湖北省咸宁市五校高二数学3月联考试题 理(含解析)

咸宁市2016~2017学年下学期高二五校联考
数学试卷（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线的焦点到准线的距离为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】试题分析：由题意得，根据抛物线的方程可知，所以抛物线的焦点到准线的距离为，故选C．
考点：抛物线的几何性质．
2. 双曲线的焦点到其浙近线距离为（）
A. B. ． C. D.
【答案】C
【解析】由题设可知，则焦点为，渐近线方程为，所以焦点到直线的距离，应选答案C。

3. 函数从到的平均变化率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题设可知，应选答案B。

4. 函数的导数为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因，故应选答案A。

5. 有关下列命题，其中说法错误的是（）
A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”
B. “若”是“”的必要不充分条件
C. 若是假命题，则都是假命题
D. 命题，使得，则，都有
【答案】C
【解析】试题分析：由题意得，可知若是假命题，则命题中至少有一个假命题，即都是假命题或真假或假真，所以选项C不正确，故选C．...
考点：命题的真假判定及应用．
6. 在四棱锥中，底面是平行四边形，设，则
可表示为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
如图，因，故，应选答案A。

7. 为抛物线上一点，，则到抛物线的准线的距离与到点的距离之和的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】试题分析：由题意得，设在抛物线的准线上的投影为，抛物线的焦点，根据抛物线的定义可知点到该抛物线的准线的距离为，则点到点的距
离距离与点到该抛物线准线的距离之和
，故选D．
考点：抛物线的几何性质及其应用．
【方法点晴】本题主要考查了抛物线的几何性质及其应用，其中解答中涉及到抛物线的标准方程、抛物线的几何性质、以及点到直线的距离公式等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，试题比较基础，属于基础题，此类问题的解答中，合理利用抛物线的定义，把抛物线上的点到准线的距离转化为到抛物线的焦点的距离是解答问题的关键．
8. 若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】试题分析：因为平面的一个法向量，又因为点
，所以，所以点到平面的距离为，故选C．
考点：空间向量的应用．
9. 曲线在处的节线过点，则实数（）
A. B. C. D.
【答案】C
10. 已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上一点，且则
等于（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因，故由勾股定理可得
，又由椭圆定义可得代入
可得与联立可得，应选答案A。

点睛：解答本题的关键是搞清楚焦点三角形是直角三角形，求解时充分借助题设条件，先运用勾股定理建立方程，再运用椭圆的定义建立方程，然后再联立这两个方程求得，从而使得问题获解。

