(必考题)初中数学九年级数学上册第二单元《一元二次方程》测试卷(答案解析)(1)
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一、选择题
1.一次围棋比赛,参赛的每两位棋手之间都要比赛一场,根据赛程计划共安排45场比赛,设本次比赛共有x 个参赛棋手,则可列方程为( )
A .12x (x ﹣1)=45
B .12
x (x+1)=45 C .x (x ﹣1)=45
D .x (x+1)=45 2.若x m =是方程210x x +-=的根,则22020m m ++的值为( )
A .2022
B .2021
C .2019
D .2018 3.欧几里得的《原本》记载,方程x 2+ax =b 2的图解法是:画Rt △ABC ,使∠ACB =90°,BC =2
a ,AC =
b ,再在斜边AB 上截取BD =BC .则该方程的一个正根是( )
A .AC 的长
B .CD 的长
C .A
D 的长 D .BC 的长 4.下列方程中,是一元二次方程的是( ) A .12x += B .21x y += C .243x x -= D .35-=xy 5.学校准备举办“和谐校园”摄影作品展黛,现要在一幅长30cm ,宽20cm 的矩形作品四周外围上宽度相等的彩纸,并使彩纸的面积恰好与原作品面积相等,设彩纸的宽度为cm x ,则x 满足的方程是( )
A .()()3022023020=++⨯x x
B .()()30203020++=⨯x x
C .()()30220223020--=⨯⨯x x
D .()()30220223020++=⨯⨯x x 6.定义运算:21a b ab ab =--☆.例如:23434341=⨯-⨯-☆.则方程10x =☆的根的情况为( )
A .有两个不相等的实数根
B .有两个相等的实数根
C .无实数根
D .只有一个实数根 7.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程212350x x -+=的根,则该三角形的周
长为( )
A .10
B .12
C .14
D .12或14 8.新冠肺炎传染性很强,曾有2人同时患上新冠肺炎,在一天内一人平均能传染x 人,经过两天传染后128人患上新冠肺炎,则x 的值为( )
A .10
B .9
C .8
D .7 9.关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=无实数根,则实数m 的取值范围是( ) A .1m < B .m 1≥ C .1m D .1m 10.下列关于一元二次方程,说法正确的是( )
A .方程2450x x --=配方变形为2(2)2x -=
B .方程2x x =的解为1x =
C .关于x 的方程2230ax x +-=有实数根,则13a -
D .方程221x x -=的解为121x x ==
11.下列说法不正确的是( )
A .打开电视剧,电视里播放《小猪佩奇》是偶然事件
B .了解一批灯泡的使用寿命,适合抽样调查
C .一元二次方程2210x x -+=只有一个根
D .甲、乙两人在相同条件下各射击10次,他们的成绩平均数相同,方差分别是20.36S =甲,20.54S =乙
,甲的射击成绩稳定 12.下列一元二次方程没有实数根的是( )
A .2-20x =
B .2-20x x =
C .210x x ++=
D .()()-1-30x x =
二、填空题
13.设m 、n 分别为一元二次方程2370x x +-=的两个实数根,则
2mn m n --=______.
14.一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程28120x x -+=的两根,则该等腰三角形的周长是________.
15.若关于x 的一元二次方程x 2﹣2kx +k 2﹣k +1=0有两个不相等的实数根,则实数k 的取值范围是_____.
16.已知关于x 的一元二次方程m 2x ﹣nx ﹣m ﹣3=0,对于任意实数n 都有实数根,则m 的取值范围是_____.
17.已知m ,n 是一元二次方程2410x x -=+的两实数根,则11m n
+=_________. 18.用换元法解方程221x x -﹣21x x -=1,设y =21x x
-,那么原方程可以化为关于y 的整式方程为_____.
19.对于有理数a ,b ,定义{}min ,a b :当a b ≥时,{}min ,a b b =;当a b ≤时,{}min ,a b a =.若{}22min 40,12440m n m n -+--=,则n m 的值为______. 20.经过两年的连续治理,某城市的大气环境有了明显改善,其每月每平方公里的降尘量从50吨下降到40.5吨,则平均每年下降的百分率是 _________%.
