2020-2021学年九年级数学北师大版下册第二章 二次函数 专题复习(含答案)

2020-2021学年北师大版九年级数学下册第二章二次函数专题复习
专题一二次函数的应用
A组(基础题)
1．小明以二次函数y＝2x2－4x＋8的图象为灵感为“2019北京·房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿．若AB＝4，DE＝3，则杯子的高CE为( ) A．14 B．11 C．6 D．3
2．如图，一个涵洞的截面边缘是抛物线形，现测得当水面宽AB＝1.6 m时，涵洞顶点与水面的距离是2.4 m．这时，离水面1.5 m处，涵洞的宽DE为_______．
3．某商店购进一批单价为20元的节能灯，如果以单价30元出售，那么一个月内能售出400个．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少10个，当销售单价为45元时，该商店一个月内获得的利润最大，最大利润是_______元．
4．一养鸡专业户计划用116 m长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，门MN宽2 m，门PQ和RS的宽都是1 m，围成的鸡舍面积最大是_______．
5．国际慢城，娴静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地(数据如图示，单位：m)，现在其中修建一条观花道(阴影所示)，供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为y m2.
(1)求y与x的函数表达式；
(2)若改造后观花道的面积为13 m2，求x的值；
(3)若要求0.5≤x≤1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值．
B 组(中档题)
6．一种包装盒的设计方法如图所示，ABCD 是边长为80 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四点重合于图中的点O ，形成一个底面为正方形的长方体包装盒．设BE ＝CF ＝x cm ，则当x ＝20时，包装盒
的侧面积最大，最大侧面积为_______cm 2
.
7．抗击疫情，我们每个人都要做到讲卫生、勤洗手、科学消毒．如图1是一瓶消毒洗手液，图2是它的示意图，当手按住顶部A 下压时，洗手液瞬间从喷口B 流出，路线呈抛物线形，且该路线所在的抛物线经过C ，E 两点．瓶子上部分是由弧CE ︵和弧FD ︵
组成，其圆心分别为D ，C ，下部分的视图是矩形CGHD ，CG ＝8 cm ，GH ＝10 cm ，点E 到台面GH 的距离为14 cm ，点B 到台面的距离为20 cm ，且B ，D ，H 三点共线．若手心距DH 的水平距离为2 cm 时刚好接到洗手液，则此时手心距水平台面的高度为_______cm.
8．某公司推出一款产品，成本价为10元/千克，经市场调查，该产品的日销售量y(千克)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，该产品的日销售量与销售单价之间的几组对应值如表：
[注：日销售利润＝日销售量×(销售单价－成本单价)] 根据以上信息，填空：
(1)y 关于x 的函数表达式为_______． (2)①m ＝_______；
②当销售单价x ＝_______元时，日销售利润w 最大，最大值是_______元；
(3)该公司决定从每天的销售利润中捐赠100元给“精准扶贫”对象，为了保证捐赠后每天的剩余利润不低于1 025元，则该产品销售单价x(元)的范围为_______．
9．随着城市化建设的发展，交通拥堵成为上班高峰时难以避免的现象．为了解龙泉驿某条道路交通拥堵情况，龙泉某中学同学经实地统计分析，研究表明：当20≤x ≤220时，
车流速度v(千米/小时)是车流密度x(辆/千米)的一次函数．当该道路的车流密度达到220辆/千米时造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度为95辆/千米时，车流速度为50千米/小时．
(1)当20≤x≤220时，求车流速度v(千米/小时)与车流密度x(辆/千米)的函数关系式；
(2)为使该道路上车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，该道路上的车流密度应控制在什么范围内？
(3)车流量(辆/小时)是单位时间内通过该道路上某观测点的车辆数，即车流量＝车流速度×车流密度．当20≤x≤220时，求该道路上车流量y的最大值，此时车流速度为多少？
C组(综合题)
10．某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示．(图1的图象是线段，图2的图象是抛物线)
(1)分别求出y1，y2与x之间的函数关系式(不写自变量取值范围)；
(2)通过计算说明：哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？
专题二二次函数的图象与字母系数的关系
A组(基础题)
1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，现有下列结论：①b2－4ac＞0；
②a＞0；③b＞0；④c＞0，其中正确结论的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论正确的是( )
A．a＞0
B．abc＞0
C．2a＋b＜0
D．ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根
3．如图所示的抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，则下列结论中错误的是( )
A．ac＜0 B．b2－4ac＞0 C．2a－b＝0 D．9a＋3b＋c＝0
4．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法正确的是( )
A．abc＞0 B．a－b＋c＝2 C．4ac－b2＜0 D．当x＞－1时，y随x增大而增大
5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，试确定下列各式的符号：a_______0，b_______0，c_______0，a＋b＋c＞0，a－b＋c_______0.
