人教A版数学必修一2.5幂函数

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（4）∵f(x)==的定义域为{x|x≥0}，定义域不关于原 点对称， ∴f(x)为非奇非偶函数. （5）∵f(x)===, ∴f(x)的定义域为(0,+∞). ∴f(x)为非奇非偶函数.
【评析】一般先将函数式化成正指数幂或根式形式， 确定定义域，再用定义判断奇偶性；也可通过图象特 征来判断.
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（2）由题意得a2-5a+5=1 a2-3a+2≠0, （3）由题意得a2-5a+5=-1 a2-3a+2≠0, 【评析】正确理解幂函数与以往所学函数的关系，有 利于温故知新.
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已知幂函数f(x)=(k∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上 是增函数，求函数f(x)的解析式. 由已知>0,即k2-2k-3<0,∴-1<k<3,又 ∵k∈Z,∴k=0,1,2.当k=0时,f(x)=不是偶函数；当 k=1时，f(x)=x2是偶函数；当k=2时， f(x)=不是偶函数,∴f(x)=x2.
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
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1.一般地,函数y=xa叫做，幂其函中数x是自变量,a是常数.
2.幂函数y=xa具有下面性质：
（1）所有的幂函数在区间上都(0,有+∞定) 义，并且函数图象都
通过点.
(1,1)
（2）如果a>0，则幂函数的图象都通过点，(并0,0且) 在区间 上是增函［数0,.+∞)
【评析】由幂函数不等式求变量范围，实质上仍是对图象 与单调性的考查.
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已知幂函数y=(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0,+∞) 上,函数值随x的增大而减小，求满足
的a的取值范围.
根据条件确定m的值，再利用幂函数的增减性求a的取值 范围.
∵函数在(0,+∞)上递减，∴m2-2m-3<0,解得-1<m<3.
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1.把握好幂函数定义的结构特点 幂函数定义仍是结构定义，其特点是xα的系数 为1，底数是自变量x的系数为1的单项式. 2.幂函数定义域的求法 幂函数的定义域随着α取值不同而不同,若遇到 分数指数型幂函数，应先化为根式，再由根式性 质求定义域.
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3.幂函数图象凸凹性 （1）当α>1时，在第一象限为下凹的； （2）当0<α<1时，在第一象限为上凸的； （3）当α<0时，在第一象限为下凹的. 4.幂函数的单调性与奇偶性 （1）单调性要由α的取值范围确定； （2）奇偶性讨论：由于我们主要研究指数为分 数的幂函数，因而先将其化为根式，再由奇偶性 定义判断.
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学点一幂函数的定义 已知函数y=(a2-3a+2)(a为常数). （1）当a为何值时，此函数为幂函数？ （2）当a为何值时，此函数为正比例函数？ （3）当a为何值时，此函数为反比例函数？
【分析】根据幂函数、正比例函数、反比例函数的定 义可求. 【解析】（1）由题意得a2-3a+2=1，即a2-3a+1=0, ∴a=.
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（2），而， 则,∴ （3）∵π>0,而(a-1)π=a-π,(bπ)-1=b-π, ∴a-π<b-π,即(a-1)π<(bπ)-1. （4）函数y=1.1x在(-∞,+∞)上是递增的， ∵, ∵函数y=在(0,+∞)上是递增的，又
综上，.
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学点三奇偶性的判定 判断下列函数的奇偶性
【分析】判定函数奇偶性应用函数奇偶性定义. 【解析】（1）∵f(-x)=（-x）=-x=-f(x)，又∵定义域为R, ∴y=x为奇函数. （2）f(x)=x,定义域为R，且f(-x)=(-x) =［(-x)2］=x为偶函数. （3）∵f(x)=x-2=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，又 ∵f(-x)==f(x), ∴f(x)为偶函数.
f(x1)-f(x2)=
因为x1-x2<0,>0,
所以f(x1)<f(x2)，即幂函数f(x)=x在［0,+∞)上是增函数.
【评析】在证明函数的单调性时，既可以用作差的方法，
也可以用作商的方法，都可以证明函数f(x)=x在［0,+∞)上
是增函数.
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已知函数f(x)=-xm,且f(4)=-. （1）求m的值； （2）判断f(x)在(0,+∞)上的单调性.
