高中数学第一章 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义-4.2 单位圆与周期性

则 r＝ a2＋ 3a2＝2|a|(a≠0). 若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，
所以 sin α＝ 23aa＝ 23， cos α＝2aa＝12.
若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，
所以 sin α＝－32aa＝－ 23，cos α＝－2aa＝－12.
解答
类型二 正弦、余弦函数值符号的判断
本课结束
(2)一般地，如果f(x＋a)＝－f(x)，那么f(x)的周期为2a(a≠0)；如果f(x＋a)
1 ＝fx
，那么f(x)的周期也为2a(a≠0).
跟踪训练4 若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(x－a)＋f(x＋a)(a<0)，f(2a)＝1，
求f(14a)的值.
解 由f(x)＝f(x－a)＋f(x＋a)，
梳理
(1)对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合， 终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，那么点P的 纵坐标v 定义为角α的正弦 函数，记作 v＝sin α；点P的 横坐标u定义为角α的余弦函数，记作u＝cos α. (2)对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦 函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数.
√B.0
C.－1
D.－3
解析 ∵f(x)是以1为一个周期的函数，
∴k∈Z也是f(x)的周期. ∴f(x－k)＝f(x)，故 f(72)＝f(72－4)， 从而 f(72)＝f(－12). 又当x∈(－1， 0)时，f(x)＝2x＋1，
∴f(72)＝f(－12)＝2×(－12)＋1＝0.
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解析 答案
题型探究
类型一 正弦函数、余弦函数定义的应用
命题角度1 已知角α终边上一点坐标求三角函数值
例1
已知θ终边上一点P(x，
3)(x≠0)，且cos
θ＝
10 10
x，求sin
θ的值.
解答
反思与感悟
(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法 ①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数 的定义求出相应的三角函数值. ②在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝yr ， cos α＝xr .当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便. (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对 参数进行分类讨论.
答案
ห้องสมุดไป่ตู้ 梳理
一般地，对于函数f(x)，如果存在 非零实数T，对定义域内的_任__意__一___个_ x值，都有 f(x＋T)＝f(x) ，我们就把f(x)称为周期函数， T 称为这个函数的 周期. 特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2kπ(k∈Z，k≠0)为正弦函 数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中 最小 的一 个，称为 最小正周期 ，简称为周期.
解析 答案
类型三 周期性 例4 (1)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x＋2)＝－f(x)，求证：函数f(x) 是以4为周期的周期函数； 证明 ∵f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2) ＝－[－f(x)]＝f(x)， ∴由周期函数定义知，函数f(x)是以4为周期的周期函数.
证明
(2)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x＋2)＝－
B.0
√C.2
D.－2
解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0.
∴|ssiinn αα|－|ccooss αα|＝ssiinn αα－－cocsosαα＝2.
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解析 答案
3.设f(x)是以1为一个周期的函数，且当x∈(－1，0)时，f(x)＝2x＋1，则
f(
7 2
)的值为
A.2
例3 (1)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析 ∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴点P在第四象限，故选D.
解析 答案
(2)判断下列各式的符号. ①sin 145°cos(－210°)； 解 ∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0， ∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0.
①
得f(x＋a)＝f(x)＋f(x＋2a).
②
①＋②，得f(x－a)＋f(x＋2a)＝0，
即f(x－a)＝－f(x＋2a)，
∴f(x)＝－f(x＋3a)，
即f(x＋3a)＝－f(x)，
∴f(x＋6a)＝－f(x＋3a)＝f(x).
∴T＝6a为函数y＝f(x)的一个周期，
∴f(14a)＝f(6a×2＋2a)＝f(2a)＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限， sin α＝－45aa＝－45，cos α＝－ －35aa＝35，
∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.
解答
命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值 3
例2 已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋cos α 的值.
解答
反思与感悟
1 fx
，求证：函数f(x)以
4为周期的周期函数.
证明 ∵f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－fx＋1 2＝－－1f1x＝f(x)，
∴由周期函数定义知，函数f(x)是以4为周期的周期函数.
证明
反思与感悟
(1)证明函数是周期函数，只需根据定义：存在非零常数T，对任意定义
域内实数x，都有f(x＋T)＝f(x).