B组(中档题)
6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a＋b＋c＜0；
②b2－4ac＜0；③b＋2a＜0；④c＜0.其中正确结论的序号是_______．
7．二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a ≠0)的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：
且当x ＝－1
2时，与其对应的函数值y ＞0.有下列结论：①abc ＞0；②－2和3是关于x
的方程ax 2
＋bx ＋c ＝t 的两个根；③0＜m ＋n ＜203.其中，正确的结论是_______．(只填序号)
8．二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图，给出下列四个结论：①4ac －b 2
＜0；②4a ＋c ＜2b ；③3b ＋2c ＜0；④m(am ＋b)＋b ＞a(m ≠－1)，其中正确的是_______．(只填序号)
C 组(综合题)
9．如图，已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c(a ≠0)的图象与x 轴交于点A(－1，0)，与y 轴的交点B 在(0，－2)和(0，－1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x ＝1.下列结论：①abc ＞0；②4a ＋2b ＋c ＞0；③4ac －b 2
＜－4a ；④13＜a ＜23；⑤b ＞c.其中正确结论有_______．(填
写所有正确结论的序号)
专题三 二次函数与几何图形综合
A 组(基础题)
1．如图，抛物线y ＝－x 2
＋4x ＋5与x 轴交于点A(－1，0)，B(5，0)，直线y ＝－34x ＋
3与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D.点P 是x 轴上方的抛物线上一动点，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，交直线CD 于点E.设点P 的横坐标为m.若PE ＝5EF ，求m 的值．
2．如图，已知抛物线y ＝－x 2
＋mx ＋3与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(3，0)，抛物线与直线y ＝－3
2
x ＋3交于C ，D 两点．连接BD ，AD.
(1)求m 的值；
(2)抛物线上有一点P ，满足S △ABP ＝4S △ABD ，求点P 的坐标．
3．如图，已知二次函数y ＝－x 2
＋bx ＋c 的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，与y 轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线上是否存在点P ，使∠PAB ＝∠ABC ，若存在请直接写出点P 的坐标．若不存在，请说明理由．
B 组(中档题) 4．如图，顶点为M 的抛物线y ＝－x 2
＋2x ＋3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，在y 轴上是否存在一点P ，使得△PAM 为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
5．如图，抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋3(a ≠0)与x 轴、y 轴分别交于A(－1，0)，B(3，0)，C 三点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)x 轴上是否存在点P ，使PC ＋12PB 最小？若存在，请求出点P 的坐标及PC ＋1
2PB 的最
小值；若不存在，请说明理由；
(3)连接BC ，设E 为线段BC 的中点．若M 是抛物线上一动点，将点M 绕点E 旋转180°得到点N ，当以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N 的坐标．
C组(综合题)
6．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－5，与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；
(3)如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H 且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF 的面积最大，求点H的坐标及最大面积；
(4)若点K为x轴上一点，连接CK，请你直接写出2CK＋KB的最小值．
参考答案
2020-2021学年北师大版九年级数学下册第二章二次函数专题复习
专题一二次函数的应用
A组(基础题)
1．小明以二次函数y＝2x2－4x＋8的图象为灵感为“2019北京·房山国际葡萄酒大赛”
设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿．若AB＝4，DE＝3，则杯子的高CE为(B) A．14 B．11 C．6 D．3
2．如图，一个涵洞的截面边缘是抛物线形，现测得当水面宽AB＝1.6 m时，涵洞顶点
_m．
与水面的距离是2.4 m．这时，离水面1.5 m处，涵洞的宽DE
5
3．某商店购进一批单价为20元的节能灯，如果以单价30元出售，那么一个月内能售出400个．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少10个，当销售单价为45元时，该商店一个月内获得的利润最大，最大利润是6_250元．
4．一养鸡专业户计划用116 m长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，门MN宽2 m，门PQ和RS的宽都是1 m，围成的鸡舍面积最大是450m2.
