秋九年级数学上册 21.1 锐角三角函数课堂导学 北京课改版
京改版九年级数学上册20.1锐角三角函数说课稿
我将设计以下师生互动和生生互动环节，以促进学生的参与和合作：
1.师生互动：
-教师提问，学生回答，引导学生主动思考、表达观点。
-教师指导，学生实践，帮助学生掌握三角函数的性质和应用。
2.生生互动：
-小组讨论：分组讨论问题，培养学生合作精神和交流表达能力。
-课堂竞赛：组织竞赛，激发学生学习积极性，提高竞争意识。
情感态度与价值观：
1.培养学生热爱数学，积极主动学习的情感态度。
2.增强学生对数学美的感受，提高审美情趣。
3.培养学生严谨、求实的科学态度，激发学生的创新精神。
（三）教学重难点
根据对学生的了解和教学内容的分析，本节课的教学重点和难点如下：
重点：
1.锐角三角函数的定义及其表示方法。
2.锐角三角函数的性质及其应用。
4.保持书写规范，确保学生能够轻松阅读。
（二）教学反思
在教学过程中，我预见到以下可能的问题或挑战：
1.学生对三角函数概念的理解可能不够深入。
2.性质的推导和应用可能存在难度。
3.课堂互动可能不够充分。
为应对这些问题，我将：
1.采用多种教学方法和直观教具，帮助学生深入理解概念。
2.设计由浅入深的练习题，逐步引导学生掌握性质和应用。
主要知识点包括：
1.锐角三角函数的定义：正弦、余弦、正切的概念及其表示方法。
2.锐角三角函数的性质：正弦、余弦、正切的取值范围；正弦、余弦的增减性；正切的周期性。
3.锐角三角函数的简单应用：利用函数值求角度；已知角度求函数值。
（二）教学目标
知识与技能：
1.理解并掌握锐角三角函数的定义，能够准确表示正弦、余弦、正切。
四、教学过程设计
京改版九年级上册第20章《20.1锐角三角函数》优秀教学案例
三、教学策略
（一）情景创设
在本章节的教学中，我将充分利用生活实例和实际问题来创设教学情景，让学生在具体的情境中感受锐角三角函数的作用。例如，通过引入测量校园内旗杆高度、计算教学楼立面角度等问题，引导学生运用锐角三角函数知识进行分析和解决。此外，我还将结合学生的生活经验，设计一些与锐角三角函数相关的趣味性问题，激发学生的好奇心和求知欲。
（五）作业小结
在作业小结环节，我会布置以下作业：
1.请同学们完成课本上的相关练习题，巩固锐角三角函数的计算方法。
2.请同学们结合本节课所学内容，编写一道与锐角三角函数相关的实际问题，并尝试解决。
3.请同学们撰写一篇学习心得，总结自己在学习锐角三角函数过程中的收获和感悟。
五、案例亮点
1.生活实例导入，激发学生兴趣
此外，我还将结合学生的课堂表现、作业完成情况、小组讨论成果等方面，进行全面、多元的评价。在评价过程中，关注学生的个体差异，以鼓励性评价为主，激发学生的学习积极性，提高学生的自信心。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课环节，我将以学生身边的实例为切入点，提出以下问题：“同学们，你们有没有注意过，当太阳刚刚升起时，阳光与地面的角度是如何变化的？这个角度对我们的日常生活有什么影响？”通过这个问题，引导学生思考角度与实际生活的联系。接着，我会拿出一个事先准备好的直角三角形模型，演示锐角三角函数的概念，从而引出本节课的主题——锐角三角函数。
本教学案例以学生熟悉的实际生活为背景，通过情景创设导入新课，使学生在轻松愉快的氛围中感受数学的魅力。将锐角三角函数与生活中的实际问题相结合，激发学生的好奇心和求知欲，提高学生的学习积极性。
【精选】北京课改版九上21.1《锐角三角函数(第一课时)说课稿》word教案-数学知识点总结
21.1 锐角三角函数（第一课时）讲课稿各位评委，老师们，你们好！我是密云县新乡村中学初三数学教师葛长娟。
新乡村中学是密云县城乡联合处的一所一般中学。
有时机参加此次教研活动向六个郊外区县各位数学教师学习，我深感有幸。
此次我讲课的内容是：初中数学课本第十七册第二十一章解直角三角形，第一部分锐角三角形函数的第一节锐角三角函数的开端课，这部分内容在课本第 89 页至 95 页。
下边我依据自己编写的教课设计，把我对本节课的教课目的、过程、方法、工具等方面的简单认识作以说明，希望专家们老师们对我的讲课内容多提可贵建议。
一、对于教课目的确实定（一）教材的地位和作用本节课选自北京市义务教育课程改革实验教材第二十一章第一部分的第一节（第一课时）。
学习锐角三角函数是在学习了直角三角形两锐角关系、勾股定理等知识基础上，对直角三角形边角关系的进一步深入和拓展。
