高中数学北师大版必修4一课三测：1.6.1-2 余弦函数的图像 余弦函数的性质

§6 余弦函数的图像与性质
6．1 余弦函数的图像 6．2 余弦函数的性质
填一填
1.余弦函数图像的画法
(1)变换法：y ＝sin x 图像向左平移________个单位即得y ＝cos x 的图像．
(2)五点法：利用五个关键点________，________，________，________，________画出[0,2π]上的图像，再左右扩展即可．
2．余弦函数的性质 函数
性质
余弦函数y ＝cos x
图像
定义域 R
值域 [－1,1]
最值 当x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1 当x ＝(2k ＋1)π(k ∈Z )时，y min ＝－1 周期性 是周期函数，最小正周期为________
奇偶性 是偶函数，图像关于y 轴对称
单调性 在[(2k －1)π，2k π](k ∈Z )上是________的 在[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z )上是________的
判一判
1.当余弦函数k ∈Z .( )
2．函数y ＝cos 2x 在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π2，π上是减函数．( )
3．余弦函数的图像分别向左、右无限延伸．( ) 4．y ＝cos x 的定义域为[0,2π]．( )
5．余弦函数y ＝cos x 是偶函数，图像关于y 轴对称，对称轴有无数多条．( )
6．余弦函数y ＝cos x 的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形．( )
7．函数y ＝a cos x (a ≠0)的最大值为a ，最小值为－a .( )
8．函数y ＝cos x (x ∈R )的图像向左平移π
2个单位长度后，得到函数y ＝g (x )的图像，则
想一想
1.提示：(1)平移法：这种方法借助诱导公式，先将y ＝cos x 写成y
＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π2，然后利用图像平移得到y ＝cos x 的图像． (2)“五点法”：在已知函数图像特征的情况下，描出函数图像的关键点，画出草图．这种方法对图像的要求精度不高，是比较常用的一种画图方法．
余弦函数除以上两种常见的画图方法外，还有其他的作图方法(如与正弦函数类似的几何法等)．
2．如何理解余弦函数的对称性？
提示：(1)余弦函数是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为⎝
⎛
⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )，即余弦曲线与x 轴的交点，此时的余弦值为0.
(2)余弦曲线是轴对称图形，其所有的对称轴方程为x ＝kx (k ∈Z )，即对称轴一定过余弦曲线的最高点或最低点，此时余弦值取得最大值或最小值．
思考感悟：
练一练
1.函数y ＝－A.π3 B ．3π C.2π3 D.3π2
2．已知函数y ＝sin x 和y ＝cos x 在区间M 上都是增函数，那么区间M 可以是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π2，2π 3．用“五点法”作出函数y ＝3－cos x 的图像，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是( )
A ．(π，－1)
B ．(0,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2，3 4．函数y ＝－3cos x ＋2的值域为( ) A ．[－1,5] B ．[－5,1] C ．[－1,1] D ．[－3,1]
知识点一
用“五点法”作函数的图
像
1.
2．画出函数y ＝3＋2cos x 的简图．
知识点二 与余弦函数有关的定义域问题 3.求y ＝3
2－cos x 的定义域．
4．求函数y ＝1－2cos x ＋lg(2sin x －1)的定义域．
知识点三 余弦函数的单调性及应用
5.求函数y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤－2π，3π2的单调区间和最值．
6．比较cos 26π
3与cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13π3的大小．
综合知识 余弦函数值域(最值)问题
7.(1)y ＝－cos 2x ＋cos x ；
(2)y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π3，2π3.
