湘教版七年级上册数学精品教学课件 第3章 一元一次方程 小结与复习
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10
解：设最多可以打 x 折，根据题意得
5001 40％ x 500112％.
10 解得 x = 8.
答：广告上可写出最多打 8 折.
针对训练
7. 一家商店将某种商品按进价提高 40% 后标价，节假 日期间又以标价打八折销售，结果这种商品每件仍 可获利 24 元，问这件商品的进价是多少元？ 解：设这件商品的进价是 x 元，根据题意得
所以，小王两次购物标价之和为 198 + 520 = 718 (元)， 或 220 + 520 = 740 (元)． 若他只去一次该超市购买同样多的商品，实付款为
500×0.9 + 0.8(718－500) = 624.4 (元)， 或 500×0.9 + 0.8(740-500) = 642 (元)， 可以节省 198 + 466－624.4 = 39.6 (元)，
1. 若 (m＋3) x| m |－2＋2＝1 是关于 x 的一元一次方程， 则 m 的值为__3__．
注意：结合一元一次方程的定义求字母参数的值， 需谨记未知数的系数不为 0.
考点二 等式的基本性质 例2 下列说法正确的是
( D)
A. x + 1 = 2 + 2x 变形得到 1 = x
B. 2x = 3x 变形得到 2 = 3 C. 将方程 2x 3 系数化为 1，得 x 4 D. 将方程 3x = 24x－4 变形得到 x = 4 3
3. 方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的 值叫做方程的解．
4. 解方程：求方程解的过程叫做解方程．
二、等式的性质
1. 等式的性质1：等式两边加 (或减) 同一个数 (或 式子)，结果仍相等．如果 a＝b，那么 a± c ＝ b±c.
2. 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同
一
个不为 bc
例5 抗洪救灾小组在甲地有 28 人，乙地有 15 人，现 在又调来 17 人，分配在甲、乙两地，要求调配后甲地 人数与乙地人数之比为 3 : 2，求应调至甲地和乙地各 多少人. 解：设应调至甲地 x 人，则调至乙地的人数为 (17－x)，
根据调配后甲、乙两地人数的数量关系，得
28 x 2 15 (17 x).
180 元，小于450元； ③ 大于等于 500 元，实付款大于等于 450 元.
解：由题意知： ① 购物标价总额不超过 200 元，不予优惠； ② 大于等于 200 元小于 500 元，实付款大于等于 200×0.9 = 180 (元)，小于 500×0.9 = 450 (元)； ③大于等于 500 元，实付款大于等于 450 元. 小王第一次购物付款 198 元＜200 元，购物标价可 能是 198 元，也可能是 198÷0.9 = 220 (元)， 第二次购物付款 466 元＞450 元，所以购物标价 大于 500 元，为 (466－450)÷0.8 + 500 = 520 (元)，
合并同类项，得
4x = 8.
系数化为1，得
x = 2.
(2)
3 4
4 3
1 2
x
1 4
8
3x 2
.
提示：先用分配律、去括号简化方程，再求解较容易.
解：去括号，得 1 x 1 6 3 x.
24 2
移项，得 1 x 3 x 1 6.
22 4
合并同类项，得 x 6 1 .
系数化为 1，得
针对训练
4. 小明从家里骑自行车到学校，每小时骑 15 千米，可 早到 10 分钟；每小时骑 12 千米，就会迟到 5 分钟， 则他家到学校的路程是多少千米？ 解：设他家到学校的路程是 x 千米，
依题意得 x 10 x 5 . 15 60 12 60
解得 x = 15. 答：他家到学校的路程是 15 千米.
方法总结：已利用等式的性质变形，需注意符号问题， 同时一定要谨记，利用等式性质 2 变形，等式两边同 时除以一个数时，该数不能为 0.
针对训练
2. 下列运用等式的性质，变形正确的是 ( B )
A. 若 x = y，则 x－5 = y + 5
B. 若 a = b，则 ac = bc
C. 若 a b ，则 2a = 3b cc
x 641 .