它在解决实质问题中起侧重要作用，也是高中进一步学习三角函数、反三角函数等内容的工具。
经过本节的学习，学生能够进一步领会比和比率，图形的相像，推理证明等数学知识之间的联系，感觉数形联合的思想方法。
同时为利用锐角三角函数解决实质问题确立基础。
（二）学情解析学生已能理解直角三角形中边关系，能适合的运用相像三角形的性质及判断方法解决问题，能进行合情推理。
要得出直角三角形中边角三角关系，领会锐角三角函数的意义需察看思虑合作沟通才能达成。
教课中辅以不一样的教课手段，赐予深入浅出的解析，帮助学生理解。
（三）教课目的确实定依据以上对教材的地位作用以及学情的解析，联合新课标对本节课的要求，确立了本节课的教课目的：1.知识目标：理解锐角正弦的意义，会求锐角的正弦值，能依据直角三角形中的边角关系进行简单计算。
2.能力目标：经历锐角正弦的意义的研究过程，体验数形联合的运用，发展合情推理能力。
3.感情态度价值观：使学生在学习数学过程中领会数学与生活的亲密联系，激发学习数学的兴趣。
（四）教课要点、难点1.要点：对正弦意义的理解，能运用正弦定义进行简单计算。
北京课改版数学九年级上册20.1《锐角三角函数》教学设计
北京课改版数学九年级上册20.1《锐角三角函数》教学设计一. 教材分析北京课改版数学九年级上册20.1《锐角三角函数》是学生在学习了平面几何、代数基础知识后的进一步拓展，主要介绍了锐角三角函数的定义、性质和应用。
本节内容对于学生来说，既是对前面知识的巩固，又是为后面学习更高级的数学知识打下基础。
教材通过丰富的实例，引导学生探究锐角三角函数的定义和性质，从而培养学生的探究能力和思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何和代数基础知识，对于图形的认知和逻辑推理能力有一定的培养。
但同时，由于学生的学习能力和兴趣各有不同，因此在教学过程中，需要针对不同层次的学生进行差异化教学，激发他们的学习兴趣，提高他们的学习主动性。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解锐角三角函数的定义、性质和应用，能够运用锐角三角函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生探究问题和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的学习态度。
四. 教学重难点1.重点：锐角三角函数的定义、性质和应用。
2.难点：锐角三角函数的性质的理解和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过丰富的实例，引导学生进入学习情境，提高学生的学习兴趣。
2.问题驱动法：提出问题，引导学生思考和探究，培养学生的解决问题的能力。
3.合作学习法：鼓励学生之间的合作交流，共同解决问题，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作精美的PPT，展示锐角三角函数的相关实例和知识点。
2.实例材料：准备相关的实际问题，用于引导学生探究锐角三角函数的定义和性质。
3.学习任务单：设计学习任务单，引导学生进行自主学习和合作交流。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题，如测量一个未知角度的直角三角形的对边长度，引出锐角三角函数的概念。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示锐角三角函数的定义和性质，引导学生理解和记忆。
2021九年级数学上册21.1 锐角3角函数课堂导学+北京课改版
21.1 锐角三角函数名师导学典例分析例1 如图21－l －3所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB,D 为垂足,AD=2,BD=3.填写下列空格并回答：(1)CD=______,AC=______,BC=______.(2)cos A=______,sin A=______,sin B=______,cos B=______. (3)观察上面结果,你能发现什么? 思路分析：(1)观察发现Rt△ACD 和Rt△CBD 具有相似关系,从而可通过这两个三角形的相似比来求出CD ；(2)在求sinA,cosA,sinB,cosB 时应分别在Rt△ACD,Rt△ABC 和Rt△BCD 中用不同的直角边的比求得sinA 和cosA,sinB 和cosB 的值,都有三种不同的求法；(3)通过观察图形和计算结果,会得出一些规律性的结论. 