【北师大版】八年级下册数学：4.3《公式法》同步练习(含答案)
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解析：【解答】（1）25x2+10x+1=（5x+1）2；
（2）1-2b+b2=（b-1）2
（3）x2+4x+4=（x+2）2；
（4）4m2+（±12mn）+9n2=（2m±3n）2．
【分析】根据完全平方公式的特点因式分解即可知答案.
6.答案：7；
解析：【解答】∵a2+ （a+ ）2-2；又∵a+ =3， ∴a2+ 32-2=7，故答案是7.
【分析】根据平方差公式和完全平方公式的特点，分析各选项即可知答案.
10.答案：A；
解析：【解答】∵a+b=-3，ab=2，
∴（a-b）2=a2+b2-2ab=a2+b2+2ab-4ab=（a+b）2-4ab=（-3）2-4×2=9-8=1．故选A．
【分析】根据完全平方公式把（a-b）2化成（a+b）2-4ab的形式即可知答案.
[(x²+y²)-1]²=0（完全平方公式）
∴x²+y²=1（只有0的平方为0）
【分析】把（x2+y2）（x2+y2-2）+1化成(x²+y²)²-2(x²+y²)+1的形式，然后运用完全平方公式因式分解即可知答案.
4.答案：x=2;y=-3
解析：【解答】由x²+y²-4x+6y+13=0
得(x-A；
解析：【解答】(n+11)2-n2=(n+11+n)(n+11-n)=11(11+2n)，所以可以被11整除，故选A
【分析】运用平方差公式把(n+11)2-n2因式分解即可知答案.
12.答案：A.
解析：【解答】x²+y²－4x-2y+8=(x²－4x+4)+(y²-2y+1)+3=(x-2)2+(y-1)2+3≥3
不论x,y为任何实数,x²+y²－4x-2y+8的值总是大于等于3.故选A
【分析】根据完全平方公式的特点，把多项式x²+y²－4x-2y+8化成(x-2)2+(y-1)2+3的形式，即可知答案.
三、解答题
1.答案：（1）-(2a-1)2；（2）-y(2x-3y)2；（3）(3x-3y+1)2；（4）3(1-x)2；（5） ；（6）-2axn-1(1-3x)2.
《公式法》习题
一、填空题
1.分解因式：① =；② =．
2.若 是完全平方式，那么 =________.
3.已知 ，则 =.
4.分解因式： =.
5.在括号内填上适当的因式：
① ；②
③ ；④
6.已知 ，则 的值是
7.若 ，则 的值为
8.分解因式： =.
二、选择题
1.下列各式中能用平方差公式分解因式的是（）
【分析】根据完全平方公式的特点把x2-4x+a2因式分解即可知答案.
5.答案：C；
解析：【解答】m+1+ = （m2+4m+4）= （m+2）2；-x2+2xy-y2=-（x2-2xy+y2）
=-（x-y）2；-a2+14ab+49b2=-（a2-14ab-49b2），它不能用完全平方公式分解因式；
2.答案：±8；
解析：【解答】∵x2+mx+16是一个完全平方式，
∴x2+mx+16=（x±4）2，
=x2±8x+16．
∴m=±8，故答案为：±8．
【分析】运用完全平方公式，把多项式x2+mx+16因式分解即可知答案.
3.答案：1；
解析：【解答】∵a2+4a+4+|b-3|=0，∴(a+2)2+|b-3|=0，∴a+2=0，b-3=0，∴a=-2，b=3，∴a+b=1
6.下列各式是完全平方式的是（）
A. B. C. D.
7.若a、b、c是△ABC的三边，满足 且 ，则△ABC的形状是（）
A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形
8.下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（）
A. B. C. D.
9.下列各式能用公式法进行因式分解的是( )
A. B. C. D.
8.答案：C；
解析：【解答】A选项中间乘积项不是两底数积的2倍，故本选项错误；；B选项不符合完成平方公式的特点，故本选项错误；C选项符合完全平方公式的特点；D选项不符合完成平方公式的特点，故本选项错误.故选C．
【分析】根据完全平方公式的特点分析各选项即可知答案.
