第2章 牛顿运动定律

分离变量求定积分，并考虑到初始条件：t=0时v=v0，则有
v dv t μ
dt
v v0
2
0R
即
v
1
v0
v0t
R
将上式对时间积分，并利用初始条件t=0时，s=0得
s
R μ
ln 1
μ R
v0t
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例题2-2 一条长为l质量均匀分布的细链条AB，挂在半径 可忽略的光滑钉子上，开始时处于静止状态。已知BC段 长为L（l/2<L<2l/3），释放后链条做加速运动，如图所示。 试求BC=2l/3时，链条的加速度和速度。
a0
a0
mg
T -ma0
mg
讨论一种非惯性系，做直线运动的加速参考系，在以恒定
加速度 沿a直0 线前进的车厢中，用绳子悬挂一物体。在地面
上的惯性参考系中观察，牛顿运动定律成立。 在车厢中的参考系（非惯性系）内观察，虽然物体所受张
f μN
µ为滑动摩擦系数，它与接触面的材料和表面状态（如 粗糙程度、干湿程度等）有关；其数值可查有关手册。
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2.2.2 力学中常见的几种力
3、摩擦力。
当两个相互接触的物体虽未发生相对运动，但沿接触面有 相对运动的趋势时，在接触面间产生的摩擦力为静摩擦力。 静摩擦力的大小可以发生变化。
如图所示，用一水平力F推一放置在粗糙水平面上的木箱，
解：取被抛物体为研究对象，物体运动过程
中只受万有引力作用。取地球为参考系，垂 直地面向上为正方向。物体运动的初始条件
v0
是：t=0时，r0=R，速度是v0。略去地球的公 转与自转的影响，则物体在离地心r处的万有
m
引力F与地面处的重力P之间的关系为
F
G0
Mm r2
R2
R
P
G0
Mm R2
r2
由牛顿第二定律
解：建立如图所示坐标系，设任意时刻BC长度为x，则有
m xg m l x g ma
l
l
C
O
得
a 2x g g l
当 BC x 2l / 3 时， ag/ 3
B
x
16
a 2x g g l
又
a dv dv dx v dv
dt dx dt dx
故
v vdv
0
2 3 L
l
2x l
F
力f，其方向如图所示。取地面为参考系，y轴正方 向向下。根据牛顿第二定律，小球的动力学方程为
f
mg F kv m dv
dt
m
分离变量，得
mdv dt mg F kv
求定积分，并考虑初始条件：t=0时，v=v0，则
mg
有
v mdv
t
dt
v0 mg F kv 0
y
18
可得 ln mg F kv k t
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例题2-1 光滑的桌面上放置一固定的圆环带，半径为R。 一物体贴着环带内侧运动，如图所示。物体与环带间的滑
动摩擦系数为µ。设t=0时，物体经点A，其速率为v0。求t
时刻物体的速率及从点A开始所经过的路程。
解：物体的受力：环带对它的弹力N，方向指向圆心；摩
擦力f，方向与物体的运动方向相反，大小为
f μN （1）
v
f
N
RO
另外，物体在竖直方向受重力和水平桌面施加给 物体的支持力，二者互相平衡，与运动无关。
设物体的质量为m，由牛顿第二定律可得物体运动 的切向和法向方程分别为
f mat （2）
N mv2 / R （3）
联立式（1）~式（3），解得 at μv2 / R
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即
dv μv2 dt R
第2章 牛顿运动定律
牛顿首次在1687年出版的著作《自然哲学 的数学原理》中，提出了三条运动定律，这三 条定律称为牛顿运动定律。
本章重点：2.1；2.3；2.4
1
2.1 牛顿运动定律
2.1.1 牛顿第一定律 任何物体都要保持静止或匀速直线运动状态，直到
其他物体的作用力迫使它改变运动状态为止，这就 是牛顿第一定律。
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2.2.2 力学中常见的几种力
3、摩擦力
当两个相互接触的物体沿接触面有相对运动或有相对运动 的趋势时，在接触面上产生的一对阻碍相对运动的力称为摩 擦力。摩擦力又分为滑动摩擦力和静摩擦力。
当两个相互接触的物体沿接触面有相对运动时，在接触面 间产生的摩擦力为滑动摩擦力，它的方向总是与相对滑动的 方向相反。当相对滑动的速度不是太大或大小时，滑动摩擦 力f与接触面上的正压力N成正比。
说明绳中不同点处张力不相等，张力的大小与加速度a有关。当 a=0或绳子的质量可以忽略不计时，绳中各点的张力都相等。