5．国际慢城，娴静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地(数据如图示，单位：m)，现在其中修建一条观花道(阴影所示)，供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为y m2.
(1)求y与x的函数表达式；
(2)若改造后观花道的面积为13 m2，求x的值；
(3)若要求0.5≤x≤1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值．
解：(1)由题意，
得y＝(8－x)(6－x)＝x2－14x＋48(0＜x＜6)．
(2)由题意，得y＝48－13＝35.
则x2－14x＋48＝35，
即(x －1)(x －13)＝0.
解得x 1＝1，x 2＝13(不符合题意，舍去)． ∴x 的值为1.
(3)y ＝x 2－14x ＋48＝(x －7)2
－1.
∴当0.5≤x ≤1时，y 随x 的增大而减小． ∴当x ＝0.5时，y 最大，y ＝1654
m 2
.
B 组(中档题)
6．一种包装盒的设计方法如图所示，ABCD 是边长为80 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四点重合于图中的点O ，形成一个底面为正方形的长方体包装盒．设BE ＝CF ＝x cm ，则当x ＝20时，包装盒
的侧面积最大，最大侧面积为3_200cm 2
.
7．抗击疫情，我们每个人都要做到讲卫生、勤洗手、科学消毒．如图1是一瓶消毒洗手液，图2是它的示意图，当手按住顶部A 下压时，洗手液瞬间从喷口B 流出，路线呈抛物线形，且该路线所在的抛物线经过C ，E 两点．瓶子上部分是由弧CE ︵和弧FD ︵
组成，其圆心分别为D ，C ，下部分的视图是矩形CGHD ，CG ＝8 cm ，GH ＝10 cm ，点E 到台面GH 的距离为14 cm ，点B 到台面的距离为20 cm ，且B ，D ，H 三点共线．若手心距DH 的水平距离为2 cm 时刚好接到洗手液，则此时手心距水平台面的高度为17cm.
8．某公司推出一款产品，成本价为10元/千克，经市场调查，该产品的日销售量y(千克)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，该产品的日销售量与销售单价之间的几组对应值如表：
[注：日销售利润＝日销售量×(销售单价－成本单价)] 根据以上信息，填空：
(1)y 关于x 的函数表达式为y ＝－15x ＋450； (2)①m ＝60；
②当销售单价x ＝20元时，日销售利润w 最大，最大值是1_500元；
(3)该公司决定从每天的销售利润中捐赠100元给“精准扶贫”对象，为了保证捐赠后每天的剩余利润不低于1 025元，则该产品销售单价x(元)的范围为15≤x ≤25．
9．随着城市化建设的发展，交通拥堵成为上班高峰时难以避免的现象．为了解龙泉驿
某条道路交通拥堵情况，龙泉某中学同学经实地统计分析，研究表明：当20≤x ≤220时，车流速度v(千米/小时)是车流密度x(辆/千米)的一次函数．当该道路的车流密度达到220辆/千米时造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度为95辆/千米时，车流速度为50千米/小时．
(1)当20≤x ≤220时，求车流速度v(千米/小时)与车流密度x(辆/千米)的函数关系式； (2)为使该道路上车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，该道路上的车流密度应控制在什么范围内？
(3)车流量(辆/小时)是单位时间内通过该道路上某观测点的车辆数，即车流量＝车流速度×车流密度．当20≤x ≤220时，求该道路上车流量y 的最大值，此时车流速度为多少？
解：(1)设车流速度v 与车流密度x 的函数关系式为v ＝kx ＋b ，由题意，得
⎩⎪⎨⎪
⎧95k ＋b ＝50，220k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨
⎪⎧k ＝－25，b ＝88.