解：(1)15,10,6===BC AC CD .(2)510cos =A ,515sin =A ,510sin =B ,515cos =B .(3)在△ABC 中,当∠A+∠B=90°时,就有sinA=cosB,cosA=sinB.例2 a 、b 、c 是△ABC 的三边,a 、b 、c 满足等式(2b)2=4(c+a)(c －a),且5a －3c=0,求sinA+sinB 的值.思路分析：由等式(2b)2=4(c+a)(c －a),整理得出a 、b 、c 三边的关系式,进而确定三角形的形状(直角三角形),由等式5a －3c=0,探求两直角边的关系,结合勾股定理表示出斜边,根据三角函数定义便可作出最后的解答.解：由(2b)2=4(c+a)(c －a),得 b 2=c 2－a 2,即c 2=a 2+b 2.∴△ABC 为直角三角形,且∠C=90°, 由5a －3c=0得:53=c a ,即sinA=53.设a=3k,c=5k,所以k k k b 4)3()5(22=-=.∴sinB=5454==k k c b . ∴sinA+sinB=575453=+.例3 如图21－1－4所示,△ABC 中,D 是AB 的中点,DC⊥A C,且tan∠BCD=31.求sinA,cosA,tanA 的值.思路分析：在本题题设中出现了tan∠BCD=31,由于∠BCD 所在的三角形并非是直角三角形,而根据三角函数的定义,应想方设法构造出一个与之相关的直角三角形,这也是常见的解题方法和规律.另外,三角形的中位线的判定及性质在本题中得到了充分地利用.解：过点D 作DE⊥CD 交BC 于点E.在Rt△CDE 中,∵tan∠BCD=CD DE=31,故可设DE=k,则CD=3k.又∵CD⊥AC,DE∥AC,D 为AB 的中点,∴E 为BC 的中点,∴AC DE 21=,∴AC=2DE=2k,∴在Rt△ACD 中,k CD AC AD 1322=+=.所以,2323tan ,13132132cos ,13133133sin =========k k AC CD A kk AD AC A k k AD CD A . 突破易错☆挑战零失误规律总结善于总结★触类旁通1 方法点拨：通过一个锐角正弦、余弦的定义确定相应函数值是解决本题的关键.要深刻领会正、余弦的定义,弄清是哪两边的比的关系.由本胚我们还可以看出,在Rt△ABC 中,当∠ACB=90°时,∠A 的正弦值与∠B 的余弦值是相等的,∠A 的余弦值又恰好是∠B 的正弦值这一有趣的特征.2 方法点拨：解题时易出现不能准确地求出相应的两个内角的三角函数的思维障碍,排除障碍的办法是：(1)先由第一个条件(等式)人手,探求三角形的形状.由等式化简可得a 2+b 2=c 2直角三角形.(2)结合第二个条件(等式)可得直角边与斜边间的关系,这样三边之间的倍分关系便全部明朗化,问题得解.另外,该类题的做法一般都是通过整理已知条件,进一步明确已知条件和结论之间的关系,而使问题得解. 3 方法点拨：在解涉及三角函数方面的问题时,一般应把它放在直角三角形中去解决.若原题已知条件中没有直角三角形,应通过作辅助线构造出直角三角形,因为锐角的三角函数都是定义在直角三角形中的.英语不规则动词归类记忆表原形 过去式 过去分词 汉语意思 read read read 读cutcutcut切，割三、ABC 型1. ow →ew →own四、ABB型不规则单词测试卷（1）微信添加“小魔方站”或“fifteen1617”免费获得更多中考资料与模拟试题不规则单词测试卷（2）不规则单词测试卷（3）不规则单词测试卷（4）。
九年级数学上：21.1锐角三角函数教案 北京课改版
教学目的1、使学生了解本章所要解决的新问题是：已知直角三角形的一条边和另一个元素（一边或一锐角），求这个直角三角形的其他元素。
2、使学生了解“在直角三角形中，当锐角A取固定值时，它的对边与斜边的比值也是一个固定值。
重点、难点、关键1、重点：正弦的概念。
2、难点：正弦的概念。
3、关键：相似三角形对应边成比例的性质。
教学过程一、复习提问1、什么叫直角三角形？2、如果直角三角形ABC中∠C为直角，它的直角边是什么？斜边是什么？这个直角三角形可用什么记号来表示？二、新授1、让学生阅读教科书第一页上的插图和引例，然后回答问题：（1）这个有关测量的实际问题有什么特点？（有一个重要的测量点不可能到达）（2）把这个实际问题转化为数学模型后，其图形是什么图形？（直角三角形）（3）显然本例不能用勾股定理求解，那么能不能根据已知条件，在地面上或纸上画出另一个与它全等的直角三角形，并在这个全等图形上进行测量？（不一定能，因为斜边即水管的长度是一个较大的数值，这样做就需要较大面积的平地或纸X，再说画图也不方便。