三、解答题
21.阅读下面材料,并完成问题.
任意给定一个矩形A ,若存在另一个矩形B ,使它的周长和面积分别是矩形A 的一半,则称矩形,A B 是“兄弟矩形”.
探究:当矩形A 的边长分别为7和1时,是否存在A 的“兄弟矩形”B ?
小亮同学是这样探究的:
设所求矩形的两边分别是x和y,由题意,得
4
7
2 x y
xy
+
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
①
②
由①,得4
y x
=-,③
把③代入②,得
7
(4)
2
x x
-=,
整理,得2
2870
-+=
x x.
24645680
b ac
-=-=>,
A
∴的“兄弟矩形”B存在.
(1)若已知矩形A的边长分别为3和2,请你根据小亮的探究方法,说明A的“兄弟矩形”B是否存在?
(2)若矩形A的边长为m和n,当A的“兄弟矩形”B存在时,求,m n应满足的条件.22.2020年,受新冠疫情影响,众多学校开展了“停课不停学”的线上教学活动,因此,手写板的需求量大幅上升.某网店抓住时机销售A,B两款手写板,A型手写板的单价为360元,B型手写板的单价为240元.
(1)商家在1月共销售两种型号手写板600个,若A型手写板的销售额不低于B型手写板销售额的3倍,求1月A型手写板至少售出多少个?
(2)该商家在2月继续销售这两种型号的手写板并适当的进行了调整,A型手写板的售价降低了
1
3
a%.B型手写板的销价不变.结果A型手写板的销售量在1月最低销售量的基础上增加了
4
3
a%,B型手写板的销售量在一月保证A最低销量的基础上增加了
1
5
a%,结果2月两种手写板的总销售额比1月两种手写板的总销售额增加了
3
5
a%,求a的值.
23.某住宅小区在住宅建设时留下一块1248平方米的空地,准备建一个矩形的露天游泳池,设计如图所示,游泳池的长是宽的2倍,在游泳池的前侧留一块5米宽的空地,其它三侧各保留2米宽的道路及1米宽的绿化带.请你计算出游泳池的长和宽.
24.阅读下列材料:
已知实数x,y满足()()
2222
1163
x y x y
+++-=,试求22
x y+的值.
解:设22
x y a
+=,则原方程变为(1)(1)63
a a
+-=,整理得2163
a-=,264
a=,根据平方根意义可得8
a=±,由于220
x y
+,所以可以求得228
x y
+=.这种方法称为
“换元法”,用一个字母去代替比较复杂的单项式、多项式,可以达到化繁为简的目的. 根据阅读材料内容,解决下列问题:
(1)已知实数x ,y 满足(223)(223)27x y x y +++-=,求x y +的值.
(2)已知a ,b 满足方程组22223212472836
a a
b b a ab b ⎧-+=⎨++=⎩;求
11
2a b +的值; (3)填空:
已知关于x ,y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是95x y =⎧⎨=⎩
,则关于x ,y 的方程组211111222222
22a x a x b y c a a x a x b y c a ⎧-+=-⎨-+=-⎩的解是_______. 25.已知关于x 的方程22(31)220x k x k k -+++=.
(1)若方程有两个相等实数根,求k 的值;
(2)若等腰三角形ABC 的底边长为3,两腰恰好是这个方程的两个根,求此三角形的周长.
26.如图,抛物线与x 轴交于点1,0A ,()3,0B ,与y 轴交于点()0,3C .
(1)求二次函数的表达式及顶点坐标;
(2)若点P 为抛物线上的一点,且1ABP S ∆=,求点P 的坐标;;
(3)连接BC ,在抛物线的对称轴上是否存在一点E ,使BCE ∆是直角三角形?若存在,请直接写出点E 的坐标;若不存在,请说明理由.
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一、选择题
1.A
解析:A
【分析】
关系式为:棋手总数×每个棋手需赛的场数÷2=45,把相关数值代入即可.
【详解】
解:本次比赛共有x 个参赛棋手, 所以可列方程为:
12
x (x -1)=45. 故选:A .