4
针对训练
3. 解方程：x 2 2 x 3 .
5
2
解：去分母，得 2(x－2) = 20－5(x＋3)，
去括号，得 2x－4 = 20－5x－15，
移项，得 2x＋5x = 20－15＋4，
合并同类项，得 7x = 9，
系数化为1，得
x 7
考点四 实际问题与一元一次方程
1 12
1 24
x
1.
解得 x = 3.
答：乙、丙还要 3 天才能完成这项工作.
针对训练
6. 一辆拖拉机耕一片地，第一天耕了这片地的 2 ，
第二天耕了剩余部分的
1
，还剩下
42
3
公顷，则
3
这片地共有 189 公顷.
解析：设这片地共有 x 公顷. 由题意，得
x
2 3
x
1 3
x
2 3
x
42.
解得 x = 189.
或 198 + 466－642 = 22 (元)． 答：若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省
39.6 元或 22 元．
针对训练
8. 甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为 了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市 累计购买商品超出 300 元之后，超出部分按原价 8 折优惠；在乙超市累计购买商品超出 200 元之后， 超出部分按原价 8.5 折优惠．设顾客累计购物 x 元 (x＞300)． (1) 请用含 x 的式子分别表示顾客在两家超市购物所 付的费用；
3 解得 x = 8. 则 17 - x = 9.
答：应调至甲地 8 人，乙地 9 人.
针对训练 5. 春节期间，甲、乙两商场有某品牌服装 共 450 件，由于甲商场销量上升，需从乙商场调运该 服装 50 件，调运后甲商场该服装的数量是乙商场的 2 倍，求甲、乙两商场原来各自有该品牌服装的数量. 解：设甲商城原来有该品牌服装 x 件. 根据题意，得 x + 50 = 2[(450 - x) - 50]， 解得 x = 250. 则 450 - x = 200. 答：甲商城原来有该品牌服装 250 件，乙商城原来有 该品牌服装 200 件.
例4 一轮船在甲、乙两码头间往返航行，已知船在静 水中速度为 7 km/h，水流速度为 2 km/h，往返一次共 用 28 h，求甲、乙两码头之间的距离．
解：设甲、乙两码头之间的距离是 x km. 由顺水航行时间＋逆水航行时间＝往返一次共 用时间，得 x x 28. 72 72 解得 x = 90. 答：甲、乙两码头之间的距离是 90 km.
根据题意得 0.88x = 500×(1－10％) + 0.8(x－500)， 解得 x = 625．
答：当标价总额是 625 元时，甲、乙超市实付款一样.
(3) 小王两次到乙超市购物分别付款 198 元和 466 元， 若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省 多少元？
分析：由题目信息可知，在乙超市购物标价总额： ① 不超过 200 元，不予优惠； ② 大于或等于 200 元小于 500 元，实付款大于或等于
解：顾客在甲超市购物所付的费用为： 300 + 0.8(x－300) = (0.8x + 60) 元 (x＞300)； 顾客在乙超市购物所付的费用为： 200 + 0.85(x－200) = (0.85x + 30) 元 (x＞300)．
0
的数，结果仍相等．如果a c
a＝bcb，那么
ac
＝ ___；如果 a = b (c≠0)，那么 ＝____．
三、一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤：
(1) 去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数， 别漏乘．
(2) 去括号：注意括号前的系数与符号． (3) 移项：把含有未知数的项移到方程的左边，常
数项移到方程右边，移项注意要改变符号． (4) 合并同类项：把方程化成 ax＝b (a≠0)的形式． (5) 系数化为1：方程两边同除以 x 的系数，得
x＝m 的形式.
四、实际问题与一元一次方程
1. 列方程解决实际问题的一般步骤：
审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．
设：设未知数，设其中某个未知量为 x.
