双曲线专题讲义

双曲线专题讲义
一、知识梳理
1．双曲线定义
平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0.
(1)当2a <|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线；
(2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线；
(3)当2a >|F 1F 2|时，P 点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2
＝1(a >0，b >0) 图形
性
质 范围
x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a 对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点
A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 渐近线 y ＝±b a x y ＝±a b x 离心率 e ＝c a
，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴 线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ，线段B 1B 2叫做双曲线的
虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半
轴长
a ，
b ，
c 的关系
c 2＝a 2＋b 2 (c >a >0，c >b >0)
(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b
2＝t (t ≠0)． (2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2n
＝1(mn <0)． 二、基础检测
题组一：思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )
(2)方程x 2m －y 2n
＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( ) (3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y n
＝0.( ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( )
(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22
＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．( )
题组二：教材改编
2．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A. 5
B ．5 C. 2 D ．2
3．经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
题组三：易错自纠
4．已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n
＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A ．(－1,3)
B ．(－1，3)
C ．(0,3)
D ．(0，3)
5．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( ) A.73 B.54 C.43 D.53
6．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12
x ，则该双曲线的标准方程为_______． 三、典型例题
题型一：双曲线的定义及标准方程
命题点1：利用定义求轨迹方程
典例 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________．
命题点2：利用待定系数法求双曲线方程
典例 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为54
； (2)焦距为26，且经过点M (0,12)；
(3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)．
命题点3：利用定义解决焦点三角形问题
典例 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.
引申探究：1．本例中，若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积是多少？
2．本例中，若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积是多少？
思维升华：(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF 1－PF 2|＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．
(3)利用待定系数法求双曲线方程要先定形，再定量，如果已知双曲线的渐近线方程，可设有公共渐近线的
双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可． 跟踪训练 (1)设椭圆C 1的离心率为513
，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为_________．
(2)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )
A.x 24－3y 24
＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24
＝1 D.x 24－y 212
＝1 题型二：双曲线的几何性质
典例 (1)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.2x ±y ＝0
B ．x ±2y ＝0
C ．x ±2y ＝0
D ．2x ±y ＝0 (2)已知双曲线
E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是______．
思维升华：双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±b a
满足关系式e 2＝1＋k 2. 跟踪训练 已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2
b 2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13
，则E 的离心率为( ) A. 2 B.32
C. 3 D ．2 题型三：直线与双曲线的综合问题
典例已知直线y ＝kx －1和双曲线x 2－y 2＝1的右支交于不同两点，则k 的取值范围是______．
思维升华：(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．
(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．
跟踪训练 已知双曲线x 22－y 23
＝1上存在两点P ，Q 关于直线y ＝x ＋b 对称，且PQ 的中点M 在抛物线y 2＝9x 上，则实数b 的值为( )
A ．0或－10
B ．0或－2
C ．－2
D ．－10
注意：直线与圆锥曲线的交点
典例 若直线y ＝kx ＋2与曲线x ＝y 2＋6交于不同的两点，那么k 的取值范围是( ) 四、反馈练习
1．双曲线x 2a 2－y 24a 2＝1(a ≠0)的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x
B ．y ＝±12x
C ．y ＝±4x
D ．y ＝±2x
2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，右焦点F 到渐近线的距离为2，点F 到原点的距离为3，则双曲线C 的离心率e 为( ) A.
53 B.355 C.63 D.62
3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( )
A.x 26－y 25
＝1 B.x 28－y 212＝1 C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26
＝1 4．已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若2OMF S
＝16，则双曲线的实轴长是( )
A ．32
B ．16
C ．84
D ．4 5．已知l 是双曲线C ：x 22－y 24
＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则P 到x 轴的距离为( )
A.233
B.2 C ．2 D.263
6．过双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为
13bc 3，则双曲线的离心率为( ) A.
52 B.53 C.132 D.133
7．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、4为半径的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 212
＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24
＝1 8．若双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)上存在一点P 满足以|OP |为边长的正方形的面积等于2ab (其中O 为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是 9．已知双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________.
10．设动圆C 与两圆C 1：(x ＋5)2＋y 2＝4，C 2：(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切，则动圆圆心C 的轨迹方程为____________．
11．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．
12．设双曲线x 2－y 2
3
＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．
13．已知双曲线x 2－y 2
3
＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2
＝e ，则F 2P →·F 2F 1--------→的值为( ) A ．3
B ．2
C ．－3
D ．－2
14．已知F 1，F 2为双曲线的焦点，过F 2作垂直于实轴的直线交双曲线于A ，B 两点，BF 1交y 轴于点C ，若AC ⊥BF 1，则双曲线的离心率为( )
A. 2
B.3 C．2 2 D．23
15．已知双曲线E：x2
a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝6，P是E右支上的一点，
PF1与y轴交于点A，△P AF2的内切圆与边AF2的切点为Q.若|AQ|＝3，则E的离心率是() A．2 3 B.5
C. 3
D.2
16．已知双曲线x2
a2－y2
b2＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，
则此双曲线的离心率e的最大值为________．。