正余弦定理习题及答案

正余弦定理基础练习题及答案
1．有关正弦定理的叙述：
①正弦定理仅适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③正弦定理仅适用于钝角三角形；④在给定三角形中，各边与它的对角的正弦的比为定值；⑤在△ABC 中，sin A
B
C ＝a b c .
其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
2．在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3
D.3
2
3．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，cos B ＝cos C ，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
4．在△ABC 中，已知a ：b ：c ＝4：3：5，则2sin A －sin B
sin C ＝________. 5．在△ABC 中，若tan A ＝1
3，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________. 6．在△ABC 中，若A ：B ：C ＝1：2：3，则a b c ＝________.
7．△ABC 三边各不相等，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a cos A ＝b cos B ，求a ＋b c 的
8．在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝1
3.
(1)求sin A ；
(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．
答案
1.解析 ①②③不正确，④⑤正确． 答案 B
2.解析 由正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ，即AC ＝BC ·sin B sin A ＝32×sin45°
sin60°＝2 3. 答案 B
3.解析 利用正弦定理及第一个等式，可得sin A ＝
32，A ＝π3，或2π
3
，但由第二个等式及B 与C 的范围，知B ＝C ，故△ABC 必为等腰三角形． 答案 B
4.解析 设a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝5k (k >0)，由正弦定理，得
2sin A －sin B sin C ＝2×4k －3k
5k ＝1. 答案 1
5.解析 ∵tan A ＝13，∴sin A ＝1
10
.
在△ABC 中，AB sin C ＝BC
sin A ， ∴AB ＝BC sin A ·sin C ＝10×12＝10
2. 答案
10
2
6.解析 由A ＋B ＋C ＝180°及A ：B ：C ＝1:2:3，知A ＝180°×16＝30°，B ＝180°×2
6＝60°，C ＝180°×36＝90°.
∴a ：b ：c ＝sin30°：sin60°：sin90°＝12：3
2：1＝1：3：2. 答案 1：3：2 取值范围．
7.解 ∵a cos A ＝b cos B ，∴sin A cos A ＝sin B cos B ，
∴sin2A ＝sin2B .
∵2A,2B ∈(0,2π)，∴2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π， ∴A ＝B ，或A ＋B ＝π2.
如果A ＝B ，那么a ＝b 不合题意，∴A ＋B ＝π
2. ∴a ＋b c ＝sin A ＋sin B
sin C ＝sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫A ＋π
4.
∵a ≠b ，C ＝π2，∴A ∈⎝⎛⎭
⎫0，π2，且A ≠π
4，
∴a ＋b
c ∈(1，2)．
8.解 (1)∵sin(C －A )＝1，－π<C －A <π，
∴C －A ＝π
2.
∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＋A ＋π
2＝π，
∴B ＝π2－2A ，∴sin B ＝sin ⎝⎛⎭
⎫π2－2A ＝cos2A ＝1
3.
∴1－2sin 2A ＝1
3. ∴sin 2A ＝13，∴sin A ＝3
3.
(2)由(1)知，A 为锐角，∴cos A ＝6
3， sin C ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A ＝cos A ＝6
3，
由正弦定理得AB ＝AC ·sin C
sin B ＝6·6
3
1
3＝6.
S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×6×6×3
3＝3 2.。