∴当20≤x ≤220时，v ＝－2
5
x ＋88.
(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－2
5
x ＋88＞40，－25x ＋88＜60，
解得70＜x ＜120.
∴该道路上的车流密度应控制在70＜x ＜120范围内．
(3)当20≤x ≤220时，y ＝vx(－25x ＋88)x ＝－25(x －110)2
＋4 840.
∴当x ＝110时，y 最大＝
4 840.
此时v ＝－2
5
×110＋88＝44(千米/小时)．
∴当20≤x ≤220时，该道路上车流量y 的最大值是4 840辆/小时，此时车流速度为44千米/小时．
C 组(综合题)
10．某种蔬菜的销售单价y 1与销售月份x 之间的关系如图1所示，成本y 2与销售月份x 之间的关系如图2所示．(图1的图象是线段，图2的图象是抛物线)
(1)分别求出y 1，y 2与x 之间的函数关系式(不写自变量取值范围)； (2)通过计算说明：哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？
解：(1)设y 1＝kx ＋b ，将(3，5)和(6，3)代入，得
⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝5，6k ＋b ＝3，解得⎩⎪
⎨
⎪⎧k ＝－2
3，b ＝7.
∴y 1＝－2
3
x ＋7.
设y 2＝a(x －6)2
＋1，把(3，4)代入，得 4＝a(3－6)2
＋1，解得a ＝13
.
∴y 2＝13(x －6)2
＋1，即y 2＝13
x 2－4x ＋13.
(2)设每千克收益为W 元，则W ＝y 1－y 2＝－23x ＋7－(13x 2－4x ＋13)＝－13(x －5)2
＋73，
∵a ＝－13＜0，∴当x ＝5时，W 最大值＝7
3.
故5月出售这种蔬菜，每千克的收益最大，
专题二 二次函数的图象与字母系数的关系
A 组(基础题)
1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，现有下列结论：①b 2
－4ac ＞0；②a ＞0；③b ＞0；④c ＞0，其中正确结论的个数是(A)
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
2．二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，下列结论正确的是(D) A ．a ＞0 B ．abc ＞0 C ．2a ＋b ＜0
D ．ax 2
＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根
3．如图所示的抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，则下列结论中错误的是(C)
A ．ac ＜0
B ．b 2
－4ac ＞0 C ．2a －b ＝0 D ．9a ＋3b ＋c ＝0
4．(2020·成都模拟)已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象如图所示，下列说法正确的是
(C)
A ．abc ＞0
B ．a －b ＋c ＝2
C ．4ac －b 2
＜0
D ．当x ＞－1时，y 随
x 增大而增大
5．已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象如图所示，试确定下列各式的符号：a ＜0，b ＞0，c ＞0，a ＋b ＋c ＞0，a －b ＋c ＜0.