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系,注意2队之间的比赛只有1场,最后的总场数应除以2. 2.B
解析:B
【分析】
利用一元二次方程根的定义,代入变形计算即可.
【详解】
∵x m =是方程210x x +-=的根,
∴210m m +-=,
∴21m m +=,
∴22020m m ++=2021,
故选B .
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的定义,熟练把方程的根转化为所含字母的一元二次方程是解题的关键.
3.C
解析:C
【分析】
在Rt ABC 中,由勾股定理可得222AC BC AB +=,结合AB AD BD =+,
,2
a AC
b BD BC ===,即可得出22AD aAD b +=,进而可得出AD 的长是方程22x ax b +=的一个正根.
【详解】
在Rt ABC 中,由勾股定理可得222AC BC AB +=
,2a AC b BD BC === 2
2222222a a a b AD AD aAD ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∴22AD aAD b +=
22AD aAD b +=与方程22x ax b +=相同,且AD 的长度是正数
∴AD 的长是方程22x ax b +=的一个正根.
故选:C .
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理,利用勾股定理及各边的长得出22AD aAD b +=是解题关键.
4.C
解析:C
【分析】
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的方程是一元二次方程,根据定义解答即可.
【详解】
A 、是一元一次方程,不符合题意;
B 、是二元一次方程,不符合题意;
C 、是一元二次方程,符合题意;
D 、是二元二次方程,不符合题意;
故选:C .
【点睛】
此题考查一元二次方程,熟记定义是解题的关键.
5.D
解析:D
【分析】
由彩纸的面积恰好与原画面面积相等,即可得出关于x 的一元二次方程,此题得解.
【详解】
解:依题意,得()()30220223020++=⨯⨯x x .
故选:D .
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
6.A
解析:A
【分析】
根据新定义运算法则以及利用△>0可判断方程根的情况.
【详解】
解:由题意可知:1☆x=x 2-x-1=0,
∴△=1-4×1×(-1)=5>0,
∴有两个不相等的实数根
故选:A .
【点睛】
本题考查根的判别式,解题的关键是正确理解新定义运算法则,本题属于基础题型.7.B
解析:B
【分析】
用因式分解法求得方程的根,后根据三角形三边关系判断三角形的存在性,后计算周长.【详解】
∵212350
-+=,
x x
∴(x-7)(x-5)=0,
∴x=7或x=5;
当x=7时,
3+4=7,
∴三角形不存在;
当x=5时,
3+4>5,
∴三角形存在,
∴三角形的周长为3+4+5=12;
故选B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的因式分解求解法和三角形的存在性,熟练求方程的根,准确判断三角形的存在性是解题的关键.
8.D
解析:D
【分析】
根据两天后共有128人患上流感,列出方程求解即可.
【详解】
解:依题意得2+2x+x(2+2x)=128,
解得x1=7,x2=-9(不合题意,舍去).
故x值为7.
故选:D.
【点睛】
考查了一元二次方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.
9.D
解析:D
【分析】
根据判别式的意义得到△=(-2)2-4m<0,然后解不等式即可.
【详解】
解:∵关于x的一元二次方程2x2x m0
-+=无实数根,
∴△=(-2)2-4m<0,
解得m>1.
故选:D .
【点睛】
本题考查了根的判别式:一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b 2-4ac 有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;当△<0时,方程无实数根.
10.C
解析:C
【分析】
根据一元二次方程的解法及一元二次方程根的判别式来判断即可
【详解】
解:A.用配方法解方程2450x x --=,
245x x -=,
24454x x -+=+,
∴()2
29x -=,故A 不正确; B.用因式分解法解方程2x x =,
20x x -=,
()10x x -=,
∴120,1x x ==,故B 不正确;
C.∵ 关于x 的方程2230ax x +-=有实数根,
∴当a=0,时,230x -=,方程有实根,
当a 0≠时,()224a 30=-⨯-≥△ ,解得1
3
a ≥-, 综上所述,若方程有实根时,则13
a ≥-,故C 正确;
D.解方程221x x -=, 22111x x -+=+,
()212x +=,
1x ∴+=,
121,1x x ∴== ,故D 不正确;
故选:C .