基础达标
一、选择题
1．函数y ＝1－2cos π
2x 的最小值、最大值分别是( ) A ．－1,3 B ．－1,1 C ．0,3 D ．0,1
2．函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是减函数的区间是( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤2k π＋π，2k π＋3π2(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2k π＋3π2，2k π＋2π(k ∈Z ) 3．若α，β为锐角，sin α<cos β，则α，β满足( ) A ．α>β B ．α<β
C ．α＋β<π2
D ．α＋β>π
2
4．函数y ＝cos x 与函数y ＝－cos x 的图像( ) A ．关于直线x ＝1对称 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y 轴对称
5．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图像为( )
6．已知f (x )是定义在(0,3)上的函数，图像如图所示，则不等式f (x )·cos x <0的解集是( )
A ．(0,1) B.⎝
⎛⎭
⎪⎫
π2，3
C ．(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3 D.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，π2
7．函数y ＝－x cos x 的部分图像是( )
8．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图像和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )
A ．4
B ．8
C ．2π
D ．4π 二、填空题
9．已知函数f (x )＝3＋2cos x 的图像经过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，b ，则b ＝________. 10．函数y ＝2cos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π6－1的最小值是________，此时x ＝
________.
11．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期是________． 12．已知f (x )＝2cos π
6x ，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝________.
三、解答题
13．已知函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]和y ＝1的图像围成一个封闭的平面图形，求该图形的面积．
14．解不等式：－32≤cos x ≤1
2，x ∈[0,2π]．
能力提升
15.求函数y ＝36－x 2＋lg cos x 的定义域．
16．求下列函数的值域． (1)y ＝－2cos x －1； (2)y ＝cos 2x －3cos x ＋2.
§6 余弦函数的图像与性质
6．1 余弦函数的图像
6．2 余弦函数的性质一测 基础过关
填一填
1．(1)π
2 (2)(0,1) ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0 (π，－1) ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2，0 (2π，1) 2．2π 递增 递减 判一判
1．× 2.× 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7．× 8.√ 练一练
1．C 2.D 3.A 4.A 二测 考点落实
1．解析：
－2cos x －2 0 2 0 －2 －2cos x
＋3
1 3 5 3 1
描点、连线得出函数y ＝－2cos x ＋3(0≤x ≤2π)的图像：
2．解析：(1)列表，如下表所示
x 0 π
2
π
3π2 2π y ＝cos x 1 0 －1 0 1 y ＝3＋2cos
x
5 3 1
3
5
(2)描点，连线，如图所示：
3．解析：要使函数有意义，则有3
2－cos x ≥0
∴cos x ≤32可得2k π＋π6≤x ≤2k π＋11π
6，k ∈Z
故所求定义域为⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭
⎬⎫
2k π＋π6≤x ≤2k π＋11π6，k ∈Z . 4．解析：要使函数有意义，只要
⎩⎪⎨⎪⎧
1－2cos x ≥0，
2sin x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧
cos x ≤12，sin x >12.
如图所示．
cos x ≤1
2的解集为： ⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪
π3＋2k π≤x ≤5
3π＋2k π，k ∈Z .
sin x >1
2的解集为： ⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪
π6＋2k π<x <5π
6＋2k π，k ∈Z ，
它们的交集为 ⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪
π3＋2k π≤x <5π
6＋2k π，k ∈Z ，
即为函数的定义域．
5．解析：结合函数y ＝cos x, x ∈⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤－2π，3π2的图像(图略)，可知函数y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，3π2的单调递增区间为[－π，0]，⎣⎢⎡
⎦⎥⎤π，3π2；单调
递减区间为[－2π，－π]，[0，π]．
函数y ＝cos x 的最大值为1，最小值为－1.
6．解析：cos 26π3＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫8π＋2π3＝cos 2π
3，
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π3＝cos 13π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π3＝cos π
3 由π3<2π3知cos π3>cos 2π3
∴cos 26π
3<cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13π3
7．解析：(1)y ＝－⎝
⎛
⎭⎪⎫cos x －122＋14. ∵－1≤cos x ≤1，
∴当cos x ＝12时，y max ＝1
4. 当cos x ＝－1时，y min ＝－2.
∴函数y ＝－cos 2
x ＋cos x 的最大值为14，最小值为－2. (2)y ＝3cos 2x －4cos x ＋1
＝3⎝
⎛
⎭⎪⎫cos x －232－13. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，cos x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，12，
从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y max ＝15
4；
当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－1
4.