七年级数学上（XJ） 教学课件
第3章 一元一次方程
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课后作业
课堂小结
要点梳理
一、方程的有关概念 1. 方程：含有未知数的等式叫做方程．
2. 一元一次方程的概念：只含有__一__个未知数，未 知数的次数都是__1__，等号两边都是__整__式__，这 样的方程叫做一元一次方程．
例7 某个商品的进价是 500 元，把它提价 40% 后作为 标价. 如果商家要想保住 12% 的利润率搞促销活动， 请你计算一下广告上可写出最多打几折.
提示：提价 40％ 后，商品标价为 500×(1+40％)，要 保住 12％ 的利润率，商品的售价应为500×(1+12％)， 根据商品售价 = 标价× 折扣数 可列方程.
列：根据题意寻找等量关系列方程．
解：解方程．
验：检验方程的解是否符合题意． 审题是基础，找
答：写出答案 (包括单位)．
等量关系是关键.
2. 常见的几种方程类型及等量关系： (1) 行程问题中基本量之间关系： 路程＝速度×时间． ① 相遇问题： 全路程＝甲走的路程＋乙走的路程； ② 追及问题： 甲为快者，被追路程＝甲走路程－乙走路程； ③ 流水行船问题： v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水．
D. 若 x = y，则 x y aa
a 可能为 0
考点三 一元一次方程的解法
例3 解下列方程：
(1) 2x 1 1 x 10x 1 ；
4
12
解：去分母，得
3(2x＋1)－12 = 12x－(10x＋1).
去括号，得 6x＋3－12 = 12x－10x－1.
移项，得 6x－12x＋10x = －1－3＋12.
x 1 40％ 8 x 24.
10 解得 x = 200.
答：这件商品的进价是 200 元.
例8 小王逛超市看到如下两个超市的促销信息：
甲超市促销信息栏
乙超市促销信息栏
不超过 200 元，不予优惠；
全场 8.8 折
满 200 元而不超过 500 元，打九折； 满 500 元，其中 500 元的部分优惠 10％，
例1 如果 x = 2 是方程 1 x a 1的解，那么 a 的值是
2
(C )
A. 0 B. 2 C. －2 D. －6
解析：将 x＝2 代入方程得 1＋a＝－1，解得 a＝－2.
方法总结：已知方程的解求字母参数的值，将方程的
解代入方程中，得到关于字母参数的方程，解方程即
可得字母参数的值.
针对训练
超过 500 元的部分打八折
假设两家超市相同商品的标价都一样.
(1) 当一次性购物标价总额是 300 元时，甲、乙超市实 付款分别是多少？
解：甲超市实付款：300×0.88 = 264 (元)， 乙超市实付款：300×0.9 = 270 (元).
(2) 当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？ 解：设当标价总额是 x 元时，甲、乙超市实付款一样. 由题意知，当 x≤500 时，甲超市的促销力度大于乙超 市，此时，标价总额一样的条件下，甲超市实付款始终 小于乙超市实付款，所以 x＞500．
例6 一项工作，甲单独做 8 天完成，乙单独做 12 天
完成，丙单独做 24 天完成．现甲、乙合作 3 天后，
甲因有事离去，由乙、丙合作，则乙、丙还要几天才
能完成这项工作？
解：设乙、丙还要 x 天才能完成这项工作，由甲、乙
合作 3 天的工作量 + 乙、丙合作的工作量 = 1，得
1 8
1 12
3
10 ④ 商品售价 = 商品进价 + 商品利润
= 商品进价 + 商品进价×利润率 = 商品进价×(1 + 利润率).
(4) 分段计费、方案问题
① 要善于分析问题中的不变量，并利用不变量来 列方程； ② 要善于用不同的方式表示同一个量，由此得到 相等关系，从而列出方程．
考点讲练
考点一 方程的有关概念
(2) 工程问题中基本量之间的关系：
① 工作量 = 工作效率×工作时间； ② 合作的工作效率 = 工作效率之和； ③ 工作总量 = 各部分工作量之和 = 合作的工作效
率×工作时间； ④ 在没有具体数值的情况下，通常把工作总量看
做 1.
(3) 销售问题中基本量之间的关系：
① 商品利润 = 商品售价－商品进价； ② 利润率 = 商商品品进利价润100％ ； ③ 商品售价 = 标价×折扣数 ；
解：设最多可以打 x 折，根据题意得
5001 40％ x 500112％.