9.答案：C；
解析：【解答】A选项两项符号相同不能采用公式法因式分解，故本选项错误；B选项中间乘积项不是两底数积的2倍，故本选项错误；C选项符合平方差公式；D选项两项符号相同不能采用公式法因式分解，故本选项错误．故选C．
解析：【解答】（1）原式=-(4a2-4a+1)=-(2a-1)2；
（2）原式=-y(4x2-12x+9)=-y(2x-3y)2；
（3）原式=[3(x-y)]2+6(x-y)+1=(3x-3y+1)2；
（4）原式=3(1-2x+x2)=3(1-x)2；
（5）原式=n2( )= ；
（6）原式=-2axn-1(1+9x2-6x)=-2axn-1(1-3x)2.
【分析】根据完全平方公式的特点，把各题因式分解即可知答案.
2.答案：（1）-3xy(y+3x)(y-3x)；（2）4a2(x+2y)(x-2y)；（3）(a+4)(a-4)；（4） ；（5）(7p+5q)(p+7q)；（6）-(27a+b)(a+27b).
解析：【解答】（1）原式=-3xy(y+3x)(y-3x)；
A. B. C. 2D.
2.一个多项式分解因式的结果是 ，那么这个多项式是（）
A. B. C. D.
3.下列各式中不能用平方差公式分解的是（）
A. B. C. D.
4.若 是完全平方式，那么 等于( ).
A.4B.2C.±4D.±2
5.下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（）
A. B. C. D.
C选项-x2-y2是两数的平方和，不能进行分解因式；D选项16m4-25n2=(4m)2-(5n)2=（4m+5n）（4m-5n）．故选C．
【分析】根据平方差公式的特点分析各选项即可知道答案.
4.答案：D；
解析：【解答】∵x2-4x+a2=x2-2•2•x+a2，∴a2=22=4，∴a=±2．故选D．
故选D．
【分析】根据完全平方公式的特点分析各选项即可知答案.
7.答案：D；
解析：【解答】∵a2-2ab+b2=0且b2-c2=0，∴（a-b）2=0且（b+c）（b-c）=0，
∴a=b且b=c，即a=b=c，∴△ABC为等边三角形．故选D．
【分析】根据完全平方公式的特点把a2-2ab+b2因式分解即可知答案.
∴x-2=0,y+3=0
∴x=2,y=-3
【分析】运用完全平方公式把x²+y²-4x+6y+13化成(x-2)²+(y+3)²的形式即可知答案.
10.已知 ， ，则 的值是（）
A.1 B.4 C.16 D.9
11.若n为任意整数， 的值总可以被k整除，则k等于（）
A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数
12不论 为任何实数， 的值总是（）
A．正数B.负数C.非负数D.非正数
三、解答题
1.用完全平方公式因式分解
（1） （2）
（3） （4）
【分析】根据平方差公式的特点分析各选项即可知答案.
2.答案：B；
解析：【解答】（b3+2）（2-b3）=4-b6．故选B．
【分析】根据平方差公式的特点化简即可知道答案.
3.答案：C；
解析：【解答】A选项-a2+b2=b2-a2=（b+a）（b-a）；B选项49x2y2-m2=（7xy+m）（7xy-m）；
（2）原式=4a2(x+2y)(x-2y)；
（3）原式= (a+4)(a-4)；
（4）原式= ；
（5）原式=(7p+5q)(p+7q)；
（6）原式=-(27a+b)(a+27b).
【分析】根据平方差公式的特点，把各题因式分解即可知答案.
3.答案：1；
解析：【解答】由已知得：
(x²+y²)²-2(x²+y²)+1=0
【分析】运用完全平方公式，把多项式a2+4a+4+|b-3|化成(a+2)2+|b-3|的形式即可知答案.
