高三数学一轮(人教B)课件：第3章 第4节 定积分与微积分基本定理(理)

1.定积分的有关概念
(1)在
b
f(x)dx中，___a_、__b__分别叫做积分下限与积分上
a
限，区间__[a_，__b]___叫做积分区间，___f(_x_) ___叫做被积函数，
____x____叫做积分变量，__f_(x_)_dx___叫做被积式．
(2)定积分bf(x)dx是一个常数． a
S＝2
(x－x2)dx＝2(12x2－31x3) ＝16，区域 A 的面积 S＝
(x－x2－kx)＝(1－2 kx2－13x3)
1－k3
＝1－6 k3，∵
6 1
＝287，∴(1
6
－k)3＝287，∴1－k＝23，∴k＝13.
典例探究学案
定积分的几何意义
曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝
a
轴、函数f(x)的图象以及直线x＝a、x＝b之间各部分面积的代
数和，在x轴上方的面积取正号；在x轴下方的面积取负号．
3．定积分的性质
kb
f(x)dx
(1)b
kf(x)dx＝__a______(k为常数)；
a
(2)b[
f
1(x)±
f
2(x)]
dx＝__ba__f1_(x_)_d_x_±__ba _f_2_(x_)_d_x_；
成才之路 ·数学
人教B版 ·高考总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 导数及其应用
第三章
第四节 定积分与微积分 基本定理(理)
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 课时作业
自主预习学案
• 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本 思想，了解定积分的概念，了解微积分基本 定理的含义.
• 从近几年高考命题看，本节内容多以选择题 或填空题形式出现，主要是利用微积分基本 定理进行计算求值，利用定积分的几何意义 求平面图形的面积．与其他知识交汇是高考 命题的方向，备考中应进行相应训练.
0
4．(2014·河北衡水中学二调)在平面直角坐标系中，记抛
物线y＝x－x2与x轴所围成的平面区域为M，该抛物线与直线y
＝kx(k＞0)所围成的平面区域为A，向区域M内随机抛掷一点
P，若点P落在区域A内的概率为287，则k的值为( )
1
2
A.3
B.3
1
3
C.2
D.4
[答案] A
[解析] 如图，由yy＝ ＝kxx－x2 ，得 x＝1－k，区域 M 的面积
π 4Biblioteka ，x＝π 2所围成的平面区域的面积．且这两部分的面积相等，
结合定积分定义可知选D.
[方法总结] 如果被积函数有明显的几何意义，计算定积
分时可按几何方法求定积分．
2
(|x＋1|＋|x－1|)dx＝________.
－2
[答案] 10
[解析]
－2x x≤－1， ∵|x＋1|＋|x－1|＝2 －1<x<1，
a
b
f(x)dx
(3)c f(x)dx＋b f(x)dx＝__a ______(其中a<c<b)．
a
c
4．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F ′(x)
＝f(x)，那么b f(x)dx＝__F_(b_)_－_F_(_a_) ___. a
即b
f(x)dx＝F(x)|ba＝__F_(b_)_－_F_(a_)____.
(2)9 x(1＋ x)dx＝________； 4
(3)2|3－2x|dx＝________. 1
2x x≥1，
∴
2
－2
(|x＋1|＋|x－1|)dx＝
－1 －2
(－2x)dx＋
1
－1
2dx＋
2
1
2xdx＝－
x2|－ －12＋2x|1－1＋x2|21＝10.
• [点评] 由定积分的几何意义知，积分值为图 中阴影部分的面积．
定积分的性质与微积分基本定理
求下列定积分
(1)2(ex＋x2＋x 1)dx＝________； 1
2．定积分的几何意义
当f(x)≥0时，定积分
b
f(x)dx的几何意义：表示由直线x＝
a
a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面
积．当y<0时，即曲边梯形在x轴的下方时
b
f(x)dx在几何上表
a
示这个曲边梯形面积的相反数．
一般情况下(如下图)，定积分
b
f(x)dx的几何意义是介于x
x2－1，直线x＝0，x＝2和x轴围成的封闭图形(如图所示)的面
积可表示为( )
A.2(x2－1)dx 0
B.2|x2－1|dx 0
C．|2(x2－1)dx| 0
D.1(x2－1)dx＋2(x2－1)dx
0
1
• [答案] B
[解析] 曲线y＝x2－1，直线x＝0，x＝2和x轴围成的封闭 图形的面积可表示为2|x2－1|dx.故选B.
a
其中F(x)是f(x)的一个原函数．
1.(2013·江西理，6)若S1＝
2
x2dx，S2＝
2
1 x
dx，S3＝
2
exdx，
1
1
1
则S1，S2，S3的大小关系为( )
A．S1<S2<S3
B．S2<S1<S3
C．S2<S3<S1
D．S3<S2<S1
• [答[解案析]] B S1＝2x2dx＝x33|21＝73. 1 S2＝21xdx＝lnx|21＝ln2－ln1＝ln2. 1 S3＝2exdx＝ex|21＝e2－e＝e(e－1)． 1 ∵e>2.7，ln2<1， ∴S3>3>S1>S2.故选B.
π 2
所围成
的平面区域的面积为( )
A． (sinx－cosx)dx B． (sinx－cosx)dx
C． (cosx－sinx)dx D．2 (cosx－sinx)dx
• [答[分案析]]
在同一坐标系中作出函数y＝sinx，y＝cosx，和直
D
线x＝0，x＝ π2 ，观察它们所围成的图形，找出积分上下限和被
2．(2014·哈师大、东北师大、辽宁实验中学一模)
sin2
x 2
dx＝( )
A．0
B.π4－21
C.π4－41
D．π2－1
• [答案] B
[解析] π4－21.故选 B.
sin22xdx＝
(21－21cosx)dx＝(12x－12sinx) ＝
3．(2014·福建泉州五中、莆田、漳州一中期末)由曲线y＝
积函数． [解析] 当x∈[0，π2]时，y＝sinx与y＝cosx的图象的交点坐
标为π4，
2 2
，作图可知曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝
π2所围成的平面区域的面积可分为两部分：
一部分是曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝
π 4
所围成的平
面区域的面积；另一部分是曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