【点睛】
本题考查了解一元二次方程及一元二次方程根的判别式,正确理解一元二次方程的解法是解本题的关键,解题时运用了分类讨论思想.
11.C
【分析】
根据必然事件和偶然事件,抽样调查和普查,一元二次方程跟的判别式和方差依次判断即可.
【详解】
解:A. 打开电视剧,电视里播放《小猪佩奇》是偶然事件,正确,不符合题意;
B. 了解一批灯泡的使用寿命,适合抽样调查,正确,不符合题意;
C. 一元二次方程2210
x x
-+=中,24440
b ac
∆=-=-=,有两个相等的实数根,故原说法错误,符合题意;
D. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次,他们的成绩平均数相同,方差分别是
20.36 S=
甲,20.54
S=
乙
,甲的射击成绩稳定,正确,不符合题意;
故选:C.
【点睛】
本题考查必然事件和偶然事件,抽样调查和普查,一元二次方程跟的判别式和方差,注意当0
∆=时,一元二次方程有两个相等的实数根.
12.C
解析:C
【分析】
直接利用根的判别式△=b2−4ac判断即可.
【详解】
解:A、△ =8>0,方程有两个不相等的实数根;
B、△=4>0,,方程有两个不相等的实数根;
C、△=−3<0,方程没有实数根;
D、2430
x x
-+=,△=4>0,方程有两个不相等的实数根;
故选:C.
【点睛】
本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;当△<0时,方程无实数根.
二、填空题
13.-11【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得出m+n=-3mn=-7将其代入中即可求出结论【详解】解:∵mn分别为一元二次方程的两个实数根∴m+n=-3mn=-7则故答案为:-11【点睛】本题
解析:-11
根据一元二次方程根与系数的关系即可得出m+n=-3,mn=-7,将其代入
22()mn m n mn m n --=-+中即可求出结论.
【详解】
解:∵m ,n 分别为一元二次方程2370x x +-=的两个实数根,
∴m+n=-3,mn=-7,
则22()2(7)(3)14311mn m n mn m n =--=-+⨯---=-+=-.
故答案为:-11.
【点睛】
本题考查了根与系数的关系,根据一元二次方程根与系数的关系得出m+n=-2,mn=-1是解题的关键.
14.14【分析】运用因式分解法解一元二次方程求出两根因为三角形是等腰三角形分情况讨论:腰为2时和腰为6时再利用三角形三边关系验证是否符合题意即可求出周长;【详解】解:(x-2)(x-6)=0x1=2x2
解析:14
【分析】
运用因式分解法解一元二次方程,求出两根,因为三角形是等腰三角形,分情况讨论:腰为2时和腰为6时,再利用三角形三边关系验证是否符合题意,即可求出周长;
【详解】
解:28120x x -+=,
(x-2)(x-6)=0,
x 1=2,x 2=6,
当腰长为2时,三角形的三边为2,2,6,不符合三角形的三角关系,舍去;
当腰长为6时,三角形的三边关系为6,6,2,符合三角形的三角关系,
则周长为:6+6+2=14,
故答案为:14.
【点睛】
本题考查因式分解解一元二次方程和三角形的三边关系,求解后验三角形的三边关系是解题的关键.
15.k >1【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得△=(2k )2﹣4(k2﹣k+1)>0求出k 的取值范围【详解】解:∵原方程有两个不相等的实数根∴△=b2﹣4ac =(2k )2﹣4(k2﹣k+1)=4k ﹣
解析:k >1
【分析】
根据方程有两个不相等的实数根可得△=(2k )2﹣4(k 2﹣k +1)>0,求出k 的取值范围.
【详解】
解:∵原方程有两个不相等的实数根,
∴△=b 2﹣4ac =(2k )2﹣4(k 2﹣k +1)=4k ﹣4>0,
解得k>1;
故答案为:k>1.
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:①当△>0时,方程有两个不相等的实数根;②当△=0时,方程有两个相等的实数根;③当△<0时,方程无实数根.