B 组(中档题)
6．已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a ＋b ＋c ＜0；②b 2
－4ac ＜0；③b ＋2a ＜0；④c ＜0.其中正确结论的序号是①④．
7．二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a ≠0)的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：
且当x ＝－1
2时，与其对应的函数值y ＞0.有下列结论：①abc ＞0；②－2和3是关于x
的方程ax 2
＋bx ＋c ＝t 的两个根；③0＜m ＋n ＜203
.其中，正确的结论是①②．(只填序号)
8．二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图，给出下列四个结论：①4ac －b 2
＜0；②
4a ＋c ＜2b ；③3b ＋2c ＜0；④m(am ＋b)＋b ＞a(m ≠－1)，其中正确的是①③．(只填序号)
C 组(综合题)
9．如图，已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c(a ≠0)的图象与x 轴交于点A(－1，0)，与y 轴的交点B 在(0，－2)和(0，－1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x ＝1.下列结论：①abc
＞0；②4a ＋2b ＋c ＞0；③4ac －b 2
＜－4a ；④13＜a ＜23；⑤b ＞c.其中正确结论有①③④⑤．(填
写所有正确结论的序号)
专题三 二次函数与几何图形综合
A 组(基础题)
1．如图，抛物线y ＝－x 2
＋4x ＋5与x 轴交于点A(－1，0)，B(5，0)，直线y ＝－34x ＋
3与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D.点P 是x 轴上方的抛物线上一动点，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，交直线CD 于点E.设点P 的横坐标为m.若PE ＝5EF ，求m 的值．
解：∵点P 的横坐标为m ，∴P(m ，－m 2
＋4m ＋5)，E(m ，－34m ＋3)，F(m ，0)．
∵点P 在x 轴上方，要使PE ＝5EF ，点P 应在y 轴右侧，∴0<m<5. ∴PE ＝－m 2＋4m ＋5－(－34m ＋3)＝－m 2
＋194m ＋2.
分两种情况讨论：
①当点E 在点F 上方时，EF ＝－3
4m ＋3.
∵PE ＝5EF ，∴－m 2
＋194m ＋2＝5(－34m ＋3)，
即2m 2
－17m ＋26＝0. 解得m 1＝2，m 2＝13
2(舍去)；
②当点E 在点F 下方时，EF ＝3
4m －3.
∵PE ＝5EF ，∴－m 2
＋194m ＋2＝5(34m －3)，
即m 2－m －17＝0.
解得m 3＝1＋692，m 4＝1－69
2(舍去)．
综上所述，m 的值为2或1＋69
2.
2．如图，已知抛物线y ＝－x 2
＋mx ＋3与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(3，0)，抛物线与直线y ＝－3
2
x ＋3交于C ，D 两点．连接BD ，AD.
(1)求m 的值；
(2)抛物线上有一点P ，满足S △ABP ＝4S △ABD ，求点P 的坐标．
解：(1)∵抛物线y ＝－x 2
＋mx ＋3过点(3，0)， ∴0＝－9＋3m ＋3.∴m ＝2.
(2)联立⎩
⎪⎨
⎪
⎧y ＝－x 2
＋2x ＋3，y ＝－32x ＋3，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧x 1＝0，
y 1＝3，⎩
⎪⎨⎪⎧x 2＝72，
y 2＝－94
.
∴D(72，－9
4)．
∵S △ABP ＝4S △ABD ，
∴12AB ·|y P |＝4×12AB ×94. ∴|y P |＝9，y P ＝±9.
当y ＝9时，－x 2
＋2x ＋3＝9，无实数解；
当y ＝－9时，－x 2
＋2x ＋3＝－9，
解得x 1＝1＋13，x 2＝1－13.
∴点P 的坐标为(1＋13，－9)或(1－13，－9)．
3．(2020·龙东)如图，已知二次函数y ＝－x 2
＋bx ＋c 的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，与y 轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线上是否存在点P ，使∠PAB ＝∠ABC ，若存在请直接写出点P 的坐标．若不存在，请说明理由．
解：(1)由题意，得
y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2
＋2x ＋3.
