初中数学反比例函数解析含答案(1)

初中数学反比例函数解析含答案(1)
一、选择题
1．已知点()1,3M -在双曲线k y x =上，则下列各点一定在该双曲线上的是（ ） A ．()3,1-
B ．()1,3--
C ．()1,3
D ．()3,1 【答案】A
【解析】
【分析】
先求出k=-3，再依次判断各点的横纵坐标乘积，等于-3即是在该双曲线上，否则不在.
【详解】
∵点()1,3M -在双曲线k y x
=
上， ∴133k =-⨯=-，
∵3(1)3⨯-=-，
∴点(3，-1)在该双曲线上，
∵(1)(3)13313-⨯-=⨯=⨯=，
∴点()1,3--、()1,3、()3,1均不在该双曲线上，
故选：A.
【点睛】
此题考查反比例函数解析式，正确计算k 值是解题的关键.
2．如图，是反比例函数3y x =和7y x
=-在x 轴上方的图象，x 轴的平行线AB 分别与这两个函数图象相交于点,A B ，点P 在x 轴上．则点P 从左到右的运动过程中，APB △的面积是（ ）
A ．10
B ．4
C ．5
D ．从小变大再变小
【答案】C
【解析】
【分析】
连接AO 、BO ，由AB ∥x 轴，得ABP ABO S S =V V ，结合反比例函数比例系数的几何意义，即可求解．
【详解】
连接AO 、BO ，设AB 与y 轴交于点C ．
∵AB ∥x 轴，
∴ABP ABO S S =V V ，AB ⊥y 轴， ∵73522
ABO BOC AOC S S S -=+=
+=V V V ， ∴APB △的面积是：5．
故选C ．
【点睛】
本题主要考查反比例函数比例系数的几何意义，掌握反比例函数图象上的点与原点的连线，反比例函数图象上的点垂直于坐标轴的垂线段以及坐标轴所围成的三角形面积等于反比例函数比例系数绝对值的一半，是解题的关键．
3．如图，菱形OABC 的顶点C 的坐标为（3，4），顶点A 在x 轴的正半轴上．反比例函数k y x
=(x>0)的图象经过顶点B ，则k 的值为
A ．12
B ．20
C ．24
D ．32
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】 如图，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，
∵点C 的坐标为（3，4），∴OD=3，CD=4.
∴根据勾股定理，得：OC=5.
∵四边形OABC 是菱形，∴点B 的坐标为（8，4）.
∵点B 在反比例函数
(x>0)的图象上， ∴
. 故选D.
4．如图，在平面直角坐标系中，点A 是函数()0k y x x
=>在第一象限内图象上一动点，过点A 分别作AB x ⊥轴于点B AC y ⊥、轴于点C ，AB AC 、分别交函数()10y x x
=>的图象于点E F 、，连接OE OF 、．当点A 的纵坐标逐渐增大时，四边形OFAE 的面积（ ）
A ．不变
B ．逐渐变大
C ．逐渐变小
D ．先变大后变小
【答案】A
【解析】
【分析】 根据反比例函数系数k 的几何意义得出矩形ACOB 的面积为k ，BOE S V COF S =V 12=，则四边形OFAE 的面积为定值1k -．
【详解】
∵点A 是函数(0k y x x =
>)在第一象限内图象上，过点A 分别作AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y 轴于点C ，
∴矩形ACOB 的面积为k ，
∵点E 、F 在函数1y x =
的图象上， ∴BOE S V COF S =V 12
=， ∴四边形OFAE 的面积11122k k =-
-=-， 故四边形OFAE 的面积为定值1k -，保持不变，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了反比例函数中系数k 的几何意义，根据反比例函数系数k 的几何意义可求出四边形和三角形的面积是解题的关键．
5．如图，点P 是反比例函数(0)k y k x
=
≠的图象上任意一点，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M . 连接OP . 若POM ∆的面积等于2. 5，则k 的值等于 （ ）
A ．5-
B ．5
C ． 2.5-
D ．2. 5
【答案】A
【解析】
【分析】 利用反比例函数k 的几何意义得到12|k|=2，然后根据反比例函数的性质和绝对值的意义确定k 的值．
【详解】
解：∵△POM 的面积等于2.5，
∴12
|k|=2.5， 而k ＜0，
∴k=-5，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k 的几何意义：在反比例函数y=k x
图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质．
6．如图，点A 、B 在函数k y x
=（0x >，0k >且k 是常数）的图像上，且点A 在点B 的左侧过点A 作AM x ⊥轴，垂足为M ，过点B 作BN y ⊥轴，垂足为N ，AM 与BN 的交点为C ，连结AB 、MN ．若CMN ∆和ABC ∆的面积分别为1和4，则k 的值为（ ）
A ．4
B ．2
C 522
D ．6
【答案】D
【解析】
【分析】
设点M（a，0），N（0，b），然后可表示出点A、B、C的坐标，根据CMN