4.答案： ；
解析：【解答】1-x+ x2= -x+1=( -1)2
【分析】运用完全平方公式把多项式1-x+ x2因式分解即可知答案.
5.答案：①5x+1；②b-1；③4，2；④±12mn，2m±3n.
8.答案：xm+1(x+1)(x-1)；
解析：【解答】 =xm+1(x2-1)=xm+1(x+1)(x-1).
【分析】先提取公因式，然后运用平方差公式因式分解.
二、选择题
1.答案：B；
解析：【解答】A选项4x2+y2，符号相同，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误；B选项-a2+81，能运用平方差公式分解因式，故此选项正确；C选项-25m2-n2，符号相同，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误；D选项p2-2p+1，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误；故选：B．
- n+1= （n2-6n+9）= （n-3）2．故选C．
【分析】根据完全平方公式的特点分析各选项即可知答案.
6.答案：D;
解析：【解答】A选项应为x2+2x+1，故本选项错误；B选项应为9+x2-6x，故本选项错误；C选项应为x2+2xy+y2，故本选项错误；D选项x2-x+ =（x- ）2，故本选项正确．
【分析】根据完全平方公式的特点，把a2+ 化成（a+ ）2-2的形式即可知答案.
7.答案： ；
解析：【解答】∵m2+2mn+2n2-6n+9=0
∴（m+n）2+（n-3）2=0，
∴m+n=0且n-3=0，
∴m=-3，n=3，
∴ ,故答案为-
【分析】运用完全平方公式把m2+2mn+2n2-6n+9化成（m+n）2+（n-3）2即可知答案.
（5） （6）
2.用平方差公式因式分解
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
3.若 ,求 的值.
4．已知 ，求 和 的值分别是多少？
参考答案
一、填空题
1.答案： ， ；
解析：【解答】① =y2-x2=（y+x）（y-x）；② = (9x2-y2)= (3x+y)(3x-y)
【分析】根据平方差公式的特点因式分解即可知答案.
（2）1-2b+b2=（b-1）2
（3）x2+4x+4=（x+2）2；
（4）4m2+（±12mn）+9n2=（2m±3n）2．
【分析】根据完全平方公式的特点因式分解即可知答案.
6.答案：7；
解析：【解答】∵a2+ （a+ ）2-2；又∵a+ =3， ∴a2+ 32-2=7，故答案是7.
【分析】根据平方差公式和完全平方公式的特点，分析各选项即可知答案.
10.答案：A；
解析：【解答】∵a+b=-3，ab=2，
∴（a-b）2=a2+b2-2ab=a2+b2+2ab-4ab=（a+b）2-4ab=（-3）2-4×2=9-8=1．故选A．
【分析】根据完全平方公式把（a-b）2化成（a+b）2-4ab的形式即可知答案.
[(x²+y²)-1]²=0（完全平方公式）
∴x²+y²=1（只有0的平方为0）
【分析】把（x2+y2）（x2+y2-2）+1化成(x²+y²)²-2(x²+y²)+1的形式，然后运用完全平方公式因式分解即可知答案.
4.答案：x=2;y=-3
解析：【解答】由x²+y²-4x+6y+13=0
得(x-A；
解析：【解答】(n+11)2-n2=(n+11+n)(n+11-n)=11(11+2n)，所以可以被11整除，故选A
【分析】运用平方差公式把(n+11)2-n2因式分解即可知答案.
12.答案：A.
解析：【解答】x²+y²－4x-2y+8=(x²－4x+4)+(y²-2y+1)+3=(x-2)2+(y-1)2+3≥3
不论x,y为任何实数,x²+y²－4x-2y+8的值总是大于等于3.故选A
【分析】根据完全平方公式的特点，把多项式x²+y²－4x-2y+8化成(x-2)2+(y-1)2+3的形式，即可知答案.
