，11D．5，12，23
【分析】根据勾股定理逆定理：a2+b2＝c2，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．【解答】解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；
B、∵12+12＝，∴能构成直角三角形，故B正确；
C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；
D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．
故选：B．
7．如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A（﹣3，0）、B（0，5）两点，则不等式﹣kx﹣b＜0的解集为（）
A．x＞﹣3B．x＜﹣3C．x＞3D．x＜3
【分析】首先根据不等式的性质知，不等式﹣kx﹣b＜0的解集即为不等式kx+b＞0的解集，然后由一次函数的图象可知，直线y＝kx+b落在x轴上方的部分所对应的x的取值，即为不等式kx+b＞0的解集，从而得出结果．
【解答】解：观察图象可知，当x＞﹣3时，直线y＝kx+b落在x轴的上方，
即不等式kx+b＞0的解集为x＞﹣3，
∵﹣kx﹣b＜0
∴kx+b＞0，
∴﹣kx﹣b＜0解集为x＞﹣3．
故选：A．
8．如图，已知点D，E分别在∠CAB的边AB，AC上，若P A＝12，∠CAB＝60°，由作图痕迹可得，PE的最小值是（）
A．2B．3C．6D．12
【分析】根据作图痕迹可得，AP是∠BAC的平分线，根据角平分线上的点到角的两边距离相等即可得PE的最小值．
【解答】解：根据作图痕迹可知：AP是∠BAC的平分线，
∵∠CAB＝60°，
∴∠CAP＝∠P AB＝30°，
当PE⊥AC时，PE最小，
∵P A＝12，∠P AB＝30°，
∴P到AC的最小值是：×12＝6．
故选：C．
9．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则DH＝（）
A．B．C．D．
【分析】根据菱形的面积等于对角线积的一半，可求得菱形的面积，又由菱形的对角线
互相平分且垂直，可根据勾股定理得AB的长，根据菱形的面积的求解方法：底乘以高或对角线积的一半，即可得菱形的高．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝4cm，OB＝OD＝3cm，
∴AB＝＝＝5cm，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝AB•DH，
∴DH＝＝（cm）．
故选：C．
10．在平面直角坐标系中，已知函数y＝kx﹣k（k≠0）的图象过点P（2，1），则该函数的图象可能是（）
A．B．
C．D．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值，利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数图象经过的象限，对照四个选项中的函数图象即可得出结论．
【解答】解：∵函数y＝kx﹣k（k≠0）的图象过点P（2，1），
∴1＝2k﹣k，
∴k＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣1．
∵1＞0，﹣1＜0，
∴一次函数y＝x﹣1经过第一、三、四象限．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．若一组数据1，3，x，5，4，6的平均数是4，则这组数据的中位数是 4.5．【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【解答】解：×（1+3+x+5+4+6）＝4，
x＝5，
将这组数据按小到大排列：1，3，4，5，5，6，
故中位数＝4.5，
故答案为4.5．
12．若a＜1，化简＝﹣a．
【分析】＝|a﹣1|﹣1，根据a的范围，a﹣1＜0，所以|a﹣1|＝﹣（a﹣1），进而得到原式的值．
【解答】解：∵a＜1，
∴a﹣1＜0，
∴＝|a﹣1|﹣1
＝﹣（a﹣1）﹣1
＝﹣a+1﹣1
＝﹣a．
故答案为：﹣a．
13．如图，有一四边形空地ABCD，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积为36．
【分析】连接BD，先根据勾股定理求出BD，进而判断出△BCD是直角三角形，最后用面积的和即可求出四边形ABCD的面积．
【解答】解：如图，连接BD，
∵在Rt△ABD中，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，
根据勾股定理得，BD＝5，
在△BCD中，BC＝12，CD＝13，BD＝5，
∴BC2+BD2＝122+52＝132＝CD2，
∴△BCD为直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD
＝AB•AD+BC•BD
＝×3×4+×12×5
＝36．
故答案为：36．
14．如图，在平行四边形ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处，若∠ACB＝30°，AB＝4，则△ADE的周长为24．
【分析】先根据平行四边形性质和折叠性质证得：DE＝8，AD＝AE，∠D＝∠E，∠ACD ＝∠ACE＝90°，进而得△ADE是等边三角形，进而得出结论．
【解答】解：∵平行四边形ABCD，AB＝4，
∴AD∥CD，AB＝BC＝4，
∴∠BCE＝∠D，
∵△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处，
∴∠D＝∠E，∠ACD＝∠ACE＝90°，CD＝CE＝4，AD＝AE，
∴∠D＝∠E＝∠BCE，DE＝CD+CE＝4+4＝8，
∵∠ACB＝30°，
∴∠D＝∠E＝∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝90°﹣30°＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE＝DE＝8，
∴C△ADE＝3×8＝24，
故答案为：24．
15．如图，已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝mx+n相交于点P（﹣4，﹣3），则关于x的不等式mx+n＜kx+b的解集为x＞﹣4．
【分析】观察函数图象得到当x＞﹣4时，直线l2：y＝mx+n在直线l1：y＝kx+b的下方，于是得到不等式mx+n＜kx+b的解集．