理想光滑桌面对至于其上物体的支撑力N，从本质上看也是 弹性力。物体和桌面接触后都可能发生了十分微小的弹性形变 ，物体施加给桌面一个压力，桌面施加给物体一个支撑力，它 们是一对作用力和反作用力。
（2）关于雨滴下落的极限速度，可以从另外一个
角度很方便地求得，雨滴达到极限速度的条件是雨
滴的加速度为零，有牛顿第二定律，此时雨滴所受
的合力应该为零，即
m。g 由k此v 可 0得雨滴的极
限速度为
。
v
mg k
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例题2-5 不计空气阻力和其他作用力，竖直上抛物体的初 速v0最小应取多大，才不再返回地球？
F
G0
m1m2 r2
2、电磁力。存在于电荷之间。长程力。
3、强力。存在于质子、中子、介子等强子之间。短程力。 4、弱力。存在于粒子间的某些反应中，如β衰变。短程力。
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2.2.2 力学中常见的几种力
1、重力。 P mg
重力的大小等于质点质量乘以重力加速度，方向与重力 加速度的方向相同（竖直向下指向地心）。
max
m
d2 x dt 2
在直角坐标系中，牛顿第二定律的分量式为
Fy
may
m
d2 dt
y
2
d2z
Fz
maz
m
dt 2
在自然坐标系中，牛顿第二定律的分量式为
dv
v2
Ft mat m dt , Fn man m R
3
F ma
1、牛顿第二定律只适用于惯性系。 2、牛顿第二定律只适用于质点的运动，当物体在做平 动时，物体上各质点的运动情况完全相同，所以物体的 运动可看做是质点的运动，此时这个质点的质量就是整 个物体的质量。 3、牛顿第二定律表示的是瞬时关系。加速度只有在力 有作用时才产生，力改变了，加速度也随之改变。 4、力的叠加原理。当几个力同时作用于物体时，其合力 所产生的加速度，与每个力所产生加速度的矢量和是一样 的，这就是力的叠加原理。
上式中的比例系数与物体的形状、大小和流体性质等因素 有关，可由实验测定。要更精确地反映流体阻力的性质，需 要使用较复杂的经验公式。
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2.3 牛顿运动定律的应用
两类问题：一类是已知作用力求运动；另一类是已知运动 情况求力。
步骤： 1、确定研究对象。 2、分析受力情况画出受力图。 3、选取坐标系。 4、列方程求解。 5、讨论。
分离变量，得
dx
mg k
1
kt
em
dt
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求定积分，并考虑初始条件：t=0时x=0，则有
x
dx
0
t 0
mg k
1
kt
em
dt
即
x
mg k
t
m k
1
kt
em
讨论：
（1）当t→∞时，雨滴下落的速度趋于
v
mg k
=常量
， v 称为极限速率，也是雨滴下落的最大速率。
2、弹性力。
产生形变的物体由于要恢复原状而对与它接触的物体产 生力的作用称为弹性力。如弹簧的回复力、绳中的张力 、作用于相互接触物体间垂直于接触面的正压力等。
一些弹性体（如弹簧）在形变不超过一定的限度时，其
弹性力遵从胡克定律，下式中，k称为弹性体的劲度系数
；x为偏离平衡位置的位移，负号表示力与位移的方向相
于0。而当t→∞时，v不为零的条件是 v02 2Rg
所以，使上抛物不返回地面的最小初速度为
v0 2Rg 2 6.4106 9.8 11.2 103m s1
这个临界速度叫做第二宇宙速度，或逃逸速度。只要 发射速度等于或大于此值，物体就会脱离地球而进入太 阳系。
24
2.4 惯性系和非惯性系
2.4.1 惯性系与非惯性系 凡是牛顿运动定律成立的参考系称为惯性参考系，简称
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2.2.2 力学中常见的几种力
4、流体阻力（也称流体内摩擦力）
当物体在流体内运动时会受到流体的阻力，流体包含气体 和液体。质点所受阻力与质点运动方向相反，当运动速率很 小时阻力的大小与速率成正比，当运动速率一般或较大时阻 力与速率的平方成正比。
质点的运动速率很小时
F kv
质点的运动速率一般或较大时 F αvv
反。
F kx
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2.2.2 力学中常见的几种力
2、弹性力。绳子在受到拉伸时，其内部会出现所谓的弹性张力。
a
F2
N
D
B
A
C
F1
T1 A
C
F1
T2 B
A T1
F1 T1 m1 a,T1 T2 m2 a,
T3 D
B T2
