导数在经济学中的简单应用(课堂PPT)

平均成本为
C 10 C 10 140 14万元 万件 14元 件
10 10
即在产量Q 10万件时，每件产品的成本为14元.
根据边际成本理论得 CQ 0.06Q2 0.8Q 6，于是生产10万件产品
时的边际成本是 C10 0.06 102 0.810 6 4元 件
从这里可以看出，在生产水平为10万件的基础上，再多生产1件产品， 总成本将增加4元，比14元/件的成本要低.因此，单纯从降低平均成本的 角度来看，应该提高产品的生产产量.
新 的 生 产 资 源 原 材 料 、 燃 料 、 劳 动 力 等 .使 生 产 资 源 得 到 最 充 分
的 利 用 ， 也 就 是 产 品 的 平 均 成 本 最 低 ?
2
解
:
由
1的
讨
论
可
知
，
若
C
Q
0
C
Q
0
，
则
在
产
量
为
Q
万
0
件
的
基 础 上 ， 再 多 生 产 1件 产 品 ， 总 成 本 增 加 C Q0 元 ， 比 当 前 每 件
(2) 边际成本、边际收益、边际利润是经济学中最常见的几个 重要边际经济量，常用于分析生产状况、制定生产计划。
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一、边际与边际分析
3、边际分析
对 于 经 济 函 数 f ( x ) ， 设 经 济 变 量 x 在 点 x 0 有 一 个 改 变 量 x ， 则 经 济 变 量 y 在 y 0 f ( x 0 ) 处 有 相 应 的 改 变 量
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2解：由RQ 102Q知，当Q25吨时，边际收益大于零，
5
总收益随着销售量的增加，说明市场还有需求；当Q25吨时， 边际收益等于零，说明市场上该产品已经饱和.当Q25吨时，
边际收益小于零，随着销售量的增加，总收益反而减少了， 说明市场上该产品已经供大于求.因此，该产品的最佳销售量
为25吨.
显然，该公司不能完全依靠增加销量来提高收益， 超过一定数量的销量就会造成销售越多亏损越大的 局面。通过分析边际收益，我们可以挖掘市场的最 大潜力，制定正确地、行之有效的销售对策。
产 品 的 成 本 C Q0 元 低 ， 此 时 应 提 高 产 量 ， 以 降 低 平 均 成 本 ；
若 C Q0 C Q0 ,则 在 产 量 为 Q0万 件 的 基 础 上 ， 再 多 生 产 1件 产 品 ，
总 成 本 增 加 C Q0 元 ， 比 C Q0 元 /件 的 成 本 高 ， 此 时 ， 应 减 少 产 量 ，
有 效 的 利 用 ， 增 加 盈 利 .此 时 的 产 量 就 是 现 有 成 本 基 础 上 的 最 佳 产 量 .
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5 、 边 际 收 益
1定义：设总收益函数RR(Q)，Q为销售量，称它的导数
R(Q)为边际收益函数，简称边际收益.R(Q0)称为销售量为 Q0时的边际收益. 注：销售Q单位产品的总收益为销售量Q与价格P之积，即
因此，应该继续提高销售量增加收益.
销售量Q 30 吨 时的边际收益为R30 10 2 30 -2 万元 / 吨
5 即 在 销 售 量 为30吨 的 基 础 上 ， 再 多 销 售1吨 产 品 ， 总 收 益 减 少2万 元.
此 时 ， 应 该 减 少 销 售 量 ， 收 益 才 会 增 加.
的基础上，再多生产1个单位的产品，所增加的收益小于增加的 成本，因此总利润将减少；
当RQ =CQ 时，LQ =0，其经济意义是：在产量Q
的基础上，再多生产1个单位的产品，所增加的收益等于增加的 成本，总利润将不会再增加.
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例6、某工厂每日的总成本为C万元，其中固定成本为200万元， 每生产1单位产品，成本增加10万元.该商品的需求函数为
R(Q)QPQP(Q)
2经 济 意 义 ： 当 销 售 量 达 到 Q 0 时 ， 如 果 多 (或 少 )销 售 一 个
单 位 产 品 ， 则 总 收 益 将 相 应 增 加 (或 减 少 )R (Q 0)个 单 位 .
3通 过 分 析 边 际 收 益 ， 挖 掘 市 场 最 大 潜 力 .
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以 降 低 平 均 成 本 .即 ： 当 边 际 成 本 小 于 平 均 成 本 时 ， 继 续 生 产 ； 当
边际成本大于平均成本时，应停止生产.
由 此 可 见 ， 当 C Q C Q 时 ， 平 均 成 本 最 低 .因 此 企 业 管 理 者
应该把生产规模调整到平均成本的最低点处，才能使生产资源得到最
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1 解：由题可知销售该产品的总收益为：
R
R
Q
QP
Q
Q10Q 5 Nhomakorabea10Q
Q2 5
则边际收益为
RQ 10 2 Q
5
销售量Q 10 吨 时的边际收益为R10 10 2 10 6 万元 / 吨
5
即 在 销 售 量 为10吨 的 基 础 上 ， 再 多 销 售1吨 产 品 ， 总 收 益 增 加6万 元.