三、解答题
1.答案：（1）-(2a-1)2；（2）-y(2x-3y)2；（3）(3x-3y+1)2；（4）3(1-x)2；（5） ；（6）-2axn-1(1-3x)2.
《公式法》习题
一、填空题
1.分解因式：① =；② =．
2.若 是完全平方式，那么 =________.
3.已知 ，则 =.
4.分解因式： =.
5.在括号内填上适当的因式：
① ；②
③ ；④
6.已知 ，则 的值是
7.若 ，则 的值为
8.分解因式： =.
二、选择题
1.下列各式中能用平方差公式分解因式的是（）
【分析】根据完全平方公式的特点把x2-4x+a2因式分解即可知答案.
5.答案：C；
解析：【解答】m+1+ = （m2+4m+4）= （m+2）2；-x2+2xy-y2=-（x2-2xy+y2）
=-（x-y）2；-a2+14ab+49b2=-（a2-14ab-49b2），它不能用完全平方公式分解因式；
2.答案：±8；
解析：【解答】∵x2+mx+16是一个完全平方式，
∴x2+mx+16=（x±4）2，
=x2±8x+16．
∴m=±8，故答案为：±8．
【分析】运用完全平方公式，把多项式x2+mx+16因式分解即可知答案.
3.答案：1；
解析：【解答】∵a2+4a+4+|b-3|=0，∴(a+2)2+|b-3|=0，∴a+2=0，b-3=0，∴a=-2，b=3，∴a+b=1
6.下列各式是完全平方式的是（）
A. B. C. D.
7.若a、b、c是△ABC的三边，满足 且 ，则△ABC的形状是（）
A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形
8.下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（）
A. B. C. D.
9.下列各式能用公式法进行因式分解的是( )
A. B. C. D.
8.答案：C；
解析：【解答】A选项中间乘积项不是两底数积的2倍，故本选项错误；；B选项不符合完成平方公式的特点，故本选项错误；C选项符合完全平方公式的特点；D选项不符合完成平方公式的特点，故本选项错误.故选C．
【分析】根据完全平方公式的特点分析各选项即可知答案.
9.答案：C；
解析：【解答】A选项两项符号相同不能采用公式法因式分解，故本选项错误；B选项中间乘积项不是两底数积的2倍，故本选项错误；C选项符合平方差公式；D选项两项符号相同不能采用公式法因式分解，故本选项错误．故选C．
解析：【解答】（1）原式=-(4a2-4a+1)=-(2a-1)2；
（2）原式=-y(4x2-12x+9)=-y(2x-3y)2；
（3）原式=[3(x-y)]2+6(x-y)+1=(3x-3y+1)2；
（4）原式=3(1-2x+x2)=3(1-x)2；
（5）原式=n2( )= ；
（6）原式=-2axn-1(1+9x2-6x)=-2axn-1(1-3x)2.
【分析】根据完全平方公式的特点，把各题因式分解即可知答案.
2.答案：（1）-3xy(y+3x)(y-3x)；（2）4a2(x+2y)(x-2y)；（3）(a+4)(a-4)；（4） ；（5）(7p+5q)(p+7q)；（6）-(27a+b)(a+27b).
解析：【解答】（1）原式=-3xy(y+3x)(y-3x)；
A. B. C. 2D.
2.一个多项式分解因式的结果是 ，那么这个多项式是（）
A. B. C. D.
3.下列各式中不能用平方差公式分解的是（）
A. B. C. D.
4.若 是完全平方式，那么 等于( ).
A.4B.2C.±4D.±2
5.下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（）
A. B. C. D.
C选项-x2-y2是两数的平方和，不能进行分解因式；D选项16m4-25n2=(4m)2-(5n)2=（4m+5n）（4m-5n）．故选C．
【分析】根据平方差公式的特点分析各选项即可知道答案.
