高中数学第二章数列2.4等比数列第1课时等比数列的概念与通项公式同步aa高一数学

(2)a1＝qan－n 1＝5642－51＝5，故 a1＝5. (3)a3＝a1·q2，即 8＝2q2， 所以 q2＝4，所以 q＝±2. 当 q＝2 时，an＝a1qn－1＝2·2n－1＝2n， 当 q＝－2 时，an＝a1qn－1＝2(－2)n－1＝(－1)n－12n， 所以数列{an}的公比为 2 或－2， 对应的通项公式分别为 an＝2n 或 an＝(－1)n－12n.
所以 a1＝q－42q4＝12－42124＝96. 若 G 是 a5，a7 的等比中项，则应有 G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝a21q10＝962·1210＝9. 所以 G＝±3. 即 a5，a7 的等比中项为±3.
归纳升华 等比中项的三点认识
1．当 a，b 同号时，a，b 的等比中项有两个；当 a， b 异号时，没有等比中项．
2．在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数 列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．
3．“a，G，b 成等比数列”等价于“G2＝ab”(a，b 均不为 0)，要特别注意限定的条件，否则是不等价的．可 以用它来判断或证明三个数成等比数列，同时还要注意到 “a，G，b 成等比数列”与“G＝± ab”是不等价的．
又 an＝1，所以 3212n－1＝1， 即 26－n＝20，所以 n＝6. 法二 因为 a3＋a6＝q(a2＋a5)， 所以 q＝12. 由 a1q＋a1q4＝18，知 a1＝32. 由 an＝a1qn－1＝1，知 n＝6.
归纳升华 1．在已知 a1 和 q 的前提下，利用公式 an＝a1qn－1 可 求出等比数列中任意一项． 2．在通项公式中知道 a1、q、n、an 四个量中的任意 三个，可求得另一个量．
[变式训练] (1)已知－1，x，－4 成等比数列，则 x
的值为( )
A．2
B．－52
C．2 或－2
D．－ 2或 2
(2)方程 2x2－3x＋1＝0 两根的等比中项是________．
解析：(1)因为－1，x，－4 成等比数列，
所以 x2＝4，所以 x＝±2.
(2)2x2－3x＋1＝0，x1＝12，x2＝1，
第二章 数 列
2．4 等比数列
第 1 课时 等比数列的概念与通项公式
[学习目标] 1.通过实例，理解等比数列的概念并会 简单应用．(重点) 2.掌握等比中项的概念并会应用． 3. 掌握等比数列的通项公式，了解其推导过程．(重点，难 点)
[知识提炼·梳理] 1．等比数列的概念 (1)定义：一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一 项的比等于同一常数． (2)公比：这个常数叫做等比数列的公比． (3)公比的表示：q． 2．等比中项 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等 比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项，其满足的关系 式为 ab＝G2．
2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比 q＝
()
1 A.2
B．－12
C．2
D．－2
解析：因为 a2＝a1q＝2 ①，a5＝a1q4＝14 ②，
由②÷①，得 q3＝18，所以 q＝12.
答案：A
3．若数列{an}是等比数列，则下列数列{lg an}；④a1n；⑤{|an|}；⑥{can}(c 为常数且不等于 0)；⑦{an±k}(k≠0)．
5．在等比数列{an}中，a4＝27，q＝－3，则 a7＝ ________．
解析：a4＝a1q3＝a1(－3)3＝27， 故 a1＝－1，a7＝a1q6＝－1×(－3)6＝－729. 答案：－729
类型 1 等比数列的通项公式 [典例 1] 在等比数列{an}中， (1)a4＝2，a7＝8，求 an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求 n. 解：(1)法一 因为aa47＝＝aa11qq36，， 所以aa11qq36＝＝28，.
A．6 个 B．5 个 C．4 个 D．3 个 解析：①、②、④、⑤、⑥均为等比数列，共 5 个． 答案：B
4．在等比数列{an}中，a1＝18，q＝2，则 a4 与 a8 的等
比中项为( )
A．±4
B．4
C．±14
1 D.4
解析：由题意得(±a6)2＝a4·a8，因为 a1＝18，q＝2，
所以 a4 与 a8 的等比中项为±a6＝±4. 答案：A
类型 2 等比数列的判定、证明 [典例 2] (2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足 a1＝1， nan＋1＝2(n＋1)an.设 bn＝ann. (1)求 b1，b2，b3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； (3)求{an}的通项公式． 解：(1)由条件可得 an＋1＝2（nn＋1）an. 将 n＝1 代入得，a2＝4a1，而 a1＝1， 所以 a2＝4.