∴抛物线的表达式为y ＝－x 2
＋2x ＋3. (2)P 1(2，3)，P 2(4，－5)．
B 组(中档题)
4．(2019·淄博节选)如图，顶点为M 的抛物线y ＝－x 2
＋2x ＋3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，在y 轴上是否存在一点P ，使得△PAM 为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
解：在y ＝－x 2
＋2x ＋3中，令y ＝0，则－x 2
＋2x ＋3＝0. 解得x 1＝3，x 2＝－1. ∴A(3，0)，B(－1，0)．
∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2
＋4，
∴M(1，4)．∴AM 2＝(3－1)2＋42
＝20. 设点P 坐标为(0，p)，
则AP 2＝32＋p 2＝9＋p 2
， MP 2＝12＋(4－p)2＝17－8p ＋p 2.
①若∠PAM ＝90°，则AM 2＋AP 2＝MP 2
.
∴20＋9＋p 2＝17－8p ＋p 2
，解得p ＝－32.
∴P(0，－3
2
)．
②若∠APM ＝90°，则AP 2＋MP 2＝AM 2
.
∴9＋p 2＋17－8p ＋p 2
＝20，解得p 1＝1，p 2＝3. ∴P(0，1)或(0，3)．
③若∠AMP ＝90°，则AM 2＋MP 2＝AP 2
. ∴20＋17－8p ＋p 2＝9＋p 2
，解得p ＝72.
∴P(0，7
2
)．
综上所述，当点P 的坐标为(0，－32)或(0，1)或(0，3)或(0，7
2)时，△PAM 为直角三角
形．
5．如图，抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋3(a ≠0)与x 轴、y 轴分别交于A(－1，0)，B(3，0)，C 三点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)x 轴上是否存在点P ，使PC ＋12PB 最小？若存在，请求出点P 的坐标及PC ＋1
2PB 的最
小值；若不存在，请说明理由；
(3)连接BC ，设E 为线段BC 的中点．若M 是抛物线上一动点，将点M 绕点E 旋转180°得到点N ，当以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N 的坐标．
解：(1)∵抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋3(a ≠0)与x 轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，
∴设抛物线的表达式为y ＝a(x ＋1)(x －3)＝ax 2
－2ax －3a. ∴－3a ＝3.∴a ＝－1.
∴抛物线的表达式为y ＝－x 2
＋2x ＋3.
(2)在x 轴下方作∠ABD ＝30°，交y 轴负半轴于点D ，则BD ＝2OD. ∵B(3，0)，∴OB ＝3.
根据勾股定理，得BD 2－OD 2＝32
，
∴4OD 2－OD 2
＝9.
∴OD ＝3，BD ＝2 3.
∵抛物线的表达式为y ＝－x 2
＋2x ＋3， ∴C(0，3)．∴OC ＝3.∴CD ＝3＋ 3. 过点P 作PB ′⊥BD 于点B ′， 在Rt △PB ′B 中，PB ′＝1
2PB ，
∴PC ＋1
2
PB ＝PC ＋PB ′.
当点C ，P ，B 在同一条直线上时，PC ＋1
2
PB 最小，最小值为CB ′，
∵S △BCD ＝12CD ·OB ＝1
2
BD ·CB ′，
∴CB ′＝CD ·OB BD ＝（3＋3）×323＝3（3＋1）
2，
即PC ＋12PB 的最小值为3（3＋1）
2
.
∵OB ＝OC ＝3，∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°.
∴∠DBC ＝45°＋30°＝75°.
∴∠BCP ＝90°－75°＝15°.∴∠OCP ＝30°. ∵OC ＝3，∴OP ＝ 3.∴P(3，0)．
(3)如备用图，设M(m ，－m 2
＋2m ＋3)， ∵以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是矩形， ∴∠BMC ＝90°.
