附录Ⅰ-常见截面的几何性质

取微面积dA=dzdy，则：Izy 0;
例5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则：
由 Iz 对 A y 2 称 dIy A 性 R IR z2 y ： 2 6D 44R ;2 由 y 几 2 d 何 y 关 R 4 4 系 2＝ ： 6 D y24 ;4 z2,
当Sz=0或Sy=0时，必有yc=0或zc=0，可知截面对某轴的
静矩为零时，该轴必通过截面形心；反之，若某轴通过形心，
Байду номын сангаас
则截面对该轴的静矩为零。
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二、形心公式：
yc

SAz ;zc

Sy A
.
三、组合截面的静矩：n个简单图形组成的截面，其静矩为：
n
Sz Ai yci; i1
z2dA;
A
圆形截面：Iy
Iz
D4 ;
64
几何关系： IP A2 d A A (y 2 z 2 ) d A I Z Iy .
四、惯性积：
Izy
zydA;
A
五、平行移轴公式：
Iz1za2A; y1 y b2A; Iz1y1 Izyab;A
特点：①两个形心主惯性矩是截面对过形心所有各轴的惯性矩 中的极大值和极小值；
②有一根对称轴的截面，形心主轴是对称轴和与之垂直 的形心轴；
③有两根对称轴的截面，形心主轴是两根对称轴； ④无对称轴的截面，由转轴公式求对形心的惯性积为零 的 o 角，即 形心主惯性轴。
第五节 组合截面惯性矩的计算 工程中常遇到组合截面。计算其形心主惯性矩时，应先确定形 心位置、形心主轴，再求形心主惯性矩。
Iz1y1Iz 2Iysi2 nIzyco2s;
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第四节 主惯性轴和主惯性矩：
主惯性轴（主轴）—使截面对zo、yo轴的惯性积 Izoyo 0 的这对 正交坐标轴；
主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩；
形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴；
形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。
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例5–4:试计算图示T形截面的形心主惯性矩。 解:(1)确定形心坐标yc.
yc

1y1 1
2y2 2
50055001025 20cm;
500500
(2)计算形心主惯性矩：
(z、y轴即形心主轴）
z1z1a12151 012302 052501 0.1 7150cm 4;
IP A2 d A A (y 2 z 2 ) d A I Z Iy .
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第三节 惯性矩和惯性积的平行移轴和转轴公式
一、平行移轴公式：
z1 y1dA (ya)2dA A
y2dA2a ydAa2 dA



Iz1za2A; y1 y b2A;
附录Ⅰ 截面的几何性质
第一节 • 静矩和形心 第二•节 惯性矩和惯性积
第三• 节 •
惯性矩和惯性积的 平行移轴和转轴公式
第• 四节 主惯性轴和主惯性矩
• 第五节 组合截面惯性矩的计算
•
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附录Ⅰ 截面的几何性质
• 第一节 静矩和形心
一、静矩(面积矩）定义： 微面积dA对 z轴和y轴的静矩分别为 ydA 和 zdA
n
Sy Ai zci; i1
n
四、组合截面形心公式：
A i y ci
yc
i1 n
;
Ai
i1
例5-1 求图示T形截面形心位置。
n
A i z ci
zc
i1 n
;
Ai
i1
解：取参考坐标轴y、z,由对称图形,zc=0。 分解图形为１、２两个矩形，则
A 1 0 . 0 m 2 , 7 y 1 2 . 4 2 m ; A 2 6 0 . 4 m 2 ,y 8 2 1 . 2 m ;
单位： m4,mm4;
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例5-2 求矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性积。
解：取yoz坐标系。取微面积dA=bdy,则：
Iz
y2dA h/2y2bdyb3 h;
A
h/2
12
取微面积dA=hdz,则：
IyAz2dA bb//22z2hdzh 13b 2;
三、惯性积：
定义:平面图形内，微面积dA与其两个 坐标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称 为该图形对z、y轴的惯性积。
I z
y
z
A
ydA;
特点：①惯性积是截面对某两个正交
坐标轴而言。不同截面对同一对轴或同一截面对不同轴的惯性积
均不同。惯性积是代数值。
②若截面有一根为对称轴,则该截面对包括此对称轴在 内的一对正交坐标轴的惯性积必为零。
截面（面积A)对z轴和y轴的静矩分
别为：
S z

ydA;
A
Sy

zdA;
A
静矩为代数值。静矩单位：m3;mm3;
不同截面对同一坐标轴的静矩不同；同
一截面对不同坐标轴的静矩也不同。
若截面形心坐标为zc、yc，将面积视为平行力（即看作等 厚、均质薄板的重力），由合力矩定理可得：
SzAydA Ayc; SyA zdA Azc;
空心圆截面： IP3D42(14)(;D d) 二、惯性矩(转动惯量）：
定义：平面图形中任一微面积dA对z轴、y轴的惯性矩分别为： y2dA和Z2dA；则整个图形（面积为A)对z轴、y轴的惯性矩分别为：
Iz

y2dA;
A
Iy

z2dA;
A
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惯性矩是对某轴而言的，同一截面对不同轴的惯性矩值不同。 惯性矩单位：m4或mm4； 惯性矩恒为正值。 简单图形对轴的惯性矩由定义式积分计算。
Iz1y1 Izyab;A
注意：y、z轴必须是形心轴。 二、转轴公式：
Iz 1A y 1 2 d A A (y co z s si)2 n d;A
Iz1Iz 2IyIz 2Iyco 2 sIzy si2n ; Iy 1Iz 2IyIz 2Iyco 2 sIzy si2n ;
y 若c 分A 解1 A y 1 为1 １A A 2 2 、y 2 ２ 、0 .0 ３三0 7 .0 2 个.4 矩2 7 形0 6 0 .4 .，4 2 则 8 1 8 .2 1 .3m ;6
y'c0 0 ..6 6 2 2 ..5 5 2 2 2 (1 .2 0 .2 6 1 2 .2 .4 )0 .1m 6 ;
z2z2a22211 052303 52025002.1 7150cm 4;
z z 1 z 2 1 1 2 1 7 1 5 7 3 . 3 0 1 5 c 4 4 ; 0 m
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小结
一、静矩： SzAydA Ayc; SyA zdA Azc;
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第二节 惯性矩和惯性积
一、极惯性矩：
定义：平面图形中任一微面积dA与它到坐 标原点Ｏ的距离ρ平方的乘积ρ2dA,称为该面积 dA对于坐标原点o的极惯性矩。
截面对坐标原点o的极惯性矩为：
IP
2dA;
A
简单图形的极惯性矩可由定义式积分计算。
实心圆截面： IP0D 222dA 3D42;
4. 惯性积：图形面积相对于指定的一对正交坐标轴之间分布的 集中或分散程度。
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性质：截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心；
二、极惯性矩：
IP
2dA;
A
实心圆截面：
IP

D 4
32
;
空心圆截面：IP3D42(14)(;D d)
三、惯性矩
（转动惯 量）矩：形截面：
Iz A
Iz

bh 3 12
y2dA;
; Iy
Iy hb3 ; 12
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六、主惯性轴和主惯性矩： 主惯性轴（主轴）—使 Izoyo 0 的这对正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。
七、平面图形几何性质的几何意义： 1. 静矩：图形的形心相对于指定坐标轴之间距离的远近程度； 2. 极惯性矩：图形的面积相对于指定坐标原点之间分布的集 中或分散程度； 3. 惯性矩：图形的面积相对于指定坐标轴之间分布的集中或分 散程度；