导数与极值

当a=2,b=9时,f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3).
当x∈(-3,-1)时,f(x)为减函数;当x∈(-1,+∞)时, f(x)为增函数,
所以f(x)在x=-1时取得极小值,因此a=2,b=9.
【规律总结】 1.求参数值:利用函数的极值确定参数的值,常根据极
值点处导数为0和极值两个条件列方程组,利用待定系
(2)函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附 近其他点的函数值都大, 则b叫做极大值点,f(Байду номын сангаас) f′(b)=0 叫做函数y=f(x)的极大值. 其中_________,在点x=b f′(x)>0 附近的左侧 _________,右侧_________, f′(x)<0
【练习】 1.函数y=f(x)的导数y′与函数值和极值之间的关系为
【解析】因为在点x2左侧导数图象在x轴上方,导数为 正,在点x2右侧附近导数图象在x轴下方,导数为负,故
点x2为极大值点,因为在点x4左侧导数图象在x轴下方,
导数为负,在点x4右侧附近导数图象在x轴上方,导数为 正,故点x4为极小值点.
答案:x2 x4
【注意事项】 1.函数的极值可以在区间端点处取得吗? 提示:不可,因为在端点处不能反映两侧的函数值的变 化情况,况且端点处的导数不一定为0.
书本P38
【题型探究】 类型一:求函数的极值
书本P39例题2
【规律总结】求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)定区间求导:确定函数的定义域,求导数f′(x). (2)解方程:求方程f′(x)=0的根. (3)列表:用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若
干个小开区间,并列成表格.
(4) 判断:检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号, 如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果
值27,当x=1时,f(x)有极小值-5.
【巩固训练】函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3 时取得极值,则a=________.
【解析】因为f′(x)=3x2+2ax+3,又f(x)在x=-3时取得
极值, 所以f′(-3)=30-6a=0,则a=5.
答案:5
类型三:函数极值的综合应用 【典例3】(1)函数f(x)=xex在其极值点处的切线方程
2.三次函数单调性与极值(设x1<x2) (1)当Δ≤0时,①若a>0,则f(x)在R上是增函数;
②若a<0,则f(x)在R上是减函数.
(2)当Δ>0时,①若a>0,则f(x)的增区间为(-∞,x1)和 (x2,+∞),减区间为(x1,x2),f(x1)为极大值,f(x2)为极
小值;②若a<0,则f(x)的减区间为(-∞,x1)和(x2,+∞),
x x
x 3 x 1
x2
. 令f′(x)=0,得x=1.
当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (0,1) ↘ 1 0 3 (1,+∞) + ↗
因此当x=1时,f(x)有极小值f(1)=3.
类型二:利用函数极值求参数的值 同p21例题4
类型二:利用函数极值求参数的值 【典例2】(1)(2016·四川高考)已知a为函数f(x)=x3-
【解析】函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有 三个不同的交点,即函数φ(x)=g(x)-f(x)的图象与x轴
的正半轴有且只有三个不同的交点.
因为φ(x)=x2-8x+6ln x+m,
6 2x 2 8x 6 2 x 1 x 3 (x＞0)， 所以φ′(x)= 2x 8 x x x
12x的极小值点,则a=
A.-4 B. -2
(
)
C.4 D.2
(2)已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0,求常数
a,b的值.
【解题指南】(1)求出f′(x),解出方程f′(x)=0的根, 再根据不等式f′ (x)>0,f′(x)<0的解集得出函数的
极值点.
(2)利用函数在点x=-1有极值0得出条件,极值点处的导 数为0,取极值的点的坐标满足函数列出条件.
y=f(x)的图象有三个不同交点,利用数形结合求出m的 范围.
【解析】(1)f′(x)=ex+xex=ex(1+x), 令f′(x)=0得x=-1.易判断x=-1为极值点,
因为f(-1)=-e-1= 1 ,
e 1 .因为切线斜率为0, 所以切点为 (1， ) e
所以所求得切线方程为y= 1 .
f′(x)>0.
3.函数在点x=b处的情况呢? 提示:函数在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其
他点的函数值都大,f′(b)=0,且在点x=b附近的左侧
f′(x)>0,右侧f′(x)<0.
通过以上问题的探究,你能得到什么结论? 用文字语言描述:函数在图象拐弯处的导数值等于0,且
在该处左右两侧的导数值异号时取得极值.
(
)
A.导数y′由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值
B.导数y′由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值
C.导数y′由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值 D.导数y′由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值
【解析】选D.由导数y′与函数值的变化情况以及极值 之间的关系,可知选项D正确.
2.如图是导函数y=f′(x)的图象,函数y=f(x)的极大值 点是________,极小值点是________.
呢?
【解析】由例(2)解析可知:当m=-3或m=1时,直线y=m与 y=f(x)的图象有两个不同的交点;
当m<-3或m>1时,直线y=m与y=f(x)的图象只有一个交点.
2.(变换条件)若本例(2)中条件改为“已知函数f(x)= -x3+ax2-4在x= 4 处取得极值”,其他条件不变,求m的
3
由表知:当x=-2时,y极大值=-8; 当x=2时,y极小值=8.
2.设函数f(x)=x3+ax2-9x的导函数为f′(x),且 f′(2)=15.(1)求函数f(x)的图象在x=0处的切线方
程.(2)求函数f(x)的极值.
