第2讲 一次函数的图像及性质(讲义)解析版

（2）由图像可得： x ³ 6 ． 【总结】本题考察了一次函数与一元一次不等式的关系． 例 9.已知一次函数解析式是 y = 1 x - 3 ．
2
（1）当 x 取何值时， y = 2 ? （2）当 x 取何值时， y > 2 ? （3）当 x 取何值时， y < 2 ? （4）当 x 取何值时， 0 < y < 2 ?
2 （4）令 0 < 1 x - 3 < 2 ，解得： 6 < x < 10 ．
2 【总结】本题考察了一次函数与不等式的关系，本题也可以通过函数图像求解． 例 10.已知函数 f (x) = -3x + 1 ．
（1）当 x 取何值时， f (x) = -2 ? （2）当 x 取何值时， 4 > f (x) > -2 ? （3）在平面直角坐标系中，在直线 f (x) = -3x + 1 上且位于 x 轴下方所有点，它们的横 坐标的取值范围是什么?
A． x < 0
B． x > 0
C． x < 2
D． x > 2 ．
【答案】A
【分析】根据题意在函数图像中寻找 y > 3 时函数图像所在的位置，发现此时函数图像对
应的 x 范围是小于零，从而得出答案
【详解】解：∵由函数图象可知，当 x＜0 时函数图象在 3 的上方，
∴当 y＞3 时，x＜0．
故选：A．
【总结】本题考察了一次函数与一元一次不等式的关系． 例 8.已知 y = kx + b(k ¹ 0) 的函数图像如图所示：
（1）求在这个函数图像上且位于 x 轴上方所有点的横坐标的取值范围； （2）求不等式 kx + b £ 0 的解集．
y
x
O
6
【难度】★ 【答案】（1） x < 6 ； （2） x ³ 6 ． 【解析】（1）由图像可得： x < 6 ；
D． x £ 6
【答案】B
【分析】根据题意大致画出图象，然后数形结合即可确定 x 的取值范围．
【详解】∵直线 y = kx + b k ¹ 0 经过第一、二、四象限，且与 x 轴的交点为 6, 0 ，
∴图象大致如图：
由图可知，当 kx + b > 0 时 x 的取值范围是 x < 6 ，
故选：B． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象及性质，掌握一次函数的图象及性质并能够数形结 合是解题的关键． 例 3．一次函数 y=kx+b 的图象如图所示，当 y＞3 时，x 的取值范围是( )
故答案为：x≤0． 【点睛】此题主要考查一次函数的图像，解题的关键是根据数形结合求解．
例 5．一次函数 y = kx + b 的图像如图所示．当 y > 0 时， x 的取值范围是______．
【答案】 x < -4
【分析】根据图像直接解答即可．
【详解】由图像可知，当 y > 0 时， x 的取值范围是 x < -4 ． 故答案为： x < -4 ．
（这部分知识概念也可以按照下面表格进行讲解和整理）
b>0
b<0
b=0
k > 0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限
图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限
k <0
例题解析
图象从左到右下降，y 随 x 的增大而减小
故当 y>3 时，x<1，
故选：D.
【点睛】此题考查一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特点.
