谈谈资金时间价值中年金终值与现值的计算

谈谈资金时间价值中年金终值与现值的
计算
【摘要】
年金是资金时间价值中的一个重要概念，在《财务管理》、《管理会计》、《资产评估》等学科中都有广泛的应用。

年金有普通年金、先付年金、递延年金
和永续年金之分。

本文就普通年金的终值系数与复利终值系数，普通年金的现值
系数与复利现值系数，普通年金的终值、现值与先付年金的终值、现值，普通年
金的现值与递延年金、永续年金的现值，它们之间的相互关系，从公式的推导并
结合图示进行深入比较和分析，得出它们之间六个方面相互关系的结论，为初学
者熟练掌握和理解这方面的知识有一定帮助。

【关键词】普通年金先付年金递延年金永续年金
《财务管理》和《管理会计》学科中，都谈到资金时间价值的计算，正确理
解和掌握那部分知识，是学好长期投资决策、资产评估的关键。

我们知道反映资
金时间价值量的指标有单利终值与现值、复利终值与现值、年金终值与现值三种。

“终值”是指在若干期以后包括本金和利息在内的未来价值，又称本利和；“现值”是指货币现在的价值，即现在收款或付款的价值（如本金）；“单利”是指
每期都按原始本金进行计算利息；“复利”是指不仅本金要计算利息，利息也要
计算利息，即通常所说“利上滚利”。

计算资金时间价值时一般都按复利方式进
行计算。

假设用P表示现值，F表示终值，n表示期数，表示单位利率（下同），则：复利终值，复利现值，我们把称为复利
终值系数，称为复利现值系数。

年金是指在一定时期内每间隔相同时间就发生相同数额系列收付款。

如：折旧、保险金、养老金、按揭贷款等。

年金必须满足二个条件：（1）每期系列收
付款时间间隔相同，（2）每期系列收付款金额要相等。

必须同时符合这两个条
件才能称为年金。

年金又包括普通年金、先付年金、递延年金和永续年金等几种
形式，其中普通年金应用最多，其他几种年金均可通过普通年金进行推算。

现行职业中专学生使用的《财务管理》和高职版《管理会计》的教材中，对
各类年金终值与现值的计算，只有相应的公式，没有其公式的推导过程，更没有
进行归纳各个公式之间的内在联系，使学生面对大量抽象的公式和符号难以理解，产生畏难情绪。

这里谈谈我在传授这方面知识时所采用的教学方法。

一、普通年金终值的计算
凡在每期期末发生系列等额收付款，称为普通年金。

而年金终值是指一定时期内每期期末等额收、付款项的复
利终值之和。

用A表示年金，n表示期数，i为单位利率表示普通年金终值。

如下图所示：
（下同），用F
A
=A(1+i)0+A(1+i)+(1+i)2+…+A(1+i)n-1
年金终值F
A
=A[(1+i)0+(1+i)1+(1+i)2+…+(1+i)n-1]
上式根据等比数列求和公式得：
F
=A·
A
为复利终值系数，上式年金终值
公式中复利终值系数-1/称为年金终值系数，从年金终值推导过程看，年
金终值是在复利终值的基础上计算出来的，年金终值是各期的复利终值之和，且
年金终值系数与复利终值系数之间存在一定关系，即：年金终值系数=复利终值
系数-1/单位利率，在具体运用中已知复利终值系数，就可通过这一关系式求出
年金终值系数。

二、普通年金现值的计算
普通年金现值是指一定时期内每期期末等额收、付款项的复利现值之和。

用P
A
表示普通年金现值。

如下图所示：
则：
=
同理根据等比数列求和可得：
=
其中为复利现值系数，上式年金现值P
A
=
从公式中1-复利现值系数/称为年金现值系数，年金现值推导过程看，我们同样可以看出，年金现值是在复利现值的基础上推算出来的，年金现值是各期复利现值之和，年金现值系数与复利现值系数之间同样存在一定关系，即：年金现值系数=1-复利现值系数/单位利率，已知复利现值系数就可通过这一关系式简便求出年金现值系数。

三、先付年金终值与现值的计算
在一定时期内，每期期初发生系列等额收付款称为先付年金。

用F
A
′表示先
付年金终值，P
A ′表示先付年金现值。

期先付年金终值F
A
′和期普通年金终
值F
A
之间关系可以用下图表示：
从上图可看出先付年金终值与普通年金终值一的区别仅在于收付款的时间不同，
普通年金终值是每期的期末发生系列收付款，而先付年金终值是在每期的期初发
生系列收付款，由于付款时间不同，先付年金各期发生的收付款A乘上（），就换算为普通年金。

有：F
A
′=，其中为先付年金终值系数。

我们可以得出结论：先付年金终值系数=普通年金终值系数（1+单位利率）。

同理先付年金现值P
A ′与期普通年金P
A
之间关系，可以用下图表示：
从上图同样可以看出，将先付年金每期发生系列收付款A，依次多贴现一期利率，即是将先付年金A乘（），就可换算为普通年金。

有：P
A
′=，其中为先付年金现值系数。

我们同样可以得出结论：先付年金现值系数=普通年金现值系数·（1+单位
利率）
四、递延年金现值计算
递延年金是指在一定期间（如n期）内，间隔
了S期以后才发生系列等额收、付款的一种年金形
式。

显然递延年金的现值（我们用P
A
″表示）等于
期数分别n和s两个普通年金现值的差额。

如下图所示：
即：P
A
″=
=
即：递延年金现值系数=总期数的普通年金现值系数与递延期的普通年金现值系数的差额。

五、永续年金现值的计算
永续年金是指无期限（即n→时）的普通年金。

如每期等额收取的土地租金，无期限债券每期收取的利息都可视为永续年金。

由于永续年金没有终点，因此永续年金没有终值，只能计算其现值。

P
·=A·
A
即：永续年金系数=1/单位利率
综上所述各类年金系数之间我们可以得出如下关系：
1、普通年金终值系数=复利终值系数-1/单位利率
2、普通年金现值系数=1-复利现值系数/单位利率
3、先付年金终值系数=普通年金终值系数（1+单位利率）
4、先付年金现值系数=普通年金现值系数（1+单位利率）
5、递延年金现值系数=总期数（n期）的普通年金现值系数-递延期（s期）的普通年金现值系数
6、永续年金系数=1/单位利率
多年来，我在传授资金时间价值中各类年金终值与现值的计算时，注重其公式的推导，结合图示，使学生对这一部分知识有直观的认识，并对各类年金系数之间的相互关系作出归纳和总结，对教材的内容作了进一步的补充，弥补了这方面的不足，使学生能够真正理解这一部分知识，熟练掌握各类年金的计算，起到较明显的效果。

为将来学好长期投资决策和资产评估这部分知识打下坚实基础。

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