10 解得 x = 8.
答：广告上可写出最多打 8 折.
针对训练
7. 一家商店将某种商品按进价提高 40% 后标价，节假 日期间又以标价打八折销售，结果这种商品每件仍 可获利 24 元，问这件商品的进价是多少元？ 解：设这件商品的进价是 x 元，根据题意得
所以，小王两次购物标价之和为 198 + 520 = 718 (元)， 或 220 + 520 = 740 (元)． 若他只去一次该超市购买同样多的商品，实付款为
500×0.9 + 0.8(718－500) = 624.4 (元)， 或 500×0.9 + 0.8(740-500) = 642 (元)， 可以节省 198 + 466－624.4 = 39.6 (元)，
1. 若 (m＋3) x| m |－2＋2＝1 是关于 x 的一元一次方程， 则 m 的值为__3__．
注意：结合一元一次方程的定义求字母参数的值， 需谨记未知数的系数不为 0.
考点二 等式的基本性质 例2 下列说法正确的是
( D)
A. x + 1 = 2 + 2x 变形得到 1 = x
B. 2x = 3x 变形得到 2 = 3 C. 将方程 2x 3 系数化为 1，得 x 4 D. 将方程 3x = 24x－4 变形得到 x = 4 3
3. 方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的 值叫做方程的解．
4. 解方程：求方程解的过程叫做解方程．
二、等式的性质
1. 等式的性质1：等式两边加 (或减) 同一个数 (或 式子)，结果仍相等．如果 a＝b，那么 a± c ＝ b±c.
2. 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同
一
个不为 bc
例5 抗洪救灾小组在甲地有 28 人，乙地有 15 人，现 在又调来 17 人，分配在甲、乙两地，要求调配后甲地 人数与乙地人数之比为 3 : 2，求应调至甲地和乙地各 多少人. 解：设应调至甲地 x 人，则调至乙地的人数为 (17－x)，
根据调配后甲、乙两地人数的数量关系，得
28 x 2 15 (17 x).
180 元，小于450元； ③ 大于等于 500 元，实付款大于等于 450 元.
解：由题意知： ① 购物标价总额不超过 200 元，不予优惠； ② 大于等于 200 元小于 500 元，实付款大于等于 200×0.9 = 180 (元)，小于 500×0.9 = 450 (元)； ③大于等于 500 元，实付款大于等于 450 元. 小王第一次购物付款 198 元＜200 元，购物标价可 能是 198 元，也可能是 198÷0.9 = 220 (元)， 第二次购物付款 466 元＞450 元，所以购物标价 大于 500 元，为 (466－450)÷0.8 + 500 = 520 (元)，
合并同类项，得
4x = 8.
系数化为1，得
x = 2.
(2)
3 4
4 3
1 2
x
1 4
8
3x 2
.
提示：先用分配律、去括号简化方程，再求解较容易.
解：去括号，得 1 x 1 6 3 x.
24 2
移项，得 1 x 3 x 1 6.
22 4
合并同类项，得 x 6 1 .
系数化为 1，得
针对训练
4. 小明从家里骑自行车到学校，每小时骑 15 千米，可 早到 10 分钟；每小时骑 12 千米，就会迟到 5 分钟， 则他家到学校的路程是多少千米？ 解：设他家到学校的路程是 x 千米，
依题意得 x 10 x 5 . 15 60 12 60
解得 x = 15. 答：他家到学校的路程是 15 千米.
方法总结：已利用等式的性质变形，需注意符号问题， 同时一定要谨记，利用等式性质 2 变形，等式两边同 时除以一个数时，该数不能为 0.
针对训练
2. 下列运用等式的性质，变形正确的是 ( B )
A. 若 x = y，则 x－5 = y + 5
B. 若 a = b，则 ac = bc
C. 若 a b ，则 2a = 3b cc
x 641 .
4
针对训练
3. 解方程：x 2 2 x 3 .