∴函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3上的最大值为154，最小值为－14. 三测 学业达标
1．解析：∵cos π
2x ∈[－1,1]，
∴－2cos π
2x ∈[－2,2]，
∴y ＝1－2cos π
2x ∈[－1,3]， ∴y min ＝－1，y max ＝3. 答案：A
2．解析：由y ＝sin x 是减函数得2k π＋π2≤x ≤2k π＋3π
2(k ∈Z )，由
y ＝cos x 是减函数得2k π≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，所以2k π＋π
2≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，故选A.
答案：A
3．解析：由sin α<cos β，可得sin α<sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－β，又α，β为锐角，故α，π2－β为锐角，所以α<π2－β，即α＋β<π2.
答案：C
4．解析：在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝cos x 与函数y ＝－cos x 的简图(图略)，易知它们关于x 轴对称．
答案：C
5．解析：由题意得
y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
2cos x ，0≤x ≤π2或32π≤x ≤2π，
0，π2<x <32π.
故选D. 答案：D
6．解析：当0<x <1时，f (x )<0，而此时cos x >0，满足f (x )·cos x <0；
当1<x <3时，f (x )>0，由cos x <0(x ∈(0,3))，解得π2<x <3，故
x ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，3. 答案：C
7．解析：令y ＝f (x )，因为f (x )的定义域为R, f (－x )＝－(－x )cos(－x )＝x cos x ＝－f (x )，所以函数y ＝－x cos x 是奇函数，它的图像关于原
点对称，所以排除A ，C 选项；因为当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2时，y ＝－x cos x <0，所以排除B 选项．
答案：D
8．解析：作出函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图像，函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分．
利用图像的对称性可知，该阴影部分的面积等于矩形OABC 的面
积，又∵OA ＝2，OC ＝2π，∴S 阴影＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π.
答案：D
9．解析：b ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＝3＋2cos π3＝4. 答案：4
10．解析：当2x ＋π6＝π＋2k π，k ∈Z ， x ＝5π12＋k π，k ∈Z 时，y min ＝－2－1＝－3.
答案：－3 5π12＋k π，k ∈Z
11．解析：最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π.
答案：π
12．解析：易知f (x )的最小正周期T ＝12，
f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (11)＝0，
f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝168[f (0)＋…＋f (11)]＋f (2 016)＋f (2
017)＋f (2 018)＝f (0)＋f (1)＋f (2)＝2cos 0＋2cos π6＋2cos π3＝3＋ 3.
答案：3＋ 3
13．解析：y ＝1及y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像如图，围成的封闭图
形如图中阴影部分所示，
易得封闭图形的面积是矩形ABCD 的面积的一半，而|AD |＝2, |AB |
＝2π，所以此封闭图形的面积为12|AD |·|AB |＝12×2×2π＝2π. 答案：2π
14．解析：函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像如图所示： 根据图像可得不等式的解集为：
⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3. 15．解析：由⎩⎨⎧ 36－x 2≥0，cos x >0得⎩⎨⎧
－6≤x ≤6，cos x >0. 画出图像，如图所示，
由图不难看出，所求定义域为
⎣⎢⎡⎭⎪⎫－6，－32π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤3π2，6. 16．解析：(1)∵－1≤cos x ≤1，
∴－2≤－2cos x ≤2，
∴－3≤－2cos x －1≤1.
∴函数y ＝－2cos x －1的值域为[－3,1]．
(2)令t ＝cos x ，∵x ∈R ，∴t ∈[－1,1]．
∴原函数可化为y ＝t 2－3t ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－14， 易知该二次函数的图像开口向上，且对称轴为直线t ＝32，
∴t ∈[－1,1]为二次函数的单调递减区间．
∴t＝－1时，y max＝6；t＝1时，y min＝0.
∴函数y＝cos2x－3cos x＋2的值域为[0,6]．由Ruize收集整理。

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