（3）如果a<0，则幂函数在区间上(是0,+减∞函) 数，当x从右边 趋向于时，图象在yy轴轴右方无限地逼近；当x趋向于+∞时 ，图象y轴在x轴上方无限地逼近轴.
x
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3.在如图所示的幂函数图象中，幂函数①②③中α的取值
范围分别为，(-∞，,0. ) (1,+∞)
(0,1)
4.要作出幂函数在其他象限的图象，可由函数在第一象限 的形状及函数的作出奇. 偶性
又∵m∈N*,∴m=1,2.又∵函数图象关于y轴对称，∴m22m-3为偶数，故m=1,∴有(a+1)<(3-2a).
又∵y=x在(-∞,0),(0,+∞)上均递减，
∴a+1>3-2a>0或0>a+1>3-2a或3-2a>0>a+1,解 得<a<或a<-1.
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1.学习幂函数时，应注意什么问题？
（1）并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如 y=x+1,y=x2-2x都不是幂函数.
【评析】比较大小题要综合考虑函数的性质，特 别是单调性的应用，更要善于运用“搭桥法”进行 分组，常数0和1是常用的参数.
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比较大小: (1);(2)与; (3)(a-1)π与（其中a>b>0）;(4)
（1）∵,且>1,6.3>6.2, ∴与实际上是幂函数y=x在x=6.3与x=6.2的函数值，根据幂函 数的性质知函数y=x(x>0)是增函数，即 (6.3)>(6.2),∴(-6.3)>(-6.2).
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（2）∵函数y=x与y=x的定义域都是R，y=x的图 象分布在第一、二象限；y=x的图象分布在第一、三 象限. ∴当x∈(-∞,0)时，x>x; 当x=0时，显然不合题意； 当x∈(0,+∞)时，x>0,x>0,=x>1,∴x>1. 即x>1时，x>x. 综上所述，满足条件的x的取值范围为{x|x<0或x>1}.
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学点二比较大小 比较下列各组数的大小： （1）和; （2）和; （3）和. 【分析】依据幂函数的图象和性质比较大小.
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【解析】（1）函数y=3在(0,+∞)上为减函数， 又3<3.1，所以. （2），函数y=在(0,+∞)上为增函 数，又因为,则，从而.
（3）， 函数y=在(0,+∞)上为减函数，又因为, 所以
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（1）y==,∴x≥0,∴定义域［0,+∞)不关于原点对称,为非奇 非偶函数. （2）y=,∴x>0, ∴定义域(0,+∞)不关于原点对称，为非奇非偶函数. （3）y=,∴x∈R, ∴满足f(-x)=f(x),f(x)为R上的偶函数.
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学点四幂函数的单调性
证明：幂函数f(x)=在［0,+∞)上是增函数. 【分析】由函数单调性定义作出证明. 【证明】任取x1,x2∈［0,+∞)，且x1<x2,则
(1)f(4)=-4m=-72, 即4m=4,∴m=1. ∴f(x)=-x.
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(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=-x1-(-x2) =(-)-(x1-x2)
=-(x1-x2)
= ∵x2-x1>0,x1x2>0, ∴f(x1)-f(x2)>0, 即函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.
学点五幂函数的简单应用 （1）已知(0.71.3)m<(1.30.7)m，求m的取值范围； （2）已知x>x，求x的取值范围.
【分析】根据幂函数图象、单调性比较大小. 【解析】（1）∵根据幂函数y=x1.3的图象知当0<x<1时 ，0<y<1,∴0<0.71.3<1，又∵根据幂函数y=x0.7的图象知 当x>1时,y>1，∴1.30.7>1,于是有0.71.3<1.30.7, 考查幂函数y=xm，由(0.71.3)m<(1.30.7)m知,当x>0时，随着 x增大，函数值也增大，∴m>0.
（2）求幂函数的定义域时，可分四种情况：一是α为正 整数；二是α为正分数；三是α为负整数；四是α为负分 数. 2.如何更好地掌握幂函数的图象与性质？
要想更好地掌握幂函数的ຫໍສະໝຸດ 象与性质，首先必须熟练地 掌握幂函数在第一象限的图象与性质，其次掌握幂函数 的奇偶性，这样幂函数的图象由对称性即可确定其完整 图形，则其性质即可由图象得到.