5
2
解：去分母，得 2(x－2) = 20－5(x＋3)，
去括号，得 2x－4 = 20－5x－15，
移项，得 2x＋5x = 20－15＋4，
合并同类项，得 7x = 9，
系数化为1，得
x 7
考点四 实际问题与一元一次方程
1 12
1 24
x
1.
解得 x = 3.
答：乙、丙还要 3 天才能完成这项工作.
针对训练
6. 一辆拖拉机耕一片地，第一天耕了这片地的 2 ，
第二天耕了剩余部分的
1
，还剩下
42
3
公顷，则
3
这片地共有 189 公顷.
解析：设这片地共有 x 公顷. 由题意，得
x
2 3
x
1 3
x
2 3
x
42.
解得 x = 189.
或 198 + 466－642 = 22 (元)． 答：若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省
39.6 元或 22 元．
针对训练
8. 甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为 了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市 累计购买商品超出 300 元之后，超出部分按原价 8 折优惠；在乙超市累计购买商品超出 200 元之后， 超出部分按原价 8.5 折优惠．设顾客累计购物 x 元 (x＞300)． (1) 请用含 x 的式子分别表示顾客在两家超市购物所 付的费用；
3 解得 x = 8. 则 17 - x = 9.
答：应调至甲地 8 人，乙地 9 人.
针对训练 5. 春节期间，甲、乙两商场有某品牌服装 共 450 件，由于甲商场销量上升，需从乙商场调运该 服装 50 件，调运后甲商场该服装的数量是乙商场的 2 倍，求甲、乙两商场原来各自有该品牌服装的数量. 解：设甲商城原来有该品牌服装 x 件. 根据题意，得 x + 50 = 2[(450 - x) - 50]， 解得 x = 250. 则 450 - x = 200. 答：甲商城原来有该品牌服装 250 件，乙商城原来有 该品牌服装 200 件.
例4 一轮船在甲、乙两码头间往返航行，已知船在静 水中速度为 7 km/h，水流速度为 2 km/h，往返一次共 用 28 h，求甲、乙两码头之间的距离．
解：设甲、乙两码头之间的距离是 x km. 由顺水航行时间＋逆水航行时间＝往返一次共 用时间，得 x x 28. 72 72 解得 x = 90. 答：甲、乙两码头之间的距离是 90 km.
根据题意得 0.88x = 500×(1－10％) + 0.8(x－500)， 解得 x = 625．
答：当标价总额是 625 元时，甲、乙超市实付款一样.
(3) 小王两次到乙超市购物分别付款 198 元和 466 元， 若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省 多少元？
分析：由题目信息可知，在乙超市购物标价总额： ① 不超过 200 元，不予优惠； ② 大于或等于 200 元小于 500 元，实付款大于或等于
解：顾客在甲超市购物所付的费用为： 300 + 0.8(x－300) = (0.8x + 60) 元 (x＞300)； 顾客在乙超市购物所付的费用为： 200 + 0.85(x－200) = (0.85x + 30) 元 (x＞300)．
0
的数，结果仍相等．如果a c
a＝bcb，那么
ac
＝ ___；如果 a = b (c≠0)，那么 ＝____．
三、一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤：
(1) 去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数， 别漏乘．
(2) 去括号：注意括号前的系数与符号． (3) 移项：把含有未知数的项移到方程的左边，常
数项移到方程右边，移项注意要改变符号． (4) 合并同类项：把方程化成 ax＝b (a≠0)的形式． (5) 系数化为1：方程两边同除以 x 的系数，得
x＝m 的形式.
四、实际问题与一元一次方程
1. 列方程解决实际问题的一般步骤：
审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．
设：设未知数，设其中某个未知量为 x.
七年级数学上（XJ） 教学课件
第3章 一元一次方程
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课后作业
课堂小结
要点梳理
一、方程的有关概念 1. 方程：含有未知数的等式叫做方程．
2. 一元一次方程的概念：只含有__一__个未知数，未 知数的次数都是__1__，等号两边都是__整__式__，这 样的方程叫做一元一次方程．
例7 某个商品的进价是 500 元，把它提价 40% 后作为 标价. 如果商家要想保住 12% 的利润率搞促销活动， 请你计算一下广告上可写出最多打几折.
