2019-2020学年高中数学人教A版必修2一课三测：4.1.2 圆的一般方程 含解析

4．1。

2圆的一般方程
填一填
1.圆的一般方程
当D2＋E2－4F〉0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
条件图形
D2＋E2－4F<0不表示任何图形
D2＋E2－4F＝
表示一个点错误!
D2＋E2－4F>0表示以错误!为圆心，以错误!错误!为半径的圆3。

由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
已知点M(x0，y0）和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F〉0)，则其位置关系如表：
位置关系代数关系
点M在圆外x错误!＋y错误!＋Dx0＋
Ey0＋F>0
点M在圆上x错误!＋y错误!＋Dx0＋
Ey0＋F＝0
点M在圆内x错误!＋y错误!＋Dx0＋
Ey0＋F〈0
判一判
1.任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程．（√）
2．圆的一般方程和标准方程可以互化．(√)
3．方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示圆．（×）
4．若点M（x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x2，0＋y错误!＋Dx0＋Ey0＋F>0。

(√）5．方程2x2＋y2－7y＋5＝0表示一个圆．(×)
6．圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的半径为1
2错误!.（√)
7．若D2＋E2－4F<0,则方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任意图形．(√) 8．若直线l将圆x2＋y2－1）．（√)
想一想
1.若圆心是原点时，圆的一般方程应为怎样的形式？
提示:x2＋y2＋F＝0
2．若二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆,需满足什么条件？提示：①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4AF〉0。

3．待定系数法求圆的一般方程的步骤是什么？
提示：（1）根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0。

(2）根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组．
(3)解此方程组，求出D，E，F的值．
（4）将所得的值代回所设的圆的方程中,就得到所求的圆的一般方程．
4．求与圆有关的轨迹问题的方法有哪些?
提示：(1）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
（2)定义法:根据圆、直线等定义列方程．
（3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
思考感悟:
练一练
1.若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心,则a的值为( ) A．－1 B．1
C．3 D．－3
答案：B
2．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为（)
A．(4，－6），r＝16 B．(2，－3），r＝4
C．（－2,3），r＝4 D．(2,－3），r＝16
答案：C
3．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆,则k的取值范围是( ）A．(－∞，－1）
B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1）∪(3，＋∞）
D.错误!
答案:A
4．圆心是（－3，4），经过点M(5，1)的圆的一般方程为________．
答案:x2＋y2＋6x－8y－48＝0。

5．圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直径为3，则m的值为________．
答案：错误!
知识点一二元二次方程与圆的关系
1.下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径．
(1）x2＋y2＋x＋1＝0；
(2）x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)．
解析:(1）D＝1，E＝0，F＝1,D2＋E2－4F＝1－4＝－3<0,所以方程（1)不表示任何图形．
（2）D＝2a,E＝0，F＝a2，D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，所以方程（2）表示点(－a，0)．2．下列方程能表示圆吗？若能表示圆，求出圆心坐标和半径．
（1）2x2＋y2－7x＋5＝0；
（2）x2－xy＋y2＋6x＋yt＝0.
解析:(1)不能表示圆，因为方程中x2，y2的系数不相同．
（2
知识点二求圆的方程
3。

与圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0同心，且过点（1，－1)的圆的方程是（）
A．x2＋y2－4x＋6y－8＝0
B．x2＋y2－4x＋6y＋8＝0
C．x2＋y2＋4x－6y－8＝0
D．x2＋y2＋4x－6y＋8＝0
解析：设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋m＝0，由该圆过点（1，－1)，得m＝8，所以所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0.
答案：B
4．已知圆过A(2,2），C(3,－1），且圆关于直线y＝x对称,求圆的一般方程．
解析：设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0,
由题意得错误!得错误!
22
知识点三求动点的轨迹方程(或轨迹）
5。

已知圆C：(x－a）2＋（y－b）2＝1过点A（1,0)，则圆C的圆心的轨迹是（）
A．点B．直线
C．线段D．圆
解析：∵圆C:（x－a)2＋(y－b)2＝1过点A（1，0)，
∴(1－a)2＋（0－b)2＝1,即(a－1)2＋b2＝1，
∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0）为圆心，1为半径长的圆．
答案：D
6.
如图，经过圆x2＋y2＝4上任意一点P作x轴的垂线,垂足为Q。

求线段PQ的中点M的轨迹方程．
解析：设M（x，y），P(x0,y0)，则错误!又点P（x0，y0）在圆x2＋y2＝4上，所以x错误!＋y错误!＝4.所以x2＋4y2＝4
综合知识圆的一般方程
7.已知A（2，2)，B(5，3），C（3，－1)，求△ABC外接圆的方程．
解析：方法一设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意得错误!解得错误!
所以△ABC外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0。