16.m>0或m≤-3【分析】把方程有实数根转型为根的判别式大于等于零根据n的任意性构造不等式求解即可【详解】∵关于x的一元二次方程m﹣nx﹣m﹣3=0对于任意实数n都有实数根∴△≥0且m≠0∴≥0∴≥0
解析:m>0或m≤-3.
【分析】
把方程有实数根,转型为根的判别式大于等于零,根据n的任意性,构造不等式求解即可.
【详解】
∵关于x的一元二次方程m2x﹣nx﹣m﹣3=0,对于任意实数n都有实数根,
∴△≥0,且m≠0,
∴2
()4(3)
n m m
-++≥0,
∴22
412
n m m
++≥0,
∵对于任意实数n都有实数根,
∴2
412
m m
+≥0,
∴
30
m
m
≥
⎧
⎨
+≥
⎩
或
30
m
m
≤
⎧
⎨
+≤
⎩
,
∴m≥0或m≤-3,且m≠0,
∴m>0或m≤-3,
故答案为:m>0或m≤ -3.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式,熟练掌握根的判别式,并规范把问题转化为不等式组求解是解题的关键.
17.4【分析】先由根与系数的关系求出m•n及m+n的值再把化为的形式代入进行计算即可【详解】是一元二次方程的两实数根故答案为:4【点睛】本题考查的是根与系数的关系将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是
解析:4
【分析】
先由根与系数的关系求出m•n及m+n的值,再把化为11m n
m n mn
+
+=的形式代入进行计
算即可.【详解】
m ,n 是一元二次方程2410x x -=+的两实数根,
4,1m n
m n , 11441m n
m n mn
. 故答案为:4
【点睛】
本题考查的是根与系数的关系,将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.一元二次方程ax 2+bx +c =0(a≠0)的根与系数的关系为:x 1+x 2=−b a ,x 1•x 2=c a
. 18.y2+y ﹣2=0【分析】可根据方程特点设y =则原方程可化为﹣y =1化成整式方程即可【详解】解:方程﹣=1若设y =把设y =代入方程得:﹣y =1方程两边同乘y 整理得y2+y ﹣2=0故答案为:y2+y ﹣2
解析:y 2+y ﹣2=0 【分析】
可根据方程特点设y =21x x
-,则原方程可化为2y ﹣y =1,化成整式方程即可. 【详解】
解:方程221x x -﹣21x x
-=1, 若设y =21x x
-, 把设y =21x x
-代入方程得:2y ﹣y =1, 方程两边同乘y ,整理得y 2+y ﹣2=0.
故答案为:y 2+y ﹣2=0.
【点睛】
本题主要考查用换元法解分式方程,它能够把一些分式方程化繁为简,化难为易,对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点,寻找解题技巧.
19.36【分析】根据与40的大小再根据从而确定mn 的值即可得出的值【详解】解:∵∴40≤;∴∴(m+6)2+(n-2)2≤0∵(m+6)2+(n-2)
20∴m+6=0n-2=0∴m=-6n=2∴故答案为
解析:36
【分析】
根据22124-+--m n m n 与40的大小,再根据{}22min 40,12440m n m n -+--=,从
而确定m ,n 的值即可得出n m 的值.
【详解】
解:∵{}22min 40,12440m n m n
-+--=,
∴40≤22124-+--m n m n ;
∴22412400+-≤++m n n m
∴(m+6)2+(n-2)2≤0,
∵(m+6)2+(n-2)2≥0,
∴m+6=0,n-2=0,
∴m=-6,n=2,
∴()2636=-=n m 故答案为:36.
【点睛】
本题考查了配方法的应用和非负数的性质.根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键.
20.10%【分析】设平均每年下降的百分率是x 利用原有降尘量乘以(1-平均每年下降的百分率)2=现在降尘量列出方程解答即可【详解】设平均每年下降的百分率是x 解得x1=01=10x2=19(舍去)答:平均每
解析:10%
【分析】
设平均每年下降的百分率是x ,利用原有降尘量乘以(1-平均每年下降的百分率)2=现在降尘量,列出方程解答即可.
【详解】
设平均每年下降的百分率是x ,
250(1)40.5x -=,
解得x 1=0.1=10%,x 2=1.9(舍去),
答:平均每年下降的百分率是10%,
故答案为:10%.