）（4）这个实际问题可归结为怎样的数学问题？（在Rt△ABC中，已知锐角A和斜边求∠A的对边BC。
）但由于∠A不一定是特殊角，难以运用学过的定理来证明BC的长度，因此考虑能否通过式子变形和计算来求得BC的值。
2、在RT △ABC 中，∠C ＝o 90，∠A ＝o30，不管三角尺大小如何，∠A 的对边与斜边的比值都等于1／2，根据这个比值，已知斜边AB 的长，就能算出∠A 的对边BC 的长。
类似地，在所有等腰的那块三角尺中，由勾股定理可得∠A 的对边／斜边＝BC ／AB＝1／2 这就是说，当∠A ＝o 45时，∠A 的对边与斜边的比值等于2／2，根据这个比值，已知斜边AB 的长，就能算出∠A 的对边BC 的长。
那么，当锐角A 取其他固定值时，∠A 的对边与斜边的比值能否也是一个固定值呢？ （引导学生回答;在这些直角三角形中，∠A 的对边与斜边的比值仍是一个固定值。
北京课改初中数学九上《21.1锐角三角函数》PPT课件 (5)
sin60o=
3 2
3. sinA随锐角∠ A的增大而增大，锐角∠ A的正 弦变化范围是0<sinA<1
4. 同角或等角的正弦值相等.
作业：书92页 必做练1，2 选作练3
解:在Rt △ABC中,
BC 5 sin A = = ,
AB 13
AC AB2 BC2 132 52 12
∴sin
B
A
(2)求sinB的值
C
┌ DB
6.已知在Rt△ABC中,∠C=900,D是BC中点, DE⊥AB,垂足为E,sin∠BDE=4
5 AE=7,求DE的长A.
E
B
D
C
小结
1. 正弦定义:
sin
A
A的对边 斜边
BC AB
A
sin30o
1
=
2
sin45o= 2
2
2.sinA是∠A的函数.
B
斜边
对边
┌ C
例题示范
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求 sinA和sinB的值．
B B
3
13
5
A
4
C
C
A
(1)
解：在Rt ABC中C 90o， (2)
由勾股定理得
AB AC2 BC2 sin A BC 3
AB 5 sin B AC 4 .
AB 5
42 32 5
例2已知，如图，在△ABC中,CD是AB边上的高， CD=12，AD=9，BD=5. 求sinA，sin∠ACD, sinB和sin∠BCD的值
1.如图(1)sinA=
BC AB
(√
)
10m
B
秋九年级数学上册 21.1 锐角三角函数课前预习训练 北京课改版
21.1 锐角三角函数自主学习主干知识 ←提前预习 勤于归纳→认真阅读教材,完成下列各题1.在Rt△ABC 中,如果锐角A 确定,那么∠A 的_______边与_______边的比,叫做∠A 的正弦,记为_______；∠A 的_______边与______边的比叫做∠A 的余弦,记为______;∠A 的______边与_______边的比叫做∠A 的正切,记为_______.答案：对 斜 sinA 邻 斜 cosA 对 邻 tanA2.锐角的______、_______、_______都是锐角的函数,统称为_______.答案：正弦 余弦 正切 锐角三角函数3.已知：如图21－1－1所示,在Rt△ABC 中,∠C=90°,求图中∠A 的三角函数值.答案：43tan ,54cos ,53sin ===A A A . 解析：由勾股定理先求出AB=10，再根据锐角三角函数的定义去求解.4.若21sin =A ,则∠A 等于多少度?若22sin =B ,则∠B 等于多少度? 答案：∠A=30°，∠B=45°.点击思维 ←温故知新 查漏补缺→1.当0°<∠A<90°时,sin A 的值在什么范围内变化?cos A,tan A 的值又在什么范围内变化? 答案：0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>02.在直角三角形中,当一个锐角取固定值时,它的锐角三角函数值是否也是一个固定值?与三角形的大小有关系吗?答案：是；没有关系.3.如图21－1－2所示,AB 表示靠在墙上的梯子,移动梯子,当sin B,tan B 的值越______时,梯子越陡；当cos B 的值越_____时,梯子越陡.(填“大”或“小”)答案：大 小。