方法二设所求的圆的方程为（x－a)2＋（y－b)2＝r2，
由题意得错误!解得错误!
故所求的圆的方程为(x－4）2＋（y－1）2＝5。

8．设定点M（－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM,ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
解析:
如图所示，设P（x，y)，
N(x0，y0）,
则线段OP的中点坐标为错误!，线段MN的中点坐标为错误!.
由于平行四边形的对角线互相平分，
故错误!＝错误!，错误!＝错误!，
从而错误!
又点N（x＋3，y－4）在圆上，故（x＋3)2＋(y－4)2＝4。

当点P在直线OM上时,
有x＝－错误!，y＝错误!或x＝－错误!，y＝错误!.
因此所求轨迹为圆（x＋3）2＋（y－4）2＝4,除去点错误!和点错误!.
基础达标
一、选择题
1．圆2x2＋2y2＋6x－4y－3＝0的圆心坐标和半径分别为（）
A。

错误!和4 B．(3,2)和4
C.错误!和错误!D。

错误!和错误!
解析：由一般方程的圆心为错误!，半径r＝错误!错误!,易知圆心的坐标为错误!,半径为错误!。

答案：C
2．已知圆x2＋y2－2ax－2y＋(a－1）2＝0(0<a<1）,则原点O在（)
A．圆内B．圆外
C．圆上D．圆上或圆外
解析：先化成标准方程（x－a）2＋(y－1）2＝2a，因为0<a<1，所以（0－a）2＋（0－1）2＝a2＋1>2a，即原点在圆外．
答案：B
3．若动圆M在x轴与y轴上截得的弦长总相等，则圆心M的轨迹方程是( ）
A．x－y＝0 B．x＋y＝0
C．x2＋y2＝0 D．x2－y2＝0
解析：圆心M的坐标(x，y)应满足y＝x或y＝－x，等价于x2－y2＝0.
答案：D
4．已知点P(2，1）在圆C：x2＋y2＋ax－2y＋b＝0上，点P关于直线x＋y－1＝0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为（)
A．(0，1) B．(1,0)
C．(2,1) D．(1，2）
解析：由题意圆心C错误!在直线x＋y－1＝0上,从而有－错误!＋1－1＝0，所以a＝0,所以圆C 的圆心坐标为（0，1)，故选A.
答案：A
5．下列四条直线中，将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是( )
A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0
解析：由题意,知圆心是(1，2)，将圆平分的直线必过圆心，所以将圆心的坐标代入各选项验证知选C.
答案：C
6．若圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0关于直线l1：x－y＋4＝0和直线l2：x＋3y＝0都对称，则D＋E 的值为( ）
A．－4 B．－2
C．2 D．4
解析：由题知直线l1，l2过已知圆的圆心，
所以错误!所以错误!
所以D＋E＝4.
答案:D
7．已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x＋4y＋4＝0相切，则圆的方程是( ）A．x2＋y2－4x＝0 B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2－2x－3＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0
解析：设圆心为C(m,0）（m〉0）,因为所求圆与直线3x＋4y＋4＝0相切，
所以错误!＝2，
整理,得|3m＋4|＝10，
解得m＝2或m＝－错误!(舍去)，
故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，
即x2＋y2－4x＝0，故选A。

答案：A
二、填空题
8．圆x2＋y2＋2ax＝0（a≠0）的圆心为________，半径为________．
解析：圆x2＋y2＋2ax＝0（a≠0）化为（x＋a)2＋y2＝a2其圆心为(－a,0)，半径为｜a|。

答案：（－a，0) ｜a｜
9．已知圆x2＋y2－2x－8y＋1＝0的圆心到直线ax－y＋1＝0的距离为1，则a＝________.
解析：圆x2＋y2－2x－8y＋1＝0的圆心C（1,4），因为圆x2＋y2－2x－8y＋1＝0的圆心到直线
ax－y＋1＝0的距离为1,
所以d＝错误!＝1，解得a＝错误!.
答案：错误!
10．已知两点A(－2,0)，B(0，2），点C是圆x2＋y2－2x＋2y＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值为________．
解析:圆x2＋y2－2x＋2y＝0化为(x2－2x＋1)＋(y2＋2y＋1）＝2，
即(x－1)2＋（y＋1)2＝2，
由题意即为在圆上找一点到线段AB的距离最小即可,
k AB＝错误!＝1，直线AB:y－2＝x,
所以线段AB：y＝x＋2（－2≤x≤0)，
圆心(1，－1)到其距离d＝错误!＝2错误!，
所以圆上某点到线段AB的距离最小值为2错误!－错误!＝错误!，
因为｜AB｜＝－2－02＋0－22＝2错误!，
所以S△ABC min＝错误!｜AB|×错误!＝错误!×2错误!×错误!＝2。