【解答】解：根据图象可知，不等式mx+n＜kx+b的解集为x＞﹣4．
故答案为x＞﹣4．
16．如图，在周长为16，面积为6的矩形纸片ABCD中，E是AD的中点．F是AB上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A落在点A'处．在EF上任取一点G，连接GA'，GC，则A'G+GC的最小值为2．
【分析】连接AC交EF于H，连接A′H，当点G与点H重合时，此时A'G+GC的值最小，由勾股定理求出AC的长，则可得出答案．
【解答】解：连接AC交EF于H，连接A′H，当点G与点H重合时，此时A'G+GC的值最小，
设AB＝x，BC＝y，
∵矩形ABCD的周长为16，面积为6，
∴，
∴x2+y2＝52，
∴AC＝＝＝2．
∴A'G+GC的最小值为2．
故答案为：2．
三、解答题（共52分）
17．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先分母有理化，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可；
（2）利用二次根式的乘除法则运算．
【解答】解：（1）原式＝﹣6+
＝﹣6++
＝﹣5+；
（2）原式＝2×××
＝a2b2．
18．如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽8m，高6m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积．
【分析】此题只需根据勾股定理计算直角三角形的斜边，即矩形的宽．再根据矩形的面
积公式计算．
【解答】解：根据勾股定理得，蔬菜大棚的斜面的宽度即直角三角形的斜边长为：m，
所以蔬菜大棚的斜面面积为：10×20＝200m2．
答：阳光透过的最大面积为200平方米．
19．某工厂有220名员工，财务科要了解员工收入情况．现在抽测了10名员工的本月收入，结果如下：（单位：元）1660，1540，1510，1670，1620，1580，1580，1600，1620，1620（1）全厂员工的月平均收入是多少？
（2）平均每名员工的年薪是多少？
（3）财务科本月应准备多少钱发工资？
【分析】（1）要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；
（2）年薪用月平均工资乘以12即可求得；
（3）平均数乘以220即可．
【解答】解：（1）员工的月平均收入为：
＝1600（元）；
（2）平均每名员工的年薪是1600×12＝19200（元）；
（3）从（2）得到员工的月平均收入为1600元，工厂共有220名员工，
所以，财务科本月应准备1600×220＝35.2（万元）．
20．甲、乙两家体育用品商店出售相同的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球每盒定价5元，乒乓球拍每副定价40元．现两家商店都搞促销活动，甲店每买一副球拍赠两盒乒乓球；乙店按九折优惠．某班级需购球拍4副，乒乓球x盒．（x≥8）
（1）若在甲店购买付款y甲（元），在乙店购买付款y乙（元），分别写出y与x的函数关系式；
（2）试讨论在哪家商店购买合算？
【分析】（1）根据题意和两种优惠政策分别列出函数关系式即可；
（2）根据（1）得出的关系式，联立方程，然后进行比较即可得出答案．
【解答】解：（1）在甲店购买需付款：y甲＝5x+120，
在乙店购买需付款：y乙＝144+4.5x；
（2）5x+120＝144+4.5x，
解得：x＝48，
8≤x＜48时，在甲商店购买合算，
x＝48时，在甲乙商店购买一样合算，
x＞48时，在乙商店购买合算．
21．如图，在△ABC中，BD是AC的垂直平分线．过点D作AB的平行线交BC于点F，过点B作AC的平行线，两平行线相交于点E，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．
【分析】求出∠BDC＝90°，根据平行四边形的判定得出四边形ABED是平行四边形，关键平行四边形的性质得出AD＝BE，根据平行四边形的判定得出四边形BECD是平行四边形，根据矩形的判定得出即可．
【解答】证明：∵BD是AC的垂直平分线
∴AD＝DC，BD⊥CA，
∴∠BDC＝90°，
∵由题意知：AB∥DE，AD∥BE
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AD＝BE，
∴DC＝BE，
又AC∥BE
即DC∥BE
∴四边形BECD是平行四边形，
∴四边形BECD是矩形．
22．受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”．某水果经销商主动从该种植专业户购进甲、乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．
（1）求出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；
（2）若经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲、乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？
【分析】（1）由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．（2）设购进甲种水果为a千克，则购进乙种水果（100﹣a）千克，根据实际意义可以确定a的范围，结合付款总金额（元）与种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少．
【解答】解：（1）当0≤x≤50时，设y＝k1x（k1≠0），根据题意得50k1＝1500，
解得k1＝30；
∴y＝30x；
当x＞50时，设y＝k2x+b（k2≠0），
根据题意得，，
解得，
∴y＝24x+300．
∴y＝；
（2）设购进甲种水果为a千克，则购进乙种水果（100﹣a）千克，
∴40≤a≤60，
当40≤a≤50时，w1＝30a+25（100﹣a）＝5a+2500．
当a＝40 时．w min＝2700 元，
当50＜a≤60时，w2＝24a+300+25（100﹣a）＝﹣a+2800．
当a＝60时，w min＝2740 元，
∵2740＞2700，
∴当a＝40时，总费用最少，最少总费用为2700 元．
此时乙种水果100﹣40＝60（千克）．
答：购进甲种水果为40千克，购进乙种水果60千克，才能使经销商付款总金额w（元）最少．。