例 2．如果直线 y = kx + b k ¹ 0 经过第一、二、四象限，且与 x 轴的交点为 6, 0 ，那么
当 kx + b > 0 时 x 的取值范围是（ ）
A． x > 6
B． x < 6
C． x ³ 6
【难度】★★ 【答案】（1） x = 1 ； （2） -1 < x < 1 ； （3） x > 1 ．
3 【解析】（1）令 -3x + 1 = -2 ，解得： x = 1 ；
（2）令 4 > -3x + 1 > -2 ，解得： -1 < x < 1 ；
（3）令 -3x + 1 < 0 ，解得： x > 1 ． 3
例 1.已知函数：① y = -x + 2 ；② y = 3 + 1 x ；③ y = 5 x ；④ y = 3 - x ；
2
3
2
⑤ y = 1 x - (1 x -1) ．在这些函数中，函数值 y 随自变量 x 的值增大而减小的函数有 45
_______________．
【难度】★
【答案】①④． 【解析】由一次函数的性质，当 k < 0 时，y 随 x 的增大而减小，故选①④． 【总结】本题考察了一次函数的性质． 例 2.已知一次函数 y = (3 - 2m)x + m + 1 ，函数值 y 随自变量 x 的值增大，而减小．
3 【难度】★ 【答案】 a > b ． 【解析】由已知得： k = - 1 < 0 ，所以 y 随 x 的增大而减小，∴ a > b ．
3 【总结】本题考察了一次函数的性质，也可用特殊值法比较大小． 例 4.完成下列填空：
（1） 直线 y = -2x - 5 是________（填“上升”或“下降”）的，并且与 y 轴的______ 半轴相交，因此这条直线经过第________象限，截距为_______；
2、 一元一次不等式与一次函数 （1） 由一次函数 y = kx + b 的函数值 y 大于 0（或小于 0），就得到关于 x 的一元一次不等
式 kx + b > 0 （或 kx + b < 0 ）的解集． （2） 在一次函数 m 的图像上且位于 x 轴上方（或下方）的所有点，它们的横坐标的取值
范围就是不等式 kx + b > 0 （或 kx + b < 0 ）的解集．
例 13.当－1≤ x ≤2 时，函数 y = ax + 6 满足 y < 10 ，求出常数 a 的取值范围． 【难度】★★★ 【答案】 -4 < a < 2 ． 【解析】当 a > 0 时， ymax = 2a + 6 < 10 ，解得： a < 2 ；
当 a < 0 时， ymin = -a + 6 < 10 ，解得： a > -4 ；
当 a = 0 时， y = ax + 6 = 6 ，满足 y < 10 ；
∴ -4 < a < 2 ． 【总结】本题考察了一次函数的性质，注意解题时要分类讨论．
模块二：一次函数的性质 知识精讲
1、 一次函数的增减性： 一般地，一次函数 y = kx + b （ k,b 为常数， k ¹ 0 ）具有以下性质： 当 k > 0 时，函数值 y 随自变量 x 的值增大而增大，图像为上升； 当 k < 0 时，函数值 y 随自变量 x 的值增大而减小，图像为下降．
（1） y = ax - 2 与 x 轴的交点坐标为：（4，0）；
（2） ax - 2 ³ 0 的解集为： x ³ 4 ． 【总结】本题考察了一次函数与方程不等式的关系，本题也可由一次函数的图像或者是函数 的性质求得最终结果． 例 12.已知一次函数 y = ax + b 与 y = mx + n 交于点 (3，4) ，根据其图像回答下列问题：
例题解析
例 1．如图，一次函数 y = kx + b 的图像经过 1, 3 ， 2, 0 两点，那么当 y > 3 时， x 的取
值范围是（ ）
A． x < 0
B． x < 2
C． x > 1
D． x < 1
【答案】D
【分析】根据一次函数的图象可直接进行解答.