∆的面积为1可求出ab＝2，根据ABC
∆的面积为4列方程整理，可求出k．
【详解】
解：设点M（a，0），N（0，b），
∵AM⊥x轴，且点A在反比例函数
k
y
x
=的图象上，
∴点A的坐标为（a，k
a
），
∵BN⊥y轴，
同理可得：B（k
b
，b），则点C（a，b），
∵S△CMN＝1
2
NC•MC＝
1
2
ab＝1，
∴ab＝2，
∵AC＝k
a
−b，BC＝
k
b
−a，
∴S△ABC＝1
2
AC•BC＝
1
2
(
k
a
−b)•(
k
b
−a)＝4，即8
k ab k ab
a b
--
⋅=，
∴()2216
k-=，
解得：k＝6或k＝−2（舍去），
故选：D．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积计算等，解答本题的关键是明确题意，利用三角形的面积列方程求解．
7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为(﹣1，1)，点B在x轴正
半轴上，点D在第三象限的双曲线y＝8
x
上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，则CE的
长为( )
A．8
5
B．
23
5
C．3.5 D．5
【答案】B 【解析】【分析】
设点D(m，8
m
)，过点D作x轴的垂线交CE于点G，过点A过x轴的平行线交DG于点
H，过点A作AN⊥x轴于点N，根据AAS先证明△DHA≌△CGD、△ANB≌△DGC可得AN＝DG＝1＝AH，据此可得关于m的方程，求出m的值后，进一步即可求得答案.
【详解】
解：设点D(m，8
m
)，过点D作x轴的垂线交CE于点G，过点A过x轴的平行线交DG于
点H，过点A作AN⊥x轴于点N，如图所示：
∵∠GDC+∠DCG＝90°，∠GDC+∠HDA＝90°，∴∠HDA＝∠GCD，
又AD＝CD，∠DHA＝∠CGD＝90°，
∴△DHA≌△CGD(AAS)，
∴HA＝DG，DH＝CG，
同理△ANB≌△DGC(AAS)，
∴AN＝DG＝1＝AH，则点G(m，8
m
﹣1)，CG＝DH，
AH＝﹣1﹣m＝1，解得：m＝﹣2，
故点G(﹣2，﹣5)，D(﹣2，﹣4)，H(﹣2，1)，
则点E(﹣8
5
，﹣5)，GE＝
2
5
，
CE＝CG﹣GE＝DH﹣GE＝5﹣2
5
＝
23
5
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、反比例函数图象上点的坐标特点和全等三角形的判定与性质，构造全等、充分运用正方形的性质是解题的关键.
8．一次函数y=ax+b与反比例函数
a b
y
x
-
=，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标
系中的图象可以是（）
A．B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一次函数的位置确定a、b的大小，看是否符合ab<0，计算a-b确定符号，确定双曲线的位置．
【详解】
A. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0，
满足ab<0，
∴a−b>0，
∴反比例函数y=a b
x
-
的图象过一、三象限，
所以此选项不正确；
B. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y 轴正半轴，则b>0，
满足ab<0，
∴a −b<0，
∴反比例函数
y=a b x -的图象过二、四象限， 所以此选项不正确； C. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y 轴负半轴，则b<0，
满足ab<0，
∴a −b>0，
∴反比例函数y=
a b x
-的图象过一、三象限， 所以此选项正确； D. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y 轴负半轴，则b<0，
满足ab>0，与已知相矛盾
所以此选项不正确；
故选C.
【点睛】
此题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，解题关键在于确定a 、b 的大小
9．如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O 位于坐标原点，斜边AB 垂直于x 轴，顶点A 在函数y 1=1k x
（x>0）的图象上，顶点B 在函数y 2= 2k x （x>0）的图象上，∠ABO=30°，则21
k k =（ ）
A ．-3
B ．3
C ．13
D ．- 13
【答案】A
【解析】
【分析】 根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，和勾股定理，设出适当的常数，表示出其它线
段，从而得到点A、B的坐标，表示出k1、k2，进而得出k2与k1的比值．【详解】
如图，设AB交x轴于点C，又设AC=a.
∵AB⊥x轴∴∠ACO=90°
在Rt△AOC中，OC=AC·tan∠OAB=a·tan60°3
∴点A3a，a）
同理可得点B3，-3a）
∴k1332， k23a×（-3a）3a
∴2
133
3 3
k a
k a
==-.
故选A.