∵点A 在x 轴负半轴上，且∠BOC ＝90°， ∴点M 在x 轴上方的抛物线上．
过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，MF ⊥y 轴于点F ， ∴∠MEO ＝∠MFO ＝90°＝∠EOF. ∴四边形OEMF 是矩形．
∴∠EMF ＝90°.∴∠BME ＝∠CMF. 又∵∠BEM ＝∠CFM ＝90°， ∴△BEM ∽△CFM. ∴BE CF ＝ME MF
， 即3－m －m 2
＋2m ＋3－3＝－m 2
＋2m ＋3
m . ∴m ＝1±52
或3(舍去)．
∴M(1＋52，5＋52)或(1－52，5－52)．
∵点N 是点M 关于点E(32，3
2
)的对称点，
∴点N 的坐标为(5－52，1－52)或(5＋52，1＋5
2)．
C 组(综合题)
6．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2
＋bx －5，与x 轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，与y 轴交于点C.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点D 是y 轴上的一点，且以B ，C ，D 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点D 的坐标；
(3)如图2，CE ∥x 轴与抛物线相交于点E ，点H 是直线CE 下方抛物线上的动点，过点H 且与y 轴平行的直线与BC ，CE 分别相交于点F ，G ，试探究当点H 运动到何处时，四边形CHEF 的面积最大，求点H 的坐标及最大面积；
(4)若点K 为x 轴上一点，连接CK ，请你直接写出2CK ＋KB 的最小值．
解：(1)∵点A(－1，0)，B(5，0)在抛物线y ＝ax 2
＋bx －5上，
∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b －5＝0，25a ＋5b －5＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4. ∴抛物线的表达式为y ＝x 2
－4x －5. (2)令x ＝0，则y ＝－5， ∴C(0，－5)．∴OC ＝OB ＝5. ∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°.
∴AB ＝6，BC ＝52，AC ＝26.
要使以B ，C ，D 为顶点的三角形与△ABC 相似， 则有AB CD ＝BC BC 或AB BC ＝BC CD .
①当AB CD ＝BC
BC 时，CD ＝AB ＝6，
∴D(0，1)．
②当AB BC ＝BC CD 时，652＝52CD ，
∴CD ＝253.∴D(0，103
)．
∴点D 的坐标为(0，1)或(0，10
3
)．
(3)设H(t ，t 2
－4t －5)，
∵CE ∥x 轴，∴点E 的纵坐标为－5.
∵点E 在抛物线上，∴x 2
－4x －5＝－5. ∴x ＝0(舍)或x ＝4. ∴E(4，－5)．∴CE ＝4. ∵B(5，0)，C(0，－5)，
∴直线BC 的表达式为y ＝x －5.∴F(t ，t －5)． ∴HF ＝t －5－(t 2
－4t －5)＝－(t －52)2＋254.
∵CE ∥x 轴，HF ∥y 轴，∴CE ⊥HF. ∴S 四边形CHEF ＝12CE ·HF ＝－2(t －52)2＋25
2.
∴当t ＝52时，四边形CHEF 的面积最大为25
2
.
当t ＝52时，t 2
－4t －5＝254－10－5＝－354，
∴H(52，－354
)．
(4)如图3，作点C 关于x 轴的对称点E(0，5)，将△BKC 绕点B 逆时针旋转60°，得到
△BHF ，连接HK ，EF ，EK ，过点F 作FM ⊥x 轴于点M ，
∵B(5，0)，C(0，－5)， ∴BO ＝CO ＝5.
∴BC ＝52，∠CBO ＝45°.
∵点C ，点E 关于x 轴对称，∴EK ＝CK.
∵将△BKC 绕点B 逆时针旋转60°得到△BHF ，
∴BK ＝BH ，CK ＝HF ，BF ＝BC ＝52，∠KBH ＝60°＝∠CBF. ∴△KBH 是等边三角形．∴KB ＝KH. ∴2CK ＋KB ＝HF ＋EK ＋KH.
∴当E ，K ，H ，F 四点共线时，2CK ＋KB 的值最小，最小值为EF 的长． ∵∠FBM ＝180°－45°－60°＝75°，BF ＝52， ∴BM ＝53－52，MF ＝53＋52.
∴EF ＝
（53－52＋5）2＋（53＋52
＋5）2＝53＋5，
即2CK ＋KB 的最小值为 53＋5.。