11. 设双曲线的右焦点为，右顶为，过作的垂线与双曲线的两条浙近线交于两点，过分别作的垂线，两垂线交于点，若到直线的距离小于，则该双曲线的离心率的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C...
【解析】试题分析：由题意得为的垂心，即由，即在轴上，令，可得，解得，设，由，可得
，由题意，设，则由得，所以
，因为到直线的距离小于，所以
，所以，所以，则，即
，即，所以．
考点：双曲线的几何性质及其应用．
【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质及其应用，其中涉及到三角形垂心的概念、
以及两直线垂直的条件，双曲线的几何性质及其性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，解答中合理应用三角形垂心的性质以及双曲线的几何性质是解答的关键，试题有赢的难度，属于中档试题．
12. 已知F为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，
（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：据题意得，设，则，
或，因为位于轴两侧所以.所以两面积之和为
.
【考点定位】1、抛物线；2、三角形的面积；3、重要不等式.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 命题是否定为__________．
【答案】
【解析】试题分析：根据命题否定的概念，可知命题的否定为“”．
考点：命题的否定．
14. 抛物线上一点的纵坐标为，则点到此抛物线焦点的距离为__________．【答案】
【解析】试题分析：由题意得，抛物线的准线方程为，所以点到准线的距离为
，根据抛物线的定义可知点与抛物线的交点的距离就是点与抛物线准线的距离，所以点到此抛物线焦点的距离为．
考点：抛物线的定义及其应用．
15. 椭圆的左顶点为，右焦点为，上顶点为，下顶点为，若直线与直线的交点为，则椭圆的标准方程为__________．
【答案】
【解析】试题分析：由椭圆的左顶点的坐标为，上下顶点的坐标为，右焦点为，则直线的方程为，直线的方程为，又因为直线与直线的交点为，把点分别代入直线的方程，解得且，又因为，解得，所以椭圆的标准方程为
．
考点：椭圆的标准方程．
【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，其中解答中涉及到直线的方程，椭圆的标准方程及其简单的几何性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题运算量较大，属于中档试题，本题的解答中写出直线
与直线方程，求解的值是解答的关键．
16. 如图，已知两个正四棱锥与的高分别为和，、分别为
、的中点，则直线与平面所成角的正弦值为__________．
【答案】
【解析】试题分析：由题意得，是正方形，所以，分别以直线为
轴建立空间直角坐标系，如图所示，则
，所以，所以
，又平面，所以平面的一个法向量为，所以直线与平面所成角的正弦值为．
考点：直线与平面所成的角的求解．...
【方法点晴】本题主要考查了直线与平面所成的角的正弦值的求解，其中解答中涉及到直线与平面所成的角的计算、直线与平面垂直的判定，空间向量的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中，根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，求解相应向量的坐标和平面法向量的坐标，转化为向量的运算是解答的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知函数.
（1）求这个函数的图象在处的切线方程；
（2）若过点的直线与这个函数图象相切，求的方程.
【答案】（1）（2）
【解析】【试题分析】（1）对函数解析式求导，再运用导数的几何意义求出切线的斜率，然后运用直线的点斜式方程求解；（2）先设切点坐标，再对函数求导，借助导数的几何意义求出切线的斜率，然后运用直线的点斜式方程求由过点，∴，
∴，∴，∴，求出方程为：
解：（1），
时，，
∴这个图象在处的切线方程为.
（2）设与这个图象的切点为，方程为
，
由过点，
∴，
∴，∴，∴，
∴方程为.
18. 在直线三棱柱中，，延长至点，使，连接交棱于点.以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示.
（1）写出、、、、、的坐标；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）根据空间直角坐标系，即可写出点的坐标；（2）得出，即可利用向量的公式，即可求解异面直线与
所成角的余弦值．
试题解析：（1）．
（2）∵，
∴，
∴异面直线与所成角的余弦值为
考点：空间直角坐标系中点的坐标；异面直线所成的角．
19. 已知对，不等式恒成立；，使不等式成立，若是真命题，是假命题，求的取值范围.
【答案】的取值范围为....
【解析】试题分析：由命题或，命题：，根据是真命题，是假命题，即可求解的取值范围．
试题解析：若为真命题，∵，∴，
∵，不等式恒成立，
可得，∴或，
故命题为真命题时，或
若为真命题，即，使不等式成立，
∴，∴或，
从而为假命题时，，
∴为真命题，为假命题时，的取值范围为
考点：命题的真假判定及应用．
20. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，与轴交于点为坐标原点，若.
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】【试题分析】（1）对函数解析式求导运用导数的几何意义求解；（2）先设切点再求导与，借助导数的几何意义求解：
（1）解：∵，∴，
抛物线的方程为.
（2）证明：由得，即，
设，∴，又，
∴，∴，即.
21. 如图，为圆的直径，点在圆上，，矩形所在的平面与圆所以的平面互相垂直，已知.
（1）求证：平面平面；
（2）当的长为何值时，平面与平面所成的锐二面角的大小为？
【答案】（1）见解析（2）当的长为时，平面与平面所成的锐二面角大小为. 【解析】【试题分析】（1）先运用面面垂直的性质定理证明线线垂直，再运用线面垂直的判定定理证明线面垂直，最后运用面面垂直的判定定理分析推证；（2）依据题设条件建立空间直角坐标系，再运用向量的坐标形式的有关运算及数量积公式分析求解：
解：（1）平面平面，
平面平面，∴平面.
∵平面，∴，
又∵为圆的直径，∴，∴平面....
∵平面，∴平面平面.
（2）设中点为，以为坐标原点，、、方向分别为轴、轴、轴方向建立空间直角坐标系（如图）.
设，则点的坐标为，
则，又，
∴.
设平面的法向量为，则，即
令，解得.∴.
由（1）可知平面，取平面的一个法向量为
∴，即，解得.
因此，当的长为时，平面与平面所成的锐二面角大小为.
22. 已知中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，离心率为且过点，过定点
的动直线与该椭圆相交于、两点.
（1）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；
（2）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）在轴上存在定点，使，为常数.
【解析】试题分析：（1）椭圆的离心率公式，及的关系，求得，得到椭圆的方程；设出直线的方程，将直线方程代入椭圆，用舍而不求和韦达定理方法表示出中点坐标，此时代入已知中点的横坐标，即可求出直线的方程；（2）假设存在点，使
为常数，分别分当与轴不垂直时以及当直线与轴垂直时，求出点的坐标，最后综合两种情况得出结论．
试题解析：（1）易求椭圆的方程为，
直线斜率不存在时显然不成立，设直线，
将代入椭圆的方程，
消去整理得，
设，则，
因为线段的中点的横坐标为，解得，
所以直线的方程为．
（2）假设在轴上存在点，使得为常数，
①当直线与轴不垂直时，由（1）知，
所以
，
因为是与无关的常数，从而有，
此时
②当直线与轴垂直时，此时结论成立，
综上可知，在轴上存在定点，使，为常数
考点：直线与椭圆的综合问题．
【方法点晴】本题主要考查了直线与椭圆的综合问题，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，此类问题的解答中把直线的方程代入椭圆的方程，转化为根与系数的关系，以及韦达定理是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．。