在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所
以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a，b)，则
对应角的三角函数值分别为sin α＝
b a2＋b2
，cos
α＝
a a2＋b2 .
跟踪训练2 已知角α的终边在直线y＝ 3 x上，求sin α，cos α的值. 解 因为角 α 的终边在直线 y＝ 3x 上， 所以可设 P(a， 3a)(a≠0)为角 α 终边上任意一点，
解答
当堂训练
1.已知角α的终边经过点(－4， 3)，则cos α等于
A.45
B.35
C.－35
√D.－45
解析 由题意可知x＝－4，y＝3，r＝5，
所以 cos α＝xr＝－45.故选 D.
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解析 答案
2.当α为第二象限角时，|ssiinn
αα |－
cos |cos
α α| 的值是
A.1
解答
②sin 3·cos 4. 解 ∵π2＜3＜π，π＜4＜32π，32π＜5＜2π， ∴sin 3＞0，cos 4＜0， ∴sin 3·cos 4<0.
解答
反思与感悟
准确确定正弦函数、余弦函数值中角所在象限是基础，准确记忆正弦函 数、余弦函数值在各象限的符号是解决这类问题的关键.
跟踪训练3 若三角形的两内角A，B，满足sin Acos B＜0，则此三角形必为 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上三种情况都有可能 解析 由题意知，A，B∈(0，π)， ∴sin A＞0，cos B＜0，∴B为钝角. 故选B.
思考1
角α的正弦、余弦分别等于什么？ 答案 sin α＝yr，cos α＝xr.
答案
思考2
对确定的锐角α，sin α，cos α的值是否随P点在终边上的位置的 改变而改变？ 答案 不会.
答案
思考3
若取|OP|＝1时，sin α，cos α的值怎样表示？ 答案 sin α＝y，cos α＝x.
答案
4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性
学习目标
1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义及其应用. 2.掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系. 3.理解周期函数的定义.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 任意角的正弦函数和余弦函数
使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非 负半轴重合，在终边上任取一点P，PM⊥x轴 于M，设P(x，y)，|OP|＝r.
知识点二 正弦、余弦函数的定义域
思考
对于任意角α，sin α，cos α都有意义吗？ 答案 由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有 意义.
答案
梳理
正弦函数、余弦函数的定义域 函数名 正弦函数 余弦函数
定义域 R R
知识点三 正弦、余弦函数值在各象限的符号
思考
根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦函数的值在各象限的 符号吗？ 答案 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个 任意角，它的终边与单位圆交于点P(u，v)，则sin α＝v，cos α＝u. 当α为第一象限角时，v>0，u>0，故sin α>0，cos α>0，同理可得 α在其他象限时三角函数值的符号.
4.点P(sin 2 016°，cos 2 016°)位于第 三 象限.
解析 ∵2 016°＝5×360°＋216°， ∴2 016°是第三象限角， 则sin 2 016°<0，cos 2 016°＜0.
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解析 答案
5.已知角α的终边在直线y＝2x上，求sin α＋cos α的值.
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解答
规律与方法
1.三角函数的定义是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其 内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在 终边上的位置无关这一关键点. 2.三角函数值的符号主要涉及开方、去绝对值等计算问题，同时也要注 意终边在坐标轴上的角的三角函数值情况，因角的终边经过的点决定了 三角函数值的符号，所以当点的位置不确定时注意进行讨论，体现了分 类讨论的思想. 3.正弦、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的三角函数值相等，作 用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函 数值.
答案
梳理 正弦、余弦函数在各象限的符号
象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
三角函数
sin α cos α
＋
＋
－
－
＋
－
－
＋
知识点四 周期函数
思考
由sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)可知函数值随着角的变化呈周期性变 化，你能说一下函数的变化周期吗？ 答案 2π，4π，6π，－2π，…等都是函数的周期.
跟踪训练1 已知角α的终边过点P(－3a， 4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值.
解 r＝ －3a2＋4a2＝5|a|.
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sin α＝yr＝54aa＝45，cos α＝xr＝－53aa＝－35， ∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.