4.答案：D；
解析：【解答】∵x2-4x+a2=x2-2•2•x+a2，∴a2=22=4，∴a=±2．故选D．
故选D．
【分析】根据完全平方公式的特点分析各选项即可知答案.
7.答案：D；
解析：【解答】∵a2-2ab+b2=0且b2-c2=0，∴（a-b）2=0且（b+c）（b-c）=0，
∴a=b且b=c，即a=b=c，∴△ABC为等边三角形．故选D．
【分析】根据完全平方公式的特点把a2-2ab+b2因式分解即可知答案.
∴x-2=0,y+3=0
∴x=2,y=-3
【分析】运用完全平方公式把x²+y²-4x+6y+13化成(x-2)²+(y+3)²的形式即可知答案.
10.已知 ， ，则 的值是（）
A.1 B.4 C.16 D.9
11.若n为任意整数， 的值总可以被k整除，则k等于（）
A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数
12不论 为任何实数， 的值总是（）
A．正数B.负数C.非负数D.非正数
三、解答题
1.用完全平方公式因式分解
（1） （2）
（3） （4）
【分析】根据平方差公式的特点分析各选项即可知答案.
2.答案：B；
解析：【解答】（b3+2）（2-b3）=4-b6．故选B．
【分析】根据平方差公式的特点化简即可知道答案.
3.答案：C；
解析：【解答】A选项-a2+b2=b2-a2=（b+a）（b-a）；B选项49x2y2-m2=（7xy+m）（7xy-m）；
（2）原式=4a2(x+2y)(x-2y)；
（3）原式= (a+4)(a-4)；
（4）原式= ；
（5）原式=(7p+5q)(p+7q)；
（6）原式=-(27a+b)(a+27b).
【分析】根据平方差公式的特点，把各题因式分解即可知答案.
3.答案：1；
解析：【解答】由已知得：
(x²+y²)²-2(x²+y²)+1=0
【分析】运用完全平方公式，把多项式a2+4a+4+|b-3|化成(a+2)2+|b-3|的形式即可知答案.
4.答案： ；
解析：【解答】1-x+ x2= -x+1=( -1)2
【分析】运用完全平方公式把多项式1-x+ x2因式分解即可知答案.
5.答案：①5x+1；②b-1；③4，2；④±12mn，2m±3n.
8.答案：xm+1(x+1)(x-1)；
解析：【解答】 =xm+1(x2-1)=xm+1(x+1)(x-1).
【分析】先提取公因式，然后运用平方差公式因式分解.
二、选择题
1.答案：B；
解析：【解答】A选项4x2+y2，符号相同，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误；B选项-a2+81，能运用平方差公式分解因式，故此选项正确；C选项-25m2-n2，符号相同，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误；D选项p2-2p+1，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误；故选：B．
- n+1= （n2-6n+9）= （n-3）2．故选C．
【分析】根据完全平方公式的特点分析各选项即可知答案.
6.答案：D;
解析：【解答】A选项应为x2+2x+1，故本选项错误；B选项应为9+x2-6x，故本选项错误；C选项应为x2+2xy+y2，故本选项错误；D选项x2-x+ =（x- ）2，故本选项正确．
【分析】根据完全平方公式的特点，把a2+ 化成（a+ ）2-2的形式即可知答案.
7.答案： ；
解析：【解答】∵m2+2mn+2n2-6n+9=0
∴（m+n）2+（n-3）2=0，
∴m+n=0且n-3=0，
∴m=-3，n=3，
∴ ,故答案为-
【分析】运用完全平方公式把m2+2mn+2n2-6n+9化成（m+n）2+（n-3）2即可知答案.
（5） （6）
2.用平方差公式因式分解
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
3.若 ,求 的值.
4．已知 ，求 和 的值分别是多少？
参考答案
一、填空题
1.答案： ， ；
解析：【解答】① =y2-x2=（y+x）（y-x）；② = (9x2-y2)= (3x+y)(3x-y)
【分析】根据平方差公式的特点因式分解即可知答案.