九年级数学上册20.1锐角三角函数导学案北京课改版
20。
1锐角三角函数预习案一、预习目标及范围：1.通过探索，理解锐角三角函数的定义。
(难点）2.能够掌握锐角三角函数的增减性。
（重点）3。
运用所学的知识解决实际的问题。
预习要点1.三角函数包括哪些？2.三角函数如何增减？三、预习检测1。
如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上,则tan∠ABC的值为( )A.1B.3/5 C。
2 D。
3/42.三角形在方格纸中的位置如图所示，则cosα的值是（）A。
3/4 B. 4/3 C.3/5 D。
4/53。
如图,在正方形网格中，∠1、∠2、∠3的大小关系（）A. ∠1=∠1=∠3 B。
∠1＜∠2＜∠3 C. ∠1=∠2＞∠3 D。
∠1＜∠2=∠34。
在Rt△ABC中，若各边的长度同时都扩大2倍,则锐角A的正弦值与余弦值的情况（）A.都扩大2倍B.都扩大2倍C.都不变D.正弦值扩大2倍，余弦值缩小2倍探究案一、合作探究活动内容1：活动1:三角函数的定义在△ABC中,∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，sinA= ∠A的对边/斜边=BC/AB=a/c强调：“sinA”是一个完整的符号，不要误解为sin。
A，记号里习惯省去角的符号“∠”。
单独写成符号sin是没有意义的，因为他离开了确定的锐角无法显示它的含义。
在△ABC中，∠C=90°,我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA,cosA= ∠A的邻边/斜边=AC/AB=b/c强调：“cosA”是一个完整的符号,不要误解为cos。
A，记号里习惯省去角的符号“∠”.单独写成符号cos是没有意义的，因为他离开了确定的锐角无法显示它的含义。
在△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,tanA= ∠A的对边/邻边=BC/AC=a/b强调：“tanA"是一个完整的符号，不要误解为tan.A,记号里习惯省去角的符号“∠”。
【数学】九年级数学上册201锐角三角函数教案新版北京课改版
【关键字】数学20.1锐角三角函数一、教学目标1.通过探索，理解锐角三角函数的定义。
2.能够掌握锐角三角函数的增减性。
3.运用所学的知识解决实际的问题。
2、课时安排1课时三、教学重点能运用三角函数的增加性判断角的范围。
四、教学难点通过探索，理解锐角三角函数的定义及其增减性。
五、教学过程（一）导入新课当你走进学校，首先看到的是操场旗杆上飘扬的五星红旗，你是不是很想知道，操场的旗杆有多高？如图所示，九年级（2）班的同学，站在离旗杆AE底部处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB 与水平线的夹角∠ABC为34°，并已知目高BD为。
你知道怎么计算旗杆的实际高度吗？（二）讲授新课活动1：小组合作在△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，sinA= ∠A的对边/斜边=BC/AB=a/c强调：“sinA”是一个完整的符号，不要误解为sin.A，记号里习惯省去角的符号“∠”。
单独写成符号sin是没有意义的，因为他离开了确定的锐角无法显示它的含义。
在△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，cosA= ∠A的邻边/斜边=AC/AB=b/c强调：“cosA”是一个完整的符号，不要误解为cos.A，记号里习惯省去角的符号“∠”。
单独写成符号cos是没有意义的，因为他离开了确定的锐角无法显示它的含义。
在△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，tanA= ∠A的对边/邻边=BC/AC=a/b强调：“tanA”是一个完整的符号，不要误解为tan.A，记号里习惯省去角的符号“∠”。
单独写成符号tan是没有意义的，因为他离开了确定的锐角无法显示它的含义。
活动2：锐角三角函数的增减性（1）锐角三角函数值都是正值（2）当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）。
北京课改初中数学九年级上册《21.1锐角三角函数》精品教案 (1)
