高中数学第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.2弧度制

1．进行角度与弧度的互化时，抓住关系式 π rad＝180°是关键，由它可以得到：
度数×1π80＝弧度数，弧度数×(1π80)熟记：
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
课时作业
一、度量角的单位制 单位制
[自主梳理] 内容
1 角度制 周角的 360 为 1 度角，记作 1°；用度作为单位来度量角
的单位制叫角度制 规定长度等于半径长 的圆弧所对的圆心角叫作 1 弧度的 弧度制 角，以 弧度 为单位来度量角的单位制叫作弧度制；在
弧度制下，1 弧度记作 1 rad
二、弧度数 一般地，正角的弧度数是一个 正数 ，负角的弧度数是一个 负数 ，零角的弧 度数是 0 .如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧长为 l，那么，角 α 的弧度数
S＝12r·l＝12×1×π3＝π6.
答案：π3
π 6
探究一 有关角度与弧度概念的理解 [典例 1] (1)下列命题中，正确的命题是________． ①1°的角是周角的3160，1 rad 的角是周角的21π； ②1 rad 的角等于 1 度的角； ③180°的角一定等于 π rad 的角； ④“度”和“弧度”是度量角的两种单位． (2)在半径不等的两个圆内，1 弧度的圆心角所对的弧长________．(填“相等”或 “不相等”)
l 的绝对值是|α|＝ r .这里，α 的正负由角 α 的终边的旋转方向决定．
三、弧度制与角度制的换算公式 角度化弧度
360°＝ 2π rad 180°＝ π rad
弧度化角度 2π rad＝360° π rad＝ 180°
π
1 rad＝ (1π80)°≈57.30°
1°＝ 180 rad≈0.017 45 rad
②π6＝________，23π＝________.
解析：根据角度与弧度的互化公式知
60°＝π3，150°＝56π，π6＝30°，23π＝120°.
答案：①π3
5π 6
②30° 120°
4．若扇形的圆心角为 60°，半径为 1，则扇形的弧长 l＝________，
面积 S＝________.
解析：因为 α＝60°＝π3，r＝1，所以 l＝α·r＝π3，
2．若一扇形的圆心角为25π，半径为 20 cm，则扇形的面积为( )
A．40π cm2
B．80π cm2
C．40 cm2
D．80 cm2
解析：因为扇形的圆心角为25π，半径为 20 cm，所以扇形的面积为 S 扇形＝12αR2＝
80π cm2，故选 B.
答案：B
3．请将下列角度化为弧度，弧度化为角度． ①60°＝________，150°＝________；
1.1.2 弧度制
考纲定位
重难突破
1.理解角度制与弧度制的概念，能对
弧度和角度进行正确的转换． 重点：弧度的角概念的理解，弧
2.体会引入弧度制的必要性，建立角 度制与角度制的互化．
的集合与实数集一一对应关系． 难点：弧度的角概念的理解.
3.掌握并能应用弧度制下的弧长公
式和扇形面积公式.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
1．下列各说法中，错误的说法是( ) A．半圆所对的圆心角是 π rad B．周角的大小等于 2π C．1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是 1 弧度 解析：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知 A、B、C 均正确，D 错误． 答案：D
探究二 角度与弧度之间的互化 [典例 2] 设 α1＝－570°，α2＝750°，β1＝35π，β2＝－π3. (1)将 α1，α2 用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限； (2)将 β1，β2 用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与它们终边相同的所有角．
[解析] (1)∵180°＝π rad ∴α1＝－570°＝－517800π＝－196π＝－2×2π＋56π， α2＝750°＝715800π＝256π＝2×2π＋π6. ∴α1 的终边在第二象限，α2 的终边在第一象限．
(2)β1＝35π＝35×180°＝108°， 设 θ＝108°＋k·360°(k∈Z)， 则由－720°≤θ＜0°，即－720°≤108°＋k·360°＜0°， 得 k＝－2，或 k＝－1. 故在－720°～0°范围内，与 β1 终边相同的角是－612°和－252°. β2＝－π3＝－60°，设 γ＝－60°＋k·360°(k∈Z)， 则由－720°≤－60°＋k·360°＜0°， 得 k＝－1，或 k＝0. 故在－720°～0°范围内，与 β2 终边相同的角是－420°.
[解析] (1)由弧度制的概念及换算关系，知①③④正确． (2)由于 1 弧度的圆心角所对的弧长等于圆的半径，而两个圆的半径不等，故在两 个圆中，1 弧度的圆心角所对的弧长不相等． [答案] (1)①③④ (2)不相等
角度与弧度的理解 (1)引入弧度制后，角的集合与实数集建立了一一对应关系． (2)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同(都是 0)；用角度制和 弧度制度量任意非零角，单位不同，数量也不同． (3)牢记 180°＝π rad，充分利用其进行角度制与弧度制互化． (4)角度的单位“°”不可省略，而弧度的单位“rad”可以省略． (5)在同一个式子中，角度、弧度不能混合使用．
四、扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为 R，弧长为 l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，其中 α＝1n8π0，则
度量单位 类别
弧度制
角度制
扇形的弧长 l＝ αR
nπR l＝ 180
扇形的面积
S＝
1 2lR
＝
12αR2
nπR2 S＝ 360
[双基自测]
1．下列各种说法中，不正确的是( ) A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1°的角是周角的3160，1 rad 的角是周角的21π C．1 rad 的角比 1°的角要大 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 解析：根据角度制和弧度制的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小都 与圆的半径大小无关，而是与弧长与半径的比值有关． 答案：D