【点睛】
考查直角三角形的边角关系，反比例函数图象上点的坐标特征，设适合的常数，用常数表示出k，是解决问题的方法．
10．在反比例函数y＝93
m
x
+
图象上有两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，y1＜0＜y2，x1＞x2，则有
（）
A．m＞﹣1
3
B．m＜﹣
1
3
C．m≥﹣
1
3
D．m≤﹣
1
3
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据y1＜0＜y2，有x1＞x2，判断出反比例函数的比例系数的正负，求出m的取值范围即可．
【详解】
∵在反比例函数y＝93
m
x
+
图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），y1＜0＜y2，x1＞x2，
∴反比例函数的图象在二、四象限，
∴9m+3＜0，解得m＜﹣1
3
．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数的性质
11．函数y=1-k
x
与y=2x的图象没有交点,则k的取值范围是()
A．k<0 B．k<1 C．k>0 D．k>1
【答案】D
【解析】
【分析】
由于两个函数没有交点，那么联立两函数解析式所得的方程无解．由此可求出k的取值范围．
【详解】
令1-k
x
=2x，化简得：x2=
1-
2
k
；由于两函数无交点，因此
1-
2
k
＜0，即k＞1．
故选D．
【点睛】
函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．如果两函数无交点，那么联立两函数解析式所得的方程（组）无解．
12．若函数
2
m
y
x
+
=的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是
（）
A．m＞﹣2 B．m＜﹣2
C．m＞2 D．m＜2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据反比例函数的性质，可得m+2＜0，从而得出m的取值范围．【详解】
∵函数
2
m
y
x
+
=的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，
∴m+2＜0，解得m＜-2．故选B．
13．如图，Rt △AOB 中，∠AOB=90°，AO=3BO ，OB 在x 轴上，将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转至△RtA'OB'，其中点B'落在反比例函数y=﹣2x
的图象上，OA'交反比例函数y=k x 的图象于点C ，且OC=2CA'，则k 的值为（ ）
A ．4
B ．72
C ．8
D ．7
【答案】C
【解析】
【详解】 解：设将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转至Rt △A'OB'的旋转角为α，OB=a ，则OA=3a ， 由题意可得，点B′的坐标为（acosα，﹣asinα），点C 的坐标为（2asinα，2acosα）， ∵点B'在反比例函数y=﹣
2x 的图象上， ∴﹣asinα=﹣2acos α
，得a 2sinαcosα=2， 又∵点C 在反比例函数y=
k x 的图象上， ∴2acos α=
k 2asin α
，得k=4a 2sinαcosα=8. 故选C.
【点睛】 本题主要考查反比例函数与几何图形的综合问题，解此题的关键在于先设旋转角为α，利用旋转的性质和三角函数设出点B'与点C 的坐标，再通过反比例函数的性质求解即可.
14．如图，点A ，B 在反比例函数1(0)y x x
=>的图象上，点C ，D 在反比例函数(0)k y k x
=>的图象上，AC//BD//y 轴，已知点A ，B 的横坐标分别为1，2，△OAC 与△ABD 的面积之和为
32，则k 的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．3 2
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据A,B两点的横坐标，求出A,B两点的坐标，进而根据AC//BD// y 轴,及反比例函数图像上的点的坐标特点得出C,D两点的坐标，从而得出AC,BD的长，根据三角形的面积公
式表示出S△OAC,S△ABD的面积，再根据△OAC与△ABD的面积之和为3
2
，列出方程，求解得出
答案.【详解】
把x=1代入
1
y
x
=得：y=1,
∴A(1,1),把x=2代入
1
y
x
=得：y=
1
2
,
∴B(2, 1 2 ),
∵AC//BD// y轴,
∴C(1,K),D(2,k 2 )
∴AC=k-1,BD=k
2
-
1
2
，
∴S△OAC=1
2
（k-1）×1,
S△ABD=1
2
(
k
2
-
1
2
)×1,
又∵△OAC与△ABD的面积之和为3
2
，
∴1
2
（k-1）×1＋
1
2
(
k
2
-
1
2
)×1=
3
2
，解得：k=3;
故答案为B.
【点睛】
:此题考查了反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键.
