现代控制理论课件2

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二、从系统的机理出发建立状态空间表达式
例1、求图示机械系统的状态空间表达式
外力 u(t)
K ---弹性系数 m
牛顿力学定律 my u by ky
阻 尼 系 数
y(t) b
位移 令
b u(t ) ky m y y
x1 y
x2 y
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动态方程如下
x1 x2
x1 y 1 0 x2
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例：设有如图所示的机 械系统。它由两个彼 此耦合的平台构成。 并借助于弹簧和阻尼 到达地基。试选择合 适的状态变量，写出 该系统的状态空间模 型。
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解答：依题意，进行受力分析，可得如下的微分方程：
M1y1 = u -k1 (y1 - y 2 )-f1 (y1 - y 2 ) M2y 2 = k1 (y1 - y 2 ) + f1 (y1 - y 2 )-k 2y 2 -f 2y 2
其中： a11 a12 a1n a a22 a2 n 21 A — 系统内部状态的联系， an1 an 2 ann
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称为系统矩阵 , 为n n方阵；
多输入——多输出定常系统： 用向量矩阵表示时的状态空间表达式为：
Ax Bu x y Cx Du
其状态变量为： x1 , x2 ,, xn , 则状态方程的一般形式 为：
1 a11x1 a12 x2 a1n xn b11u1 b12u2 b1r ur x 2 a21x1 a22 x2 a2 n xn b21u1 b22u2 b2 r ur x n an1 x1 an 2 x2 ann xn bn1u1 bn 2u2 bnr ur x
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多输入——多输出定常系统：r个输入、m个输出
输出方程形式如下：
y1 c11x1 c12 x2 c1n xn d11u1 d12u2 d1r ur y2 c21x1 c22 x2 c2 n xn d 21u1 d 22u2 d 2 r ur ym cm1 x1 cm 2 x2 cmn xn d m1u1 d m 2u2 d mr ur
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多输入——多输出定常系统：
用向量矩阵表示时的状态空间表达式为：
Ax Bu x y Cx Du
其中：
d11 d12 d1r d d 22 d 2 r 21 D — 为m r直接传递矩阵； d m1 d m 2 d mr
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例1：系统框图如图所示，输入为u，输出为y。 试求其状态空间表达式。
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K3 x1 x2 T3 K2 1 x2 x2 x3 T2 T2 K1 K 4 K1 1 x3 x1 x3 u T1 T1 T1 y x1
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写成矩阵形式，系统的状态空间表达式为：
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由上述三式，可列动态方程如下：
x1 0 0 1 x1 0 x 2 3 0 x 2 u 2 2 0 2 3 0 x3 x3 x1 y x1 1 0 0 x 2 x3 状态变量图如下：
用向量矩阵表示时的状态空间表达式为：
Ax bu x y C x
T
其中： a11 a12 a1n a a a 21 22 2n A — 系 统 内 部 状 态 的 联 系 ， a n1 a n 2 a nn
称 为 系 统 矩 阵 , 为n n方 阵 ；
0 0 x K1 K 4 T1 y 1 0 K3 T3 1 T2 0 0x 0 K2 T2 1 T1 0 x 0 u K 1 T1
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2.已知系统结构图如图所示,其状态变量为 x1 , x2 , x3 。 试求动态方程，并画出状态变量图。
控制系统的状态空间分析与综合
矩阵不满秩，该系统不可控。 弹簧和木块，因为在整个系统中弹簧和木块
可以储存系统的总机械能，其中木块表现为 动能，弹簧表现为势能，而阻尼器则把系统 的能量转化为别的能量，如热能耗散，所以 阻尼器不是储能元件
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第一章 控制系统的状态空间 表达式 （数学模型）
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1.1
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单输入——单输出定常系统： 用向量矩阵表示时的状态空间表达式为：
Ax bu x y C x
T
其中： b1 b b 2 — 输入对状态的作用，称 为输入矩阵 bn 或控制矩阵，这里为 n 1的列阵；
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多输入——多输出定常系统：r个输入、m个输出
其中：
u1 u 2 u — r维输入向量 ur
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多输入——多输出定常系统： 用向量矩阵表示时的状态空间表达式为：
Ax Bu x y Cx Du
其中：
y1 y 2 y — m维输出向量 ym
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多输入——多输出定常系统： 用向量矩阵表示时的状态空间表达式为：
Ax Bu x y Cx Du
其中：
x1 x 2 x — n维状态向量； xn
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多输入——多输出定常系统：
用向量矩阵表示时的状态空间表达式为：
Ax Bu x y Cx Du
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多输入——多输出定常系统：
用向量矩阵表示时的状态空间表达式为：
Ax Bu x y Cx Du
其中：
c11 c12 c1n c c22 c2 n 21 C — 为m n输出矩阵； cm1 cm 2 cmn
duc c i dt di L Ri uc u dt
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六、输出方程 在指定系统输出的情况下，该输出与状态 变量间的函数关系式，称为系统的输出方 程。 七、状态空间表达式 状态方程和输出方程总合起来，构成对一 个系统完整的动态描述，成为系统的状态 空间表达式。
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状态变量的选取： 1、同一系统可以取不同的状态变量； 2、状态变量的选取是非唯一的； 3、系统状态变量的数目是唯一的。
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例1:设一阶系统状态方程为 x ax bu
则其状态图为:
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例2
设三阶系统状态空间表达式为
x1 x2 x2 x3 x3 6 x1 3x2 2 x3 u y x1 x3
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则其状态图为
u
x3
x2
x1
y
+
++
2 3 6
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1-3 状态空间表达式的建立（一）
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单输入——单输出定常系统：
其状态变量为： x1 , x2 ,, xn , 则状态方程的一般形式 为：
1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1u x 2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2u x n an1 x1 an 2 x2 ann xn bnu x
12111211212121212122222221111111rrcxxxurrcrcrcxxxurcrcrcyuux???????????????????????11rrc?????4912121121211112222222211111rrcrcrrcrcxxuxxrcrcrc??????????????????????????????????????????????11210xyux??????????已知系统结构图如图所示其状态变量为x1x2
基本元件
x(t )

