北师大版高中数学课件第一章 7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的诱导公式

三象限时,点T位于x轴的上方;当角α位于第二和第四象限时,点T位
于x轴的下方.过点P作x轴的垂线,与x轴交于点M,那么,不论角α的终
边在第几象限,都有∠AOT与∠MOP的正切值相等.我们称线段AT为
角α的正切线.
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7.1
7.2
正切函数的定义
正切函数的诱导公式
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7.1
7.2
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正切函数的诱导公式
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知识点拨
微拓展
正切线
如图,在直角坐标系中,设单位圆与x轴正半轴的交点为A(1,0),任意
角α的终边与单位圆交于点P,过点A(1,0)作x轴的垂线,与角的终边
或终边的延长线相交于点T.从图中容易看出:当角α位于第一和第
7.2
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正切函数的诱导公式
探究一
探究二
探究三
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3
变式训练 1 若点 P(3,y)是角 α 终边上的一点,且满足 y<0,cos α= ,则
5
tan α=(
)
3
3
A.-
B.
4
解析 cos α=
4
3
32 + 2
4
C.
3
4
D.-
3
3
4
5
3
= ,解得 y=±4,又 y<0,所以 y=-4,故 tan α=- .
7.1 正切函数的定义
7.2 正切函数的诱导公式
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7.1
7.2
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正切函数的诱导公式
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课标阐释
1.理解正切函数的定义,会用正切函数的定义求正切值.(数学运算)
2.理解并熟记正切函数的诱导公式.(逻辑推理)
3.能运用正切函数的诱导公式解决求值、化简、比较大小等问
π
y=tan x,其中定义域为 x∈R x≠2 +kπ,k∈Z .
2.正切值在各象限中的符号
由正切函数的定义知:当角 α的终边在第一和第三象限时,正切值为
正;当角α的终边在第二和第四象限时,正切值为负.
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知识点拨
名师点析1.若一个角的某一个正切函数值是已知的,但这个角所在
2
π
1
-α =tan .
2
名师点析1.正切函数的诱导公式可以用正、余弦函数诱导公式一
样的方法记忆,即“奇变偶不变,符号看象限”.
2.利用诱导公式求任意角的正切函数值的步骤与求任意角的正弦
函数值、余弦函数值的步骤相同,都是依据“负化正,大化小,化为锐
角再求值”,即由未知转化为已知的化归思想.
3.诱导公式用角度制和弧度制表示都可,运用时应注意函数名称是
知识点拨
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7.1
7.2
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知识点拨
二、正切函数的诱导公式
tan(kπ+α)=tan α(k∈Z);tan(-α)=-tan α;tan(π+α)=tan α;tan(π-α)
=-tan α;tan
π
1
+α =-tan ;tan
(2)“大化小”,角尽可能化小.
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7.1
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变式训练3化简:
sin (π+)·cos (π-)·tan (-)
.
sin (5π-)·tan (8π-)·cos (-3π)
-sin ·(-cos )·(-tan )
弦函数的诱导公式进行了深入探究,那么正切函数是如何定义的呢?
正切函数的诱导公式又是什么样的呢?
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7.1
7.2
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知识点拨
一、正切函数的定义
1.定义:
x
根据函数的定义,比值x 是 x 的函数,称为 x 的正切函数,记作
题.(逻辑推理)
思维脉络
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7.1
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知识点拨
在初中阶段,我们就已经知道,在一个直角三角形中,我们将一个角
的正弦、余弦和正切分别定义为对边与斜边的比、邻边与斜边的
比和对边与邻边的比.在前面的课程中,我们又讨论了正弦和余弦
问题,给出了正弦函数和余弦函数的定义,同时也对正弦函数和余
否要改变以及正负号的选取.
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7.1
7.2
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(2)tan
2
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知识点拨
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)因为3<4<5,所以tan 3<tan 4<tan 5.(