由 a1＋a1＝1 知，a1＝12，所以 a1－1＝12－1＝－12≠0， 所以{an－1}是等比数列． 又 cn＝an－1， 所以首项 c1＝－12，公比 q＝12， 所以{cn}是以－12为首项，12为公比的等比数列． (2)解：由(1)可知 cn＝－12·12n－1＝－12n，
因为 cn＝an－1， 所以 an＝cn＋1＝1－12n， 所以当 n≥2 时，bn＝an－an－1＝1－12n－[1－12n－1] ＝12n－1－12n＝12n. 又 b1＝a1＝12，代入上式也符合， 所以 bn＝12n.
[变式训练] 在等比数列{an}中， (1)已知 an＝128，a1＝4，q＝2，求 n； (2)已知 an＝625，n＝4，q＝5，求 a1； (3)已知 a1＝2，a3＝8，求公比 q 和通项公式． 解：(1)因为 an＝a1·qn－1， 所以 4·2n－1＝128， 所以 2n－1＝32， 所以 n－1＝5，n＝6.
x1
与
x2
的等比中项为±
2 2.
答案：(1)C
(2)±
2 2
1．要注意利用等比数列的定义解题，在很多时候紧扣 定义是解决问题的关键．
2．注意基本量法：在用等比数列通项公式时，以首项 a1，公比 q 为基本量，其他量用这两个量表示出来，再寻求 条件与结论的联系，往往使很多问题容易解决．
3．若已知三个数成等比数列，一般设为：aq－1，a，aq. 若已知五个数成等比数列，一般设为：aq－2，aq－1，a， aq，aq2.
归纳升华 判断或证明一个数列为等比数列的常用方法
1．定义法： aan＋n1＝q(q 为常数且 q≠0)等价于{an}是等比数列． 2．等比中项法： a2n＋1＝anan＋2(n∈N*且 an≠0)等价于{an}是等比数列． 3．通项公式法： an＝a1qn－1(a1≠0 且 q≠0)等价于{an}是等比数列．
3．等比数列的通项公式 首项是 a1，公比是 q(q≠0)的通项公式为 an＝a1·qn－1(a1 ≠0，q≠0)．
[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常 数，则该数列为等比数列．( ) (2) 等 比 数 列 的 首 项 不 能 为 零 ， 但 公 比 可 以 为 零．( ) (3)常数列一定为等比数列．( ) (4)任何两个数都有等比中项．( )
若前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，可 设四个数分别为 a－d，a，a＋d，（a＋ad）2或 2aq－1－a， aq－1，a，aq.
具体设法，要视题设条件不同而选择，以便于运算 为目的．
4．等比中项概念要掌握好，在题目中经常出现．
[变式训练] 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，数列{bn} 中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且 an＋Sn＝n.
(1)设 cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{bn}的通项公式． (1)证明：因为 an＋Sn＝n，① 所以 an＋1＋Sn＋1＝n＋1.② ②—①得 an＋1－an＋an＋1＝1， 所以 2an＋1＝an＋1，所以 2(an＋1－1)＝an－1， 所以aan＋n－1－11＝12.
类型 3 等比中项 [典例 3] 已知在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝168， a2－a5＝42，求 a5，a7 的等比中项． 解：设该等比数列的公比为 q， 因为aa11＋ q－a1aq1＋ q4＝a1q422＝，168， 所以aa11（ q（1＋ 1－q＋ q3）q2） ＝＝42.1②68，① 1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)， ②÷①得 q(1－q)＝14⇒q＝12，
将 n＝2 代入得，a3＝3a2，所以 a3＝12. 从而 b1＝1，b2＝2，b3＝4. (2){bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列． 由条件可得na＋n＋11＝2nan，即 bn＋1＝2bn， 又 b1＝1，所以{bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列． (3)由(2)可得ann＝2n－1，所以 an＝n·2n－1.
3
两式相除得 q3＝4，从而 q＝ 4，
而 a1q3＝2，于是 a1＝q23＝12.
2n－5
所以 an＝a1qn－1＝2 3 .
法二 因为 a7＝a4q3，所以 q3＝4.
3
2n－5
所以 an＝a4qn－4＝2·( 4)n－4＝2 3 .
(2)法一 因为aa23＋＋aa56＝＝aa11qq＋2＋aa1q1q4＝5＝198，， 所以两式相除得 q＝12，从而 a1＝32.
解析：(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为 同一个常数时，该数列才是等比数列．(2)错误，当公比 为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零．(3) 错误，当常数列不为零时，该数列才是等比数列．(4)错 误，当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中 项．
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×