所以 T1 F1 m1 a,T2 T1 m2 a F1 m1 a m2 a,
惯性系。相对于惯性系做匀速直线运动的一切参考系都是 惯性系。
凡是牛顿运动定律不成立的参考系或相对惯性做变速运 动的参考系称为非惯性参考系，简称非惯性系。
自然界中严格的惯性系是不存在的。在一般精确度范围内 ，地球可以近似看做惯性系。
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2.4.2 非惯性系中的力学规律 1、做直线运动的加速参考系。
T
mg
F
kv0
kБайду номын сангаасt
e m
1
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例题2-4 设雨滴下落过程中受到空气黏滞阻力作用，且阻 力的大小为f=kv，试求雨滴下落时的运动规律。
解：雨滴受两个力作用：重力mg，空气阻力f，且
阻力与雨滴的运动方向相反，f=-kv。建立如图所
示的坐标系，x轴正方向向下。且设雨滴初始时刻 O
（t=0）静止于原点，即v0=0。根据牛顿第二定律
在没有推动之前木箱受地面给予的静摩擦力fs一定与推力F等 大且反向， fs随F的增大而增大。但静摩擦力大小有一限度， 当推力大到木箱就要推动时，静摩擦力达到最大值，称为最大
静摩擦力。实验证明，最大静摩擦力fs max与两物体之间的正 压力N成正比。
F
fsmax μs N
fs
µs为静摩擦系数，它与接触面的材料和表面状态有关，同 样的接触面µs>µ，其数值可查相关手册。
F 0时，v 恒矢量
1、惯性：物体保持其运动状态不变的特性。 2、力：物体和物体之间的相互作用。 3、牛顿第一定律成立的参考系为惯性参考系。
2
2.1.2 牛顿第二定律
物体受到力的作用时，它所获得的加速度的大小与合力的
大小成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与合力的
方向相同。
F ma
Fx
1gdx
积分得
L2 2
v
2g L
l
9
l
当 BC x 2l / 3 时，
v0
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例题2-3 一个小球在黏性液体中下沉，已知小球的质量为
m，液体对小球的浮力为F，阻力为f=-kv。若t=0时，小
球的速率为v0，试求小球在黏性液体中下沉的速率随时间 t的变化规律。
解：小球受三个力作用：重力mg，浮力F，摩擦阻
f
，雨滴的动力学方程为
mg kv m dv dt
分离变量，得
g
dv k
v
dt
m
mg
x
求定积分，则有
v dv
t
0 g k v 0 dt
m
20
可得
ln
g
k m
v
k
t
g
m
故有
v
mg k
1
k
em
t
从上式出发，也可以得到任意时刻雨滴的位置坐 标，按照速度的定义有
v
dx dt
mg k
kt
1e m
5
2.1.4 牛顿运动定律的适用范围 1、牛顿运动定律只适用于惯性系。 2、牛顿运动定律只适用于质点的运动速度远小于光速的 情况。 3、牛顿运动定律一般仅适用于宏观物体的宏观运动。对 于微观粒子的微观运动，要用量子力学来处理。
6
2.2 相互作用力
2.2.1 基本的自然力
1、引力。存在于宇宙万物之间。长程力。
4
2.1.3 牛顿第三定律 当物体A以力 F作1 用在物体B上时，物体B也必定同时以力 作用F2在物体A上， 和 F在1 同一F2直线上，大小相等，方向 相反，这就是牛顿第三定律。
F1 F2
1、力是物体之间的一种相互作用。物体受到任何一个 力，必然来自另一个物体对它的作用。 2、作用力和反作用力总是成对出现，同时存在，同时 消失，分别作用在两个互相作用的物体上。 3、作用力和反作用力性质相同。
mg F kv0 m
故有
v
mg F k
1 k
mg
F
kt
kv0 e m
由上式可知，小球的沉降速率随t按指数规律递增， 当t→∞时，速率变为
v
mg k
F
=常量
v 称为极限速率，也是小球沉降的最大速率。
如果取t=0时小球的位置为y=0，再对速度方程 积分，可得小球的运动方程
y
mg k
F
t
m k2
F
ma
mg
R2 r2
所以，物体运动的加速度
a dv v dv g R2
dt dr
r2
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分离变量后进行积分，并考虑到初始条件，则有
v
r R2
vdv g dr
v0
R
r2
即
1 2
v2
1 2
v02
g
R2 r
gR
解得
v
v02
2Rg
2
gR2 r
由上式可知，上抛物体的速度随r的增大而减小。
若使物体不返回地面，则r不管取多大的值，v都不能小