2.2 二次函数的图象与性质二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 课件 初中数学北师大版九年级下册

(1,0).

2
(2)抛物线 y=- (x+3) 的开口向下,对称轴为直线 x=-3,顶点坐标为

(-3,0).
6.已知抛物线y=a(x-h)2向右平移4个单位长度后,所得的图象与抛物
线y=-2(x-5)2 重合,求a,h的值.
解:抛物线y=-2(x-5)2的顶点坐标为(5,0).把点(5,0)向左平移4个单
函数图象如图所示.
∴抛物线的开口向上,对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,0),函数有最
小值0,
当x>3时,y随x的增大而增大;当x<3时,y随x的增大而减小.
1.将二次函数y=-3x 2 的图象平移后,得到二次函数y=-3(x-1) 2 的图
象,平移方法正确的是(
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
而减小.
新知应用
2
1.已知抛物线 y=a(x+m) (m 为常数)的顶点在 y 轴的右侧,且 am<0,则
此图象的开口方向 向上 .

2
2.画出函数 y= (x-3) 的图象,并说出此函数的性质(开口方向、对称

轴、顶点坐标、最值、增减性).
解:当x=0或x=6时,y=4.5;当y=0时,x=3;当x=1或x=5时,y=2.
新知应用
1.在平面直角坐标平面内,把二次函数y=(x+1)2的图象向左平移2个
单位长度,那么图象平移后的函数表达式是( D )
A.y=(x+1)2-2
B.y=(x-1)2
C.y=(x+1)2+2
D.y=(x+3)2
2.函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x2的图象向 左
长度得到.
平移3个单位
二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
第3课时
二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的关系
抛物线y=a(x-h)2是由抛物线y=ax2沿x轴方向左右平移|h|个单位长
度得到的,当h>0时,向 右 平移;当h<0时,向 次函数 y=-3(x- ) 的图象开口方向、对称轴和顶点坐标分

点(3,3),则 m 的值为
6
.
2
4.点 A(-1,y 1 ),B(4,y 2)是二次函数 y=(x-1) 图象上的两个点,则
y1 <
y2(选填“>”“<”或“=”).
5.确定下列函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标.

2
2
(1)y=3(x-1) ;(2)y=- (x+3) .

2
解:(1)抛物线 y=3(x-1) 的开口向上,对称轴为直线 x=1,顶点坐标为
-4
-9
…
(3)在平面直角坐标系中描点画出此抛物线.
解:(3)描点作图如图所示.
[例2-2] 对于二次函数y=-3(x+2)2.
(1)它的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形
吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
解:(1)二次函数y=-3(x+2)2的图象与y=-3x2的图象开口方向和大小
1.对于二次函数y=a(x-h)2的图象,对称轴是直线x= h ,顶点坐标
是 (h,0) .
2.当a>0时,图象开口向 上 .当x<h时,y随x的增大而 减小 ;当x>h
时,y随x的增大而 增大 ;当x=h时,函数有最小值为 0 ;当a<0时,
图象开口向 下 .当x<h时,y随x的增大而 增大 ;当x>h时,y随x
位长度所得对应点的坐标为(1,0).
∴把抛物线y=-2(x-5)2向左平移4个单位长度所得抛物线的函数表达
式为y=-2(x-1)2.
∴原抛物线的函数表达式为y=-2(x-1)2.
∴a的值为-2,h的值为1.
相同.
∵-3<0,∴抛物线的开口向下,
它是轴对称图形,对称轴为直线x=-2,
顶点坐标是(-2,0).
(2)当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值
随x值的增大而减小?
解:(2)∵-3<0,抛物线的开口向下,
∴当x<-2时,y的值随x值的增大而增大;当x>-2时,y的值随x值的增大
的增大而减小;当x=h时,函数有最大值为 0 .

2
[例 2-1] 已知抛物线 y=- (x+1) .

(1)写出抛物线的对称轴;
解:(1)抛物线的对称轴为直线x=-1.
(2)完成下表;
x
y
…
…
-7
-9
-5
-3
3
0
1
-1
-9
…
…
解:(2)填表如下:
x
…
-7
-5
-3
-1
1
3
5
…
y
…
-9
-4
-1
0
-1

2
别是什么?它的图象与二次函数 y=-3x 的图象有什么关系?


2
解:如图所示,抛物线 y=-3(x- ) 的开口向下,对称轴是直线 x= ,顶



点坐标为( ,0).


2
2
二次函数 y=-3(x- ) 与 y=-3x 的图象的形状相同 ,二次函数

2




2
y=-3x 的图象向右平移 个单位长度,得到函数 y=-3(x- ) 的图象.
C.向上平移1个单位长度
D.向下平移1个单位长度
B )
2
2.(2023 济南月考)已知二次函数 y=a(x-h) 图象的对称轴是直线 x=3,
且过点(1,1),则该抛物线的函数表达式为(
A.y= (x-3)

2
2


B.y=4(x-3)
C.y= (x+3)
2
D.y=4(x+3)
2


A
)
2
3.(2023 陕西期末)若抛物线 y= x 向右平移 m(m>0)个单位长度后经过