集合的基本概念

一、 集合的概念
1． 集合：某些指定的对象集在一起成为集合．
集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，记作A b ∉； 2． 集合的性质：
确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；
互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；
无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；
二、 集合的表示：表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；
1． 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,
} 2． 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．
例如：大于3的所有整数表示为：{|3}x x ∈>Z
方程2250x x --=的所有实数根表示为：{x ∈R |2250x x --=}
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后
写出这个集合中元素所具有的共同特征．
注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有
无限个元素时，不宜采用列举法．
3． 常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N ；正整数集，记作*N 或N +；整数集，记作Z ；
有理数集，记作Q ；实数集，记作R ．
三、 集合之间的关系
1． 若集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ⊆B （或B A ⊂）； 2． 简单性质：1）A ⊆A ；2）∅⊆A ；3）若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；
3． 真子集关系：对于两个集合A 与B ，若A B ⊆且．A B ≠，则集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ） 4． 相等关系：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，且B A ⊆ ，那么集合A 与B 相等，记作A B =
5． 0，{0}，∅，{}∅之间的区别与联系
①0与{0}是不同的，0只是一个数字，而{0}则表示集合，这个集合中含有一个元素0，它们的关系是0{0}∈
②∅与{0}是不同的，∅中没有任何元素，{0}则表示含有一个元素0的集合，它们的关系是两个集合之间的关系（{}0∅）
③∅与{}∅是不同的，∅中没有任何元素，{}∅则表示含有一个元素∅的集合，它们的关系是{}∅∈∅或{}∅⊆∅或{}∅
∅ ④显然，0∉∅，0{}∉∅
集合的概念及其关系
6． 子集个数问题
设集合A 中元素个数为n ，则①子集的个数为2n ，②真子集的个数为21n -，③非空真子集的个数为22n - 一、 交集、并集、补集概念
1． 由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集． 记作A B （读作“A 交B ”），即{|,A B x x A =∈且}x B ∈
① 数学符号表示：{|,A B x x A =∈且}x B ∈
② Venn 图反映：
2． 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集．
并集{|}A B x x A x B =∈∈或．（读作“A 并B ”）
① 数学符号表示： {|,A B x x A =∈或}x B ∈
② Venn 图反映：
3． 补集的概念：
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究的问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，
通常记作U
补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的
补集，记作U A ，即{|,U A x x U =∈且}x A ∉
①数学符号表示：
{|,U A x x U =∈且}x A ∉
②Venn 图反映：
二、
集合的运算性质
B A
B A B A B A
B A B A B A A U
A U 集合的基本运算
（1）,,;A A A A A B B A =∅=∅=（2）,;A A A B B
A ∅==（3）()();A
B A B ⊆ （4）;A B A B A A B A B B ⊆⇔=⊆⇔=；（5）()()(),()()().U U U U U U A B A B A B A B ==
三、 容斥原理()()()()card A B card A card B card A B =+-．。