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)
π + =tan α 当且仅当 k=2 时成立. (
(2)tan
=-tan
5π
6
π
6
+ =tan π-
π
6
-
3
- =- .
3
答案(1)- 3 (2)-
3
3
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7.1
7.2
探究一
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反思感悟 利用正切函数的诱导公式求值问题的处理方法
1.正切函数的诱导公式通常结合已知角求值,即“知角求值”,关键是
答案C
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7.1
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1
3.已知 tan(π-x)=3,则 tan(x-3π)=
1
1
3
3
.
解析由 tan(π-x)= 知,tan x=- ,
1
故 tan(x-3π)=-tan(3π-x)=tan x=- .
tan(-45°)=-tan 45°=-1,
所以原式=
1+
-
3
3
3
+1
3
=2+ 3.
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7.1
7.2
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利用正切函数的诱导公式化简或证明
tan (2π-)sin (-2π-)cos (6π-)
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7.1
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反思感悟 利用正切函数的定义求值的策略
(1)已知角α的终边在直线上求α的正切函数值时,常用的解题方法
有以下两种:
方法一,先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后利用正切函
数的定义求出相应的正切函数值.
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tan225 °+tan750 °
(2)求值:tan (-30°)-tan (-45°).
解因为 tan 225°=tan(180°+45°)=tan 45°=1,
3
tan(-30°)=-tan 30°=- 3 ,
3
tan 750°=tan(720°+30°)=tan 30°= 3 ,
答案D
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利用正切函数诱导公式求值
例 2(1)已知 cos
(2)已知 tan
π
6
π
2
+ =
- =
3
3
3
2
π
,且|φ|<2 ,则 tan φ=
,则 tan
5π
6
+ =
;
.
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7.1
7.2
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π
3
+ =-sin φ= 2 ,
2
解析(1)因为 cos
3
所以 sin φ=- .
π
2
π
因为|φ|<2 ,所以 φ=-3 ,
π
π
所以 tan φ=tan - 3 =-tan 3 =- 3.
的象限或终边所在的位置没有给出,首先要根据已知的正切函数值
确定这个角所在的象限或终边所在的位置,然后分不同的情况求解.
2.化简正切函数式常用技巧
减少不同名的三角函数,或化切为弦,或化弦为切,如涉及sin α,cos α
的分式问题,常采用分子分母同除以cosnα(n∈N+),将被求式化为关
于tan α的式子.
(3)在△ABC中,若A>B>C,则tan A>tan B>tan C.(
答案(1)× (2)× (3)×
)
)
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7.1
7.2
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正切函数定义的应用
例1已知角α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),求sin α,cos α,tan α的值.
答案C
2.下列各式成立的是(
)
A.tan(π+α)=-tan α
B.tan(π-α)=tan α
C.tan(-α)=-tan α
D.tan(2π-α)=tan α
解析tan(π+α)=tan α;tan(π-α)=-tan α;tan(-α)=-tan α;tan(2π-α)
=tan(-α)=-tan α.故选C.
3
1
答案-3
4.(2020 山东青岛高一月考)已知 tan
=
π
3
1
-α =3,则 tan
2π
3
+α
.
解析因为 tan
2π
3
+α =tan π-
π
3
-α
=-tan
π
3
-α ,所以 tan
2π
3
+α
1
=-3.
1
答案-3
-22-
方法二,注意到角的终边为射线,所以应分两种情况来处理,取射线
任一点坐标(a,b),则对应角的正弦值 sin α=
α=

2 +


2 + 2
,余弦值 cos
,正切值 tan α= .
2
(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时,要根据问题的实
际情况对参数进行分类讨论.
-11-
7.1
例 3 求证:
cos (-π)sin (5π-)
=-tan α.
sin (2π - )
·sin (-)·cos (-)
cos (2π - )
证明原式左边=
-sin ·(-sin )·cos
=
cos ·(-cos )·sin
cos (π-)sin (π-)
=
-sin
解原式=
sin ·(-tan )·(-cos .2
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1.tan 660°的值为(
3
A.- 3
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)
3
B. 3
C.- 3
D. 3
解析 tan 660°=tan(180°×3+120°)=tan 120°=-tan 60°=- 3.
解 r= (-4)2 + (3)2 =5|a|,
若 a>0,r=5a,角 α 在第二象限,

3


5
3
sin α= =
3

-4
5
3

5
= ,cos α= =
4
=- ,
5
tan α= = -4 =-4;
若 a<0,r=-5a,角 α 在第四象限,
3
4
3
sin α=-5,cos α=5,tan α=-4.
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=-5,则 tan
π
3
+ 等于(
)
B.-5
D.与 α 的值有关
解析因为 tan -所以 tan +
π
4π
3
4π
3
4π
=-tan α+ 3 =-5,
=5,
π
即 tan + 3 + π =5,故 tan + 3 =5.
答案A
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7.1
7.2
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cos
=-tan α=右边.故原式得证.
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反思感悟 求正切函数值的流程图:
任意角的正切值→0~2π的角的正切值→锐角的正切值用正切函数
诱导公式化简、证明的总体原则:
(1)“切化弦”,函数名称尽可能化少.
利用诱导公式将任意角的正切函数值转化为锐角,通常是特殊角的
正切函数值.
2.“给值求值”时,要注意分析已知角与未知角之间的内在关系,选择
恰当的诱导公式求值.
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7.1
7.2
正切函数的定义
正切函数的诱导公式
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变式训练 2(1)若 tan -A.5
C.25
4π
3
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