【点睛】
此题考查一元二次方程的实际应用—增长率问题,正确理解题意并掌握增长率问题计算公式是解题的关键.
三、解答题
21.(1)不存在;(2)2260m mn n -+
【分析】
(1)按照小亮的方法,进行计算即可;
(2)先根据小亮的方法列出方程组,转化为一元二次方程,利用根的判别式列不等式即可.
【详解】
解:(1)设所求矩形的两边分别是x 和y ,由题意,得5,23.x y xy ⎧+=⎪⎨⎪=⎩①②
由①,得52
y x =-,③ 把③代入②,得532x x ⎛⎫-=
⎪⎝⎭, 整理,得22560x x -+=,
242548230b ac -=-=-<,
A ∴的“兄弟矩形”
B 不存在.
(2)设所求矩形的两边分别是x 和y , 由题意,得,2.2m n x y mn xy +⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
①② 由①,得2
m n y x +=-,③ 把③代入②,得22m n mn x x +⎛⎫-=
⎪⎝⎭, 整理,得22()0x m n x mn -++=,
22224()86b ac m n mn m mn n -=+-=-+,
又,x y 都是正数,
∴当2260m mn n -+时,A 的“兄弟矩形”B 存在.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式,解题的关键是熟练运用一元二次方程根的判别式.
22.(1)A 型手写板至少售出400个;(2)60a =.
【分析】
(1)设A 型手写板售出x 个,则B 型手写板售出(600-x )个,根据题意列出不等式求解即可;
(2)根据售价×销量=销售额,别表示出A 型手写板和B 型手写板的销售额相加等于总销售额列出方程求解即可.
【详解】
解:(1)设A 型手写板售出x 个,则B 型手写板售出(600-x )个,根据题意 3603240(600)x x ≥⨯-,
解得400x ≥,
故A 型手写板至少售出400个;
(2)由(1)得,A 型手写板售出400个,B 型手写板售出200个,
根据题意可知
1413360(1%)400(1%)240200(1%)(400360200240)(1%)3355
a a a a -⨯++⨯+=⨯+⨯+
解得:60a =或0a =(舍去).
所以60a =.
【点睛】
本题考查一元一次不等式的应用,一元二次方程的应用.根据题意找出等量或者不等量关系,列出方程(不等式)是解题关键.(2)中计算过程较为复杂,可先领%y a =,求出y 后,再求a .
23.游泳池的长为40米,宽为20米.
【分析】
设游泳池的宽为x 米,而游泳池的长是宽的2倍,那么原来的空地的长为(2x +8),宽为(x +6),根据空地面积为1248平方米即可列出方程解题.
【详解】
解:设游泳池的宽为x 米,
依题意得(x +6)(2x +8)=1248
整理得x 2+10x ﹣600=0,
解得x 1=20,x 2=﹣30(负数不合题意,舍去),
∴x =20,2x =40.
答:游泳池的长为40米,宽为20米.
【点睛】
找到关键描述语,找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键.此题要注意判断所求的解是否符合题意,舍去不合题意的解.
24.(1)±3;(2)54±;(3)45x y =⎧⎨=⎩或25x y =-⎧⎨=⎩
【分析】
(1)设22x y a +=,则原方程变为(3)(3)27a a +-=,解之求得a 的值,继而可得x y +的值;
(2)设a ²+4b ²=x ,ab=y ,可将原方程组变形为二元一次方程组,解出x 、y 的值再代入即可.