【详解】由函数图象可知，此函数是减函数，当 y=3 时 x=1，
【难度】★★ 【答案】（1） x = 10 ； （2） x > 10 ； （3） x < 10 ； （4） 6 < x < 10 ． 【解析】（1）令 1 x - 3 = 2 ，解得： x = 10 ；
2 （2）令 1 x - 3 > 2 ，解得： x > 10 ；
2 （3）令 1 x - 3 < 2 ，解得： x < 10 ；
【点睛】本题考查的是一次函数的图象，能利用数形结合求出 x 的取值范围是解答此题的 关键．
例 4．如图，一次函数 y = kx + b ，当函数值 y £ 2 时， x 的取值范围是________．
【答案】x≤0 【分析】根据函数图像即可求解．
【详解】由图可知，当当函数值 y £ 2 时，x≤0
第 2 讲 一次函数的图像及性质
模块一：一次函数与不等式 知识精讲
1、 一元一次方程与一次函数 （1） 对于一次函数 m ，由它的函数值 y = 0 就得到关于 x 的一元一次方程 kx + b = 0 ，解这个方程得 x = - b ，于是可以知道一次函数 m 的图像与 x 轴的 k 交点坐标为 (- b ，0) ； k （2） 若已知一次函数 m 的图像与 x 轴的交点坐标，也可以知道这个交点的横坐标 x = - b ，其就是一元一次方程 kx + b = 0 的根． k
ìax + b > 4 （1）求解不等式组： íîmx + n £ 4 ；
（2）求解方程组：
ì y -b íîmx =
= ax y-n
；
（3）求解不等式： ax + b £ mx + n ．
y y=mx+n 4 (3,4)
y=ax+b
x O
【难度】★★★
【答案】（1）
x
>
3
；（2）
ìx
í î
y
= =
3 4
；
（3） x £ 3 ．
【解析】由一次函数与方程不等式的关系得：
（1）由 ax + b > 4 可得： x > 3 ；由 mx + n £ 4 可得： x ³ 3 ； ∴ x >3；
ì y - b = ax
ìx = 3
（2） íîmx
=
y
-
n
的解即为两条直线交点坐标，即：
í î
y
=
4
；
（3） ax + b £ mx + n 解集为 y = ax + b 在 y = mx + n 上方时 x 的范围，即 x £ 3 ． 【总结】本题考察了一次函数与方程及不等式的关系，主要是根据图像进行求解．
2、 一次函数图像的位置情况： 直线 y = kx + b （ k ¹ 0 ， b ¹ 0 ）过 (0,b) 且与直线 y = kx 平行，由直线 y = kx 在平 面直角坐标系内的位置情况可知：（要用图像的平移推导可得） 当 k > 0 ，且 b > 0 时，直线 y = kx + b 经过一、二、三象限； 当 k > 0 ，且 b < 0 时，直线 y = kx + b 经过一、三、四象限； 当 k < 0 ，且 b > 0 时，直线 y = kx + b 经过一、二、四象限； 当 k < 0 ，且 b < 0 时，直线 y = kx + b 经过二、三、四象限． 把上述条件反过来叙述，也是正确的．
（1）求 m 的取值范围； （2）其函数图像经过那些象限?
【难度】★ 【答案】（1） m > 3 ； （2）经过一、二、四象限．
2 【解析】（1）由已知得： 3 - 2m < 0 ，解得： m > 3 ；
2
（2）此时 m + 1 > 0 ，一次函数经过一、二、四象限． 【总结】本题考察了一次函数的性质及图像所过的象限． 例 3.已知点 A(a ，-1) 和 B(b ，4) 在函数 y = - 1 x + m 的图像上，试比较 a 与 b 的大小．
【点睛】本题主要考查一次函数和一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此 类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
例 6．如图，已知一次函数 y = kx + b 的图象经过点 A2,1 ，当 x __________时， y > 1 ．
【答案】＜2 【分析】直接根据一次函数的图象的增减性即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数 y＝kx＋b 的图象经过点 A（2，1）， ∴当 y＝1 时，x＝2． ∵由图像可知，y 随 x 的增大而减小， ∴当 y＞1 时，x＜2． 故答案为：x＜2． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，能利用函数图象的增减性直接得出 不等式的解集是解答此题的关键． 例 7.已知一次函数经过 A(2 ，0) 和 B(1，- 3) ，在直角坐标系中画出函数图像且求在这个一次 函数图像上且位于 x 轴上方所有点的横坐标的取值范围． 【难度】★ 【答案】图像如图， x > 2 ．
【总以通过函数图像求解．
例 11.已知方程 ax - 2 = 0(a > 0) 的解为 x = 4 ， （1）求出函数 y = ax - 2 与 x 轴的交点坐标； （2）解不等式 ax - 2 ³ 0 ．
【难度】★★ 【答案】（1）（4，0）； （2） x ³ 4 ． 【解析】由一次函数与方程不等式的关系得：