高中数学 专题1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(2)练习(含解析)新人教A版选修22

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（2）

1. 下列结论不正确的是( )

A ．若y ＝3，则y ′＝0

B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3

C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－1

2x ＋1

D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x

【答案】 D

2. 已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( )

A ．(－2，－8)

B ．(－1，－1)或(1,1)

C ．(2,8)

D ．(－12，－18) 【答案】 B

【解析】 y ′＝3x 2，∵k ＝3，

∴3x 2＝3，∴x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．

3．若对任意x ∈R ，f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则f (x )＝( )

A ．x 4

B ．x 4－2

C ．4x 3－5

D ．x 4＋2 【答案】 B

【解析】 ∵f ′(x )＝4x 3.∴f (x )＝x 4＋c ，又f (1)＝－1∴1＋c ＝－1，∴c ＝－2，∴f (x )＝x 4－2.

4．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )

A ．4x －y －3＝0

B ．x ＋4y －5＝0

C ．4x －y ＋3＝0

D ．x ＋4y ＋3＝0 【答案】 A

【解析】 ∵直线l 的斜率为4，而y ′＝4x 3，由y ′＝4得x ＝1而x ＝1时，y ＝x 4＝1，故直线l 的方程为：y －1＝4(x －1)即4x －y －3＝0. 5.已知物体的运动方程是s ＝14

t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( ) A ．0秒、2秒或4秒 B ．0秒、2秒或16秒

C ．2秒、8秒或16秒

D ．0秒、4秒或8秒

【答案】 D

【解析】 显然瞬时速度v ＝s ′＝t 3－12t 2＋32t ＝t (t 2－12t ＋32)，令v ＝0可得t ＝0,4,8.故选D.

6.若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )

A.π2

B ．0

C ．钝角

D ．锐角 【答案】 C

【解析】 y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4

)<0，故倾斜角为钝角，选C. 7．设f (x )＝x 3－3x 2

－9x ＋1，则不等式f ′(x )＜0的解集为________．

【答案】 (－1,3)

【解析】 f ′(x )＝3x 2－6x －9，由f ′(x )＜0得3x 2－6x －9＜0，∴x 2－2x －3＜0，∴－1＜x ＜3.

8．已知函数f (x )＝ax ＋b e x 图象上在点P (－1,2)处的切线与直线y ＝－3x 平行，则函数f (x )的解析式是____________．

【答案】 f (x )＝－52x －12e x ＋1

9．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2.直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程． 【解析】 设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．

对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即y ＝2x 1x －x 21.①

对于C 2：y ′＝－2(x －2)，与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)，

即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4.

② ∵两切线重合，∴2x 1＝－2(x 2－2)且－x 21＝x 22－4，

解得x 1＝0，x 2＝2或x 1＝2，x 2＝0.

∴直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.

10．求满足下列条件的函数f (x )：

(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0；

(2)f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1.

【解析】 (1)设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c

由f (0)＝3，可知d ＝3，由f ′(0)＝0可知c ＝0，

由f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0

可建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3a ＋2b ＝－3f ′(2)＝12a ＋4b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝－3，所以f (x )＝x 3－3x 2

＋3.

(2)由f ′(x )是一次函数可知f (x )是二次函数，

则可设f (x )＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0) f ′(x )＝2ax ＋b ，把f (x )和f ′(x )代入方程，得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1 整理得(a －b )x 2

＋(b －2c )x ＋c ＝1 若想对任意x 方程都成立，则需⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝0b －2c ＝0

c ＝1

解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝2c ＝1， 所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.