提示：提价 40％ 后，商品标价为 500×(1+40％)，要 保住 12％ 的利润率，商品的售价应为500×(1+12％)， 根据商品售价 = 标价× 折扣数 可列方程.
列：根据题意寻找等量关系列方程．
解：解方程．
验：检验方程的解是否符合题意． 审题是基础，找
答：写出答案 (包括单位)．
等量关系是关键.
2. 常见的几种方程类型及等量关系： (1) 行程问题中基本量之间关系： 路程＝速度×时间． ① 相遇问题： 全路程＝甲走的路程＋乙走的路程； ② 追及问题： 甲为快者，被追路程＝甲走路程－乙走路程； ③ 流水行船问题： v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水．
D. 若 x = y，则 x y aa
a 可能为 0
考点三 一元一次方程的解法
例3 解下列方程：
(1) 2x 1 1 x 10x 1 ；
4
12
解：去分母，得
3(2x＋1)－12 = 12x－(10x＋1).
去括号，得 6x＋3－12 = 12x－10x－1.
移项，得 6x－12x＋10x = －1－3＋12.
x 1 40％ 8 x 24.
10 解得 x = 200.
答：这件商品的进价是 200 元.
例8 小王逛超市看到如下两个超市的促销信息：
甲超市促销信息栏
乙超市促销信息栏
不超过 200 元，不予优惠；
全场 8.8 折
满 200 元而不超过 500 元，打九折； 满 500 元，其中 500 元的部分优惠 10％，
例1 如果 x = 2 是方程 1 x a 1的解，那么 a 的值是
2
(C )
A. 0 B. 2 C. －2 D. －6
解析：将 x＝2 代入方程得 1＋a＝－1，解得 a＝－2.
方法总结：已知方程的解求字母参数的值，将方程的
解代入方程中，得到关于字母参数的方程，解方程即
可得字母参数的值.
针对训练
超过 500 元的部分打八折
假设两家超市相同商品的标价都一样.
(1) 当一次性购物标价总额是 300 元时，甲、乙超市实 付款分别是多少？
解：甲超市实付款：300×0.88 = 264 (元)， 乙超市实付款：300×0.9 = 270 (元).
(2) 当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？ 解：设当标价总额是 x 元时，甲、乙超市实付款一样. 由题意知，当 x≤500 时，甲超市的促销力度大于乙超 市，此时，标价总额一样的条件下，甲超市实付款始终 小于乙超市实付款，所以 x＞500．
例6 一项工作，甲单独做 8 天完成，乙单独做 12 天
完成，丙单独做 24 天完成．现甲、乙合作 3 天后，
甲因有事离去，由乙、丙合作，则乙、丙还要几天才
能完成这项工作？
解：设乙、丙还要 x 天才能完成这项工作，由甲、乙
合作 3 天的工作量 + 乙、丙合作的工作量 = 1，得
1 8
1 12
3
10 ④ 商品售价 = 商品进价 + 商品利润
= 商品进价 + 商品进价×利润率 = 商品进价×(1 + 利润率).
(4) 分段计费、方案问题
① 要善于分析问题中的不变量，并利用不变量来 列方程； ② 要善于用不同的方式表示同一个量，由此得到 相等关系，从而列出方程．
考点讲练
考点一 方程的有关概念
(2) 工程问题中基本量之间的关系：
① 工作量 = 工作效率×工作时间； ② 合作的工作效率 = 工作效率之和； ③ 工作总量 = 各部分工作量之和 = 合作的工作效
率×工作时间； ④ 在没有具体数值的情况下，通常把工作总量看
做 1.
(3) 销售问题中基本量之间的关系：
① 商品利润 = 商品售价－商品进价； ② 利润率 = 商商品品进利价润100％ ； ③ 商品售价 = 标价×折扣数 ；