21.1锐角三角函数 教学目的1、使学生了解本章所要解决的新问题是：已知直角三角形的一条边和另一个元素（一边或一锐角），求这个直角三角形的其他元素。
2、使学生了解“在直角三角形中，当锐角A 取固定值时，它的对边与斜边的比值也是一个固定值。
重点、难点、关键1、重点：正弦的概念。
2、难点：正弦的概念。
3、关键：相似三角形对应边成比例的性质。
教学过程一、复习提问1、什么叫直角三角形？2、如果直角三角形ABC 中∠C 为直角，它的直角边是什么？斜边是什么？这个直角三角形可用什么记号来表示？二、新授1、让学生阅读教科书第一页上的插图和引例，然后回答问题：（1）这个有关测量的实际问题有什么特点？（有一个重要的测量点不可能到达）（2）把这个实际问题转化为数学模型后，其图形是什么图形？（直角三角形）（3）显然本例不能用勾股定理求解，那么能不能根据已知条件，在地面上或纸上画出另一个与它全等的直角三角形，并在这个全等图形上进行测量？（不一定能，因为斜边即水管的长度是一个较大的数值，这样做就需要较大面积的平地或纸张，再说画图也不方便。
）（4）这个实际问题可归结为怎样的数学问题？（在Rt △ABC 中，已知锐角A 和斜边求∠A 的对边BC 。
）但由于∠A 不一定是特殊角，难以运用学过的定理来证明BC 的长度，因此考虑能否通过式子变形和计算来求得BC 的值。
2、在RT △ABC 中，∠C ＝o 90，∠A ＝o30，不管三角尺大小如何，∠A 的对边与斜边的比值都等于1／2，根据这个比值，已知斜边AB 的长，就能算出∠A 的对边BC 的长。
类似地，在所有等腰的那块三角尺中，由勾股定理可得∠A 的对边／斜边＝BC ／AB ＝1／2 这就是说，当∠A ＝o 45时，∠A 的对边与斜边的比值等于2／2，根据这个比值，已知斜边AB 的长，就能算出∠A 的对边BC 的长。
那么，当锐角A 取其他固定值时，∠A 的对边与斜边的比值能否也是一个固定值呢？（引导学生回答;在这些直角三角形中，∠A 的对边与斜边的比值仍是一个固定值。
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初中毕业生重点卷
初中毕业生重点卷 21.1 锐角三角函数
名师导学
典例分析
例1 如图21－l －3所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB,D 为垂足,AD=2,BD=3.填写下列空格并回答：
(1)CD=______,AC=______,BC=______.
(2)cos A=______,sin A=______,sin B=______,cos B=______.
(3)观察上面结果,你能发现什么?
思路分析：(1)观察发现Rt△ACD 和Rt△CBD 具有相似关系,从而可通过这两个三角形的相似比来求出CD ；(2)在求sinA,cosA,sinB,cosB 时应分别在Rt△ACD,Rt△ABC 和Rt△BCD 中用不同的直角边的比求得sinA 和cosA,sinB 和cosB 的值,都有三种不同的求法；(3)通过观察图形和计算结果,会得出一些规律性的结论.
解：(1)15,10,6===BC AC CD . (2)510cos =A ,515sin =A ,510sin =B ,5
15cos =B . (3)在△ABC 中,当∠A+∠B=90°时,就有sinA=cosB,cosA=sinB.
例2 a 、b 、c 是△ABC 的三边,a 、b 、c 满足等式(2b)2=4(c+a)(c －a),且5a －3c=0,求sinA+sinB
的值.
思路分析：由等式(2b)2=4(c+a)(c －a),整理得出a 、b 、c 三边的关系式,进而确定三角形的
形状(直角三角形),由等式5a －3c=0,探求两直角边的关系,结合勾股定理表示出斜边,根据三角函数定义便可作出最后的解答.
解：由(2b)2=4(c+a)(c －a),得
b 2=
c 2－a 2,即c 2=a 2+b 2.
∴△ABC 为直角三角形,且∠C=90°,
由5a －3c=0得:5
3=c a ,即sinA=53. 设a=3k,c=5k,所以k k k b 4)3()5(22=-=. ∴sinB=
5
454==k k c b . ∴sinA+sinB=575453=+. 例3 如图21－1－4所示,△ABC 中,D 是AB 的中点,DC⊥A C,且tan∠BCD=31.求sinA,cosA,tanA 的值.。