∫
x(t )
x1 (t )
x3 (t )
x
K
Kx
x 2 (t )
a—积分器
b—加法器
c—比例器
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模拟结构图的绘制步骤：
积分器的数目应等于状态变量数，将它们画
在适当的位置，每个积分器的输出表示相应 的某个状态变量，然后根据所给的状态方程 和输出方程，画出相应的加法器和比例器， 最后用箭头将这些元件连接起来。
k b 1 x2 y y y u (t ) m m m


k b 1 x1 x2 u (t ) m m m
y x1
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状态空间表达式为：
x 1 x 2
0 1 k b m m
x1 0 x 1 u 2 m
三个途径：
1、系统方块图 2、物理或化学机理 3、从微分方程或传递函数得到
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一、从系统方块图出发建立状态空间表达式
方法：
将系统方块图中的各个环节变换成模拟结构 图，并把每个积分器的输出作为一个状态变 i ，然后，由模拟 量 xi , 其输入便是相应的 x 图直接写出系统的状态方程和输出方程。
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三、状态向量 把n个状态变量x1 (t )、x2 (t )、 xn (t ) 看作为向 量 x(t ) 的分量，则 x(t ) 就称为状态向量。记 作：
x1 (t ) x (t ) 2 T x(t ) 或x (t ) x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ) xn (t )
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八、状态空间表达式的系统方块图
Ax bu x y C x
T
Ax Bu x y Cx Du
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u
b

x

A
x
C
T
y
Ax bu x y C x
T
D
u
B
x

A

x
C

y
Ax Bu x y Cx Du
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1-2 状态空间表达式的模拟结构图
输出方程形式如下：
y c1 x1 c2 x2 cn xn
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单输入——单输出定常系统：
用向量矩阵表示时的状态空间表达式为：
Ax bu x y CT x
其中：
x1 x 2 x — n维状态向量； xn
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单输入——单输出定常系统：
状态变量及状态空间表达式
一、状态 表征系统运动的信息和行为。 二、状态变量 足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组 变量为状态变量。
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注意： 1、n阶系统有n个独立变量。 2、状态变量的个数取决于系统中独立储能元 件的个数。 3、同一个系统，究竟选取哪些变量作为独立 变量，不是唯一的，重要的是这些变量应该 是相互独立的，且其个数应等于微分方程的 阶数。
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四、状态空间 xn 为坐标轴所构成的n 以状态变量 x1、x2、 维空间，称为状态空间。 五、状态方程 由系统的状态变量构成的一阶微分方程组 称为系统的状态方程。
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例如：通过R-L-C网络说明如何用状态变 量描述系统。 以 uc、i 作为系统的两个状态变量，易写 出含有状态变量的一阶微分方程组：
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多输入——多输出定常系统： 用向量矩阵表示时的状态空间表达式为：
Aห้องสมุดไป่ตู้ Bu x y Cx Du
其中：
b11 b12 b1r b b22 b2 r 21 B — 为n r输入（或控制）矩阵； bn1 bn 2 bnr
解：由结构图可得:
x1 2 1 x 1 2x 2 2x 3 s 2 x1 sx1 2x 2 2x 3 即 x x x s ( s 1 ) 3 2 x3 1 x3 s sx1 x 3 即x x1 x2 2 2 2x1 3x 2 2u sx2 2x1 3x 2 2u 即 x u x1 s 3
令
x1 = y1 x2 = y1 x3 = y2 x4 = y2
x1 = x2 x = - k 1 x - f1 x + k 1 x + f1 x + 1 u 2 1 2 3 4 M M M M M1 1 1 1 1 x 3 = x4 k1 f1 k1 + k 2 f1 + f 2 x1 + x2 x3 x4 x4 = M2 M2 M2 M2