(3)将原方程组变为21112222
(1)(1)a x b y c a x b y c ⎧-+=⎨-+=⎩,由题意得出2(1)95x y ⎧-=⎨=⎩,即可得出答案. 【详解】
解:(1)设22x y a +=,则原方程变为(3)(3)27a a +-=,
整理,得:2927a -=,即236a =,
解得:6a =±,
则226x y +=±,
3x y ∴+=±;
(2)令224a b x +=,ab y =,
则原方程变为:3247236x y x y -=⎧⎨+=⎩,解之得:172x y =⎧⎨=⎩
, ∴22417a b +=,2ab =,
∴()2
2224417825a b a ab b +=++=+=, ∴25a b +=±, ∴1125224
b a a b ab ++==±; (3)由方程组21111122222222a x a x b y
c a a x a x b y c a ⎧-+=-⎨-+=-⎩,得211111222222
22a x a x a b y c a x a x a b y c ⎧-++=⎨-++=⎩, 整理,得:21112222
(1)(1)a x b y c a x b y c ⎧-+=⎨-+=⎩, 方程组1112
22a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是95x y =⎧⎨=⎩, ∴方程组211122
22(1)(1)a x b y c a x b y c ⎧-+=⎨-+=⎩的解是:2(1)95x y ⎧-=⎨=⎩, 13x ∴-=±,且5y =,
解得:45x y =⎧⎨=⎩或25x y =-⎧⎨=⎩
. 【点睛】
本题主要考查换元法解方程、方程组及因式分解,根据方程和代数式的特点设出合适的新元是解题的关键.
25.(1)1;(2)7
【分析】
(1)计算方程的根的判别式,令△=b 2-4ac=0,即可求出k 的值;
(2)先将k=1代入方程,得到x 2-4x+4=0,解方程求出两腰的长为2,又已知底边是3,则根据三角形的周长公式即可求解.
【详解】
解:(1)∵△=b 2-4ac=[-(3k+1)]2-4•(2k 2+2k )=k 2-2k+1=(k-1)2=0,
∴k=1;
(2)将k=1代入方程,得x 2-4x+4=0,
解得:x 1=x 2=2.
此时△ABC 三边为3,2,2;
所以周长为7.
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式及三角形的周长,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根.
26.(1)243y x x =-+;()2,1-;(2)
P ()2
、()2、()2,1-;(3)存
在,E ()2,5,()2,1-,3172,2、3172,2.
【分析】 (1)根据题意,设二次函数的一般式解析式,再代入1,0A 、()3,0B 、()0,3C ,转化为解三元一次方程组即可解得一般式解析式,再利用配方法将一般式解析式化为顶点式解析式即可;
(2)先解得2AB =,再结合三角形面积公式及绝对值的几何意义解题即可
(3)当BCE ∆是直角三角形时,分三种情况讨论:BC BE ⊥或BC CE ⊥或BE CE ⊥,分别结合勾股定理解题即可.
【详解】
解:(1)设二次函数的表达式为2y ax bx c =++
将1,0A 、()3,0B 、()0,3C 分别代入得09303a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩
解得:143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩
∴二次函数表达式为243y x x =-+
()2
24321y x x x ∴=-+=--
∴顶点坐标为()2,1-;
(2)312AB =-= 12p ABP AB y S ∆⋅=
=
1p y ∴= 1p y ∴=±
当1p y =时,2431x x
-+=
解得12
x =,22x =
当1p y =-时,2431x x -+=-
解得122x x ==,
∴点p 的坐标为()2-、()2+、()2,1-;
(3)存在,符合条件的点E 共有4个,坐标分别为()2,5,()2,1-,3172,2、3172,2,理由如下:
抛物线的对称轴为2x =,设(2,)E t 得, 2223+3=18BC =
2222=(23)=1+BE t t -+
22222(3)613CE t t t =+-=-+ 当BC BE ⊥时,
222+BC BE CE =
22181613t t t ∴++=-+
1t ∴=-
(2,1)E ∴-; 当BC CE ⊥时,
222
+BC CE BE =
22186131t t t ∴+-+=+
5t ∴= (2,5)E ∴; 当BE CE ⊥时,
222
+BE CE BC =
22161318t t t ∴++-+=
2320t t ∴--=
1,3,2a b c ==-=-
224(3)41(2)17b ac ∴∆=-=--⨯⨯-=
12332222
b b t t a a -++--∴==== 此时3172,2E 或3172,2,
综上所述,符合条件的点E 共有4个,坐标分别为()2,5,()2,1-,3172,2、
317
2,
.
2
【点睛】
本题考查待定系数法解二次函数的解析式、化二次函数的一般式解析式为顶点式解析式、直角三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程等知识,是重要考点,难度一般,掌握相关知识是解题关键.。