15．如图所示，已知()121,,2,2A y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为反比例函数1y x =图象上的两点，动点()
,0P x 在x 轴正半轴上运动，当AP BP -的值最大时，连结OA ，AOP ∆的面积是 （ ）
A ．12
B ．1
C ．32
D ．52
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据反比例函数解析式求出A ，B 的坐标，然后连接AB 并延长AB 交x 轴于点P '，当P 在P '位置时，PA PB AB -=,即此时AP BP -的值最大，利用待定系数法求出直线AB 的解析式，从而求出P '的坐标，进而利用面积公式求面积即可．
【详解】
当12
x =时，2y = ，当2x =时，12y = ， ∴11
(,2),(2,)2
2A B ．
连接AB 并延长AB 交x 轴于点P '，当P 在P '位置时，PA PB AB -=,即此时AP BP -的值最大．
设直线AB 的解析式为y kx b =+ ，
将1
1(,2),(2,)22
A B 代入解析式中得
122122k b k b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
解得152k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩ ， ∴直线AB 解析式为52y x =-+
． 当0y =时，52x =
，即5(,0)2P '， 115522222
AOP A S OP y '∴=
⋅=⨯⨯=V ． 故选：D ．
【点睛】 本题主要考查一次函数与几何综合，掌握待定系数法以及找到AP BP -何时取最大值是解题的关键．
16．直线y ＝ax (a ＞0)与双曲线y ＝
3x 交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则代数式4x 1y 2－3x 2y 1的值是( )
A ．－3a
B ．－3
C ．3a
D ．3
【答案】B
【解析】
【分析】
先把1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 代入反比例函数3y x =得出11x y g 、22x y g 的值，再根据直线与双曲线均关于原点对称可知12x x =-，12y y =-，再把此关系式代入所求代数式进行计算即可．
【详解】
解：1(A x Q ，1)y 、2(B x ，2)y 在反比例函数3y x
=的图象上， 11223x y x y ∴==g g ，
Q 直线(0)y ax a =>与双曲线3
y x
=的图象均关于原点对称， 12x x ∴=-，12y y =-，
∴原式111111433x y x y x y =+=-=--．
故选：B ．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象的对称性及反比例函数的性质，根据题意得出
11223x y x y ==g g ，12x x =-，12y y =-是解答此题的关键．
17．若点A （﹣4，y 1）、B （﹣2，y 2）、C （2，y 3）都在反比例函数1y x =-
的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是( )
A ．y 1＞y 2＞y 3
B ．y 3＞y 2＞y 1
C ．y 2＞y 1＞y 3
D ．y 1＞y 3＞y 2 【答案】C
【解析】
【分析】
根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y 1、y 2、y 3的值，比较后即可得出结论.
【详解】
∵点A(﹣4，y 1)、B(﹣2，y 2)、C(2，y 3)都在反比例函数1y x =-
的图象上， ∴11144y =-
=-，21122y =-=-，312y =-， 又∵﹣12＜14＜12
， ∴y 3＜y 1＜y 2，
故选C.
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数值的大小比较，熟知反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数的解析式是解题的关键.
18．已知点11(,)x y ，22(,)x y 均在双曲线1y x =-
上，下列说法中错误的是（ ） A ．若12x x =，则12y y =
B ．若12x x =-，则12y y =-
C ．若120x x <<，则12y y <
D ．若120x x <<，则12y y > 【答案】D
【解析】
【分析】
先把点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）代入双曲线1y x =-
，用y 1、y 2表示出x 1，x 2，据此进行判断．
【详解】
∵点（x 1，y 1），（x 2，y 2）均在双曲线1y x =-
上， ∴11
1y x =-，221y x =-．
A 、当x 1=x 2时，-11x
=-2
1x ，即y 1=y 2，故本选项说法正确； B 、当x 1=-x 2时，-11x =2
1x ，即y 1=-y 2，故本选项说法正确； C 、因为双曲线1y x
=-
位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大，所以当0＜x 1＜x 2时，y 1＜y 2，故本选项说法正确； D 、因为双曲线1y x
=-
位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大，所以当x 1＜x 2＜0时，y 1＞y 2，故本选项说法错误；
故选：D ． 【点睛】 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
19．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，90ABC ∠=︒，CA x ⊥轴，点C 在函数()0k y x x
=>的图象上，若1AB =，则k 的值为（ ）
A ．1
B ．22
C 2
D ．2
【答案】A
【解析】
【分析】 根据题意可以求得 OA 和 AC 的长，从而可以求得点 C 的坐标，进而求得 k 的
值，本题得以解决．
【详解】
Q 等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，90ABC ∠=︒，CA ⊥x 轴，1AB =，
45BAC BAO ︒∴∠=∠=，
22
OA OB ∴==，2AC =，
∴点C 的坐标为2,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝， Q 点C 在函数()0k y x x
=>的图象上， 2212
k ∴=⨯=， 故选：A ．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键 是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．若一个圆锥侧面展开图的圆心角是270°，圆锥母线l 与底面半径r 之间的函数关系图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长得到2πr=
270180
l π⋅⋅，整理得l=43r （r ＞0），然后根据正比例函数图象求解．
【详解】 解：根据题意得2πr=270180
l π⋅⋅，所以l=43r （r ＞0）， 即l 与r 为正比例函数关系，其图象在第一象限．
故选A ．
【点睛】
本题考查圆锥的计算；函数的图象．。