答案：2
11．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2）2的最小值为________．
解析：由题意,得直线l过圆心M(－2，－1)，则－2a－b＋1＝0,则b＝－2a＋1,所以(a－2)2＋(b－2)2＝（a－2)2＋（－2a＋1－2）2＝5a2＋5≥5，所以（a－2）2＋（b－2）2的最小值为5.
答案：5
12．动圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心的轨迹方程为________．
解析:设动圆圆心为（x,y），由题意得错误!整理得x－2y－1＝0。

答案:x－2y－1＝0
三、解答题
13．判断下列方程是否表示圆，若是,求出圆心和半径．
(1)x2＋y2－x＋错误!＝0；
(2)x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)；
（3）x2＋y2＋2ay－1＝0。

解析：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆，关键看将该方程配方转化为圆的标准方程的形式错误!2＋错误!2＝错误!后，D2＋E2－4F是否大于0，若大于0则表示圆,否则不表示圆．方法一(1）将原方程转化为错误!2＋y2＝0，
表示一个点，坐标为错误!。

(2)将原方程转化为（x＋a)2＋y2＝a2(a≠0),
表示圆，圆心为(－a，0），半径r＝｜a｜。

（3）将原方程转化为x2＋（y＋a）2＝1＋a2,
表示圆，圆心为（0，－a），半径r＝错误!。

方法二（1）因为D2＋E2－4F＝(－1)2＋02－4×1
4＝0，
所以表示一个点，其坐标为错误!。

（2）因为D2＋E2－4F＝4a2＋0－0＝4a2>0(a≠0)，所以表示圆．又因为－错误!＝－a，
－错误!＝0，错误!错误!＝错误!·错误!＝｜a｜,
所以圆心为(－a,0),半径r＝｜a｜。

(3)因为D2＋E2－4F＝02＋(2a）2＋4＝4（1＋a）2>0，
所以表示圆．
又因为－错误!＝0，－错误!＝－a,
错误!错误!＝错误!，
所以圆心为（0,－a），半径r＝错误!.
14．一个等腰三角形底边上的高等于5,底边两端点的坐标分别是(－4,0),(4,0),求它的外接圆的方程．
解析：由题意得，等腰三角形顶点的坐标为（0，5）或（0,－5)．
当顶点坐标为(0,5）时，设三角形外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则错误!解得错误!
所以圆的方程为x2＋y2－错误!y－16＝0。

当顶点坐标是(0，－5）时，同理可得圆的方程为x2＋y2＋错误!y－16＝0.
综上，它的外接圆的方程为x22错误!22错误!y－16＝0.
能力提升
15.已知曲线C：（1＋a）x2＋
(1）当a取何值时，方程表示圆；
（2)求证：不论a为何值，曲线C必过两定点；
(3)当曲线C表示圆时，求圆面积最小时a的值．
解析:（1)当a＝－1时，方程为x＋2y＝0，为一条直线；
当a≠－1时，错误!2＋错误!2＝错误!表示圆．
(2)证明：方程变形为x2＋y2－4x＋a(x2＋y2＋8y)＝0。

令错误!解得错误!或错误!
故C过定点A（0，0)，B错误!。

（3）因为圆恒过点A，B，
所以以AB为直径的圆面积最小，
则圆心为错误!。

所以错误!＝错误!,解得a＝错误!.
16．已知直角△ABC的斜边为AB，且A（－1,0)，B(3，0）,求:
（1）直角顶点C的轨迹方程；
（2)直角边BC中点M的轨迹方程．
解析：(1）方法一设顶点C（x,y),因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3且x≠－1。

又k AC＝错误!，k BC＝错误!，且k AC·k BC＝－1,
所以
y
x＋1·错误!＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0。

因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．
方法二同方法一得x≠3且x≠－1.
由勾股定理得｜AC｜2＋|BC|2＝|AB|2，即（x＋1）2＋y2＋（x－3）2＋y2＝16，化简得x2＋y2－2x－3＝0。

因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．
方法三设AB中点为D，由中点坐标公式得D(1,0），由直角三角形的性质知，｜CD｜＝错误! |AB|＝2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D（1,0）为圆心,以2为半径长的圆（由于A，B，C 三点不共线，所以应除去与x轴的交点）．
设C（x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4（x≠3且x≠－1）．
(2）设点M（x，y)，点C（x0，y0），因为B(3,0),M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝错误! (x≠3且x≠1)，y＝错误!，于是有x0＝2x－3，y0＝2y。

由（1）知,点C在圆（x－1）2＋y2＝4(x≠3且x≠－1）上运动，将x0,y0代入该方程得（2x－4）2＋（2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.
因此动点M的轨迹方程为（x－2）2＋y2＝1（x≠3且x≠1）．。