【解析】(1)因为f′(x)=3x2+2ax-9, 因为f′(2)=15,所以12+4a-9=15, 所以a=3.所以f(x)=x3+3x2-9x, 所以f′(x)=3x2+6x-9, 所以f(0)=0,f′(0)=-9, 所以函数在x=0处的切线方程为y=-9x.
答案:y= 1
e
e
(2)因为f(x)在x=-1处取得极值, 所以f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,所以a=1.
所以f(x)=x3-3x-1,f′(x)=3x2-3,
由f′(x)=0解得x1=-1,x2=1. 当x<-1时,f′(x)>0;
当-1<x<1时,f′(x)<0;
当x>1时,f′(x)>0. 所以由f(x)的单调性可知,f(x)在x=-1处取得极大值
左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右
不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值.
3 练习：求函数f(x)= +3ln x的极值. x
【解题指南】首先确定函数的定义域,再对函数求导,
解导数方程,判断方程根左右两侧的符号,求极值.
【解析】函数f(x)= 3 +3ln x的定义域为(0,+∞), f′(x)= 3 3 2
f′(x)
f(x)
↘
0
-4
+
↗ -
0
76 27
↘
因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,
76 所以m的取值范围是 (4， ). 27
【规律总结】 1.三次函数有极值的充要条件
三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有极值⇔导函数
f′(x)=3ax2+2bx+c=0的判别式Δ=4b2-12ac>0.
x
φ′(x) φ(x)
(0,1)
+ ↗
1
f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.
作出f(x)的大致图象如图所示:
因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点, 结合f(x)的图象可知,m的取值范围是(-3,1).
【延伸探究】 1.(变换条件,改变问法)若本例(2)“三个不同的交点”
改为“两个不同的交点”结果如何?改为“一个交点”
1.3.2
函数的极值与导数
一、函数极值的概念及求法 观察图象回答下面问题
1.函数在点x=a的函数值与这点附近的函数值有什么大 小关系?
提示:函数在点x=a的函数值比它在点x=a附近的其他点
的函数值都小.
2.f′(a)等于多少?在点x=a附近,函数的导数的符号有 什么规律?
提示:f′(a)=0,在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧
数法求解.
2.检验:因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”
的充要条件,所以利用待定系数法求解后,必须验证根 的合理性.
【巩固训练】1.求函数y=2x+ 8 的极值.
x
【解析】函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
y′=2- 82 ,令y′=0,得x=±2.
x
当x变化时,y′,y的变化情况如下表: x (-∞,-2) -2 (-2,0) (0,2) 2 (2,+∞) y′ + 0 0 + y 单调递增 -8 单调递减 单调递减 8 单调递增
增区间为(x1,x2),f(x1)为极小值,f(x2)为极大值.(如 图所示) Δ>0 a>0 Δ≤0
a<0
【补偿训练】已知函数f(x)=-x2+8x,g(x)=6ln x+m.是 否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且
只有三个不同的交点?若存在,求出m的取值范围;若不
存在,说明理由.
为__________.
(2)已知函数f(x)=x3-3ax-1(a≠0).若函数f(x)在x=-1 处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交
点,求m的取值范围.
【解题指南】(1)先求出极值,再求出切点坐标,然后利 用导数求出切线斜率,最后得切线方程.
(2)先由已知条件求出a值,确定f(x),再由直线y=m与
2.当f′(x0)=0时,x=x0是否一定为y=f(x)的极值点? 提示:不一定,只有同时满足x0左右导数符号不一致时 才称x0为极值点. 3.函数的极大值一定大于极小值吗? 提示:不一定,极值刻画的是函数的局部性质,反映了函 数在某一点附近的大小情况,极大值可能比极小值还小.
书本P39例题1
二、如何求函数的极值?
f 1 0, 3 6a b 0, 所以 即 2 1 3a b a 0. f 1 0
a 1, a 2， 解之得 或 b 3 b 9.
当a=1,b=3时,f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0, 所以f(x)在R上为增函数,无极值,故舍去.
(2)令f′(x)=0,得x=-3或x=1.当x变化时,f(x)与f′(x) 的变化情况如下表: x (-∞,-3) -3 (-3,1) 1 (1,+∞)
f′(x) f(x)
+ 单调递增
0 27
-
0
+
单调递减 -5 单调递增
即函数f(x)在(-∞,-3)上单调递增,在(-3,1)上单调递 减,在(1,+∞)上单调递增,所以当x=-3时,f(x)有极大
取值范围.
4 【解析】由题意可得f′(x)=-3x2+2ax,由f′ ( ) =0, 3
可得a=2,所以f(x)=-x3+2x2-4,
则f′(x)=-3x2+4x.
令f′(x)=0,得x=0或x= 4 ,
3
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表
x
(-∞,0)
0
4 (0， ) 3
4 3
4 ( ， ) 3
用图形语言描述:
极大(小)值的概念: (1)函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附
近其他点的函数值都小,则a叫做极小值点,f(a)
f′(a)=0 叫做函数y=f(x)的极小值.其中_________,在点x=a附近的 f′(x)>0 f′(x)<0 右侧_________, 左侧_________,
【解析】(1)选D. f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2) ,令 f′(x)=0,得x=-2或x=2,易知f(x)在(-2,2)上单调递减,
在 (2, ) 上单调递增,故f(x)的极小值为f(2),所以a=2.
(2)因为f(x)在x=-1时有极值0, 且f′(x)=3x2+6ax+b,