3.5 导数在经济学中的简单应用
随着我国市场经济的不断发展，应用数学知识定量分析经济 及管理领域中的问题，已成为经济学理论中一个重要组成部 分．把经济活动中一些现象归纳到数学领域中，用我们所学的数 学知识进行解答，对很多经营决策起到了非常重要的作用．
导数是微积分中一个重要概念，它是函数关于自变量的变化 率．在经济学中，也存在变化率问题，如：边际问题和弹性问 题．导数在经济领域中的应用非常广泛，其中“边际”和“弹性” 是导数在经济分析应用中的两个重要概念．本节主要介绍导数概 念在经济学中的两个应用——边际分析与弹性分析．
C(Q) 1 Q60,
10
C (Q ) 1Q 6 0 4 0
Q 1 0 0 0 1 0
Q 1 0 0 0
其 经 济 意 义 为 ： 当 产 量 达 到 1 0 0 0 单 位 时 ， 如 果 再 多 生 产 1 个 单 位 产 品 , 则 成 本 将 相 应 增 加 4 0 个 单 位 。
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y f( x 0 x ) f( x 0 )
如 函 数 f ( x ) 在 点 x 0 可 微 ， 则
y d y |x x 0 f(x 0 ) x
假 如 x 1 ,则 y f ( x 0 )
这 说 明 当 x 在 x 0 点 改 变 “ 一 个 单 位 ” 时 ， y 相 应 的 近 似 改 变 f(x0)个 单 位 。 边际函数值描述了 f (x)在点 x0处的变化速度.
2如果你是生产管理者，在现有成本基础上，你会怎么
制定生产计划，使得生产资源得到最有利的利用，增加盈利。
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提出问题：
① 在产量 Q10万 件 的基础上，我们除了能计
算总成本外，还能计算哪些与”成本”有关的量？ ② 它们有什么实际（经济）意义？
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1解：当产量Q 10万件时，总成本为
C 10 0.02 103 0.4 102 6 10 100 140 万元
成本决定.
4 通过分析边际利润，制定最优生产计划.
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对“边际利润由边际收益和边际成本决定”的说明：
当RQ CQ 时，LQ 0，其经济意义是：在产量Q
的基础上，再多生产1个单位的产品，所增加的收益大于增加的 成本，因此总利润有所增加；
当RQ CQ 时，LQ 0，其经济意义是：在产量Q
Q502PP为价格
求： 1生产5个， 10个， 15个， 20个单位产品的边际利润分别是多少？ 2请你从利润角度出发为该工厂制定最佳的生产计划？
1解：设需求量为Q，则总成本为C=CQ20010Q，由需求量 Q502P得P2512Q，从而总收益为RQPQ2512QQ 故总利润为LQRQCQ1Q215Q200，边际利润为
(3)边际成本仅与可变成本有关，与固定成本无关。
一 般 情 况 下 ， 总 成 本 C ( Q ) 由 固 定 成 本 C 0 和 可 变 成 本 C 1 ( Q )
组 成 ， 即 C(Q )C 0C 1(Q ),
而 边 际 成 本 C ( Q ) [ C 0 C 1 ( Q ) ] C 1 ( Q ) , 可 见 ， 边 际 成 本 与 固 定 成 本 无 关 。
为 边 际 成 本 函 数 ,简 称 边 际 成 本 ． C(Q 0)称 为 当 产 量 为 Q 0时 的 边 际 成 本 ． 边 际 成 本 在 经 济 学 中 被 定 义 为 产 量 增 加 一 个 单 位 时 所 增 加 的 成 本 ．
2 经 济 意 义 ： 当 产 量 为 Q 0 的 基 础 上 ， 如 果 再 多 生 产 1 个
(4) 在经营决策分析中，通过分析边际成本，可 以制定现有成本基础上的最佳产量。
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例3、假设某企业生产某种产品的总成本 C （万元） 与产量 Q（万件）之间的函数关系式为
C Q 0 . 0 2 Q 3 0 . 4 Q 2 6 Q 1 0 0 万 元
问:(1)当这种产品的产量Q10万件时，从降低平均成本的 角度来看，是否可以继续提高产量?当Q20万件时呢？
1414
例4、设某产品的价格P万元与销售量Q吨的关系式为
P 10 Q， 5
求：1当这种产品的销售量Q 10吨时，从增加收益的
角度来看，是否可以继续提高销售量？当产品的销售量
Q 30吨时呢？
2 如果你是该公司的销售经理，你该怎么制定该产品
的销售计划？
提问：①已知价格函数，怎么求总收益函数？ ②边际收益的经济意义是什么？
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一、边际与边际分析
1、边际分析法 边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济 变量的变化率．利用导数研究经济变量的边际变化的方 法，即边际分析法．
边际分析法是经济理论中的一个重要分析方法，它 的提出不仅为我们作出决策提供了一个有用的工具，而 且还使经济学能运用数学工具．因此边际分析法对推动 经济学本身的发展和解决实际经济问题起到了重大作 用．
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例 1 求 函 数 y 3 x 2 在 x 2 处 的 边 际 函 数 值 。
解y6x
y 6x 12
x2
x2
函 数 y 3 x 2 在 x 2 处 的 边 际 函 数 值 为 1 2
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4 、 边 际 成 本
1定 义设 总 成 本 函 数 CC(Q), Q 为 产 量 , 称 它 的 导 数 C(Q)
从这里可以看出，在生产水平为20万件的基础上，再多生产1件产品， 总成本将增加14元，比11元/件的成本要高.因此，单纯从降低平均成本的 角度来看，不能提高产品的生产产量，而应降低产量.
12
固 定 成 本 C 0=C0=100 万 元 ， 如 果 不 生 产 产 品 ， 生 产 资 源
（ 厂 房 、 设 备 、 管 理 人 员 等 ） 就 严 重 浪 费 ， 而 生 产 产 品 ， 又 要 消 耗
单 位 的 产 品 ， 则 总 成 本 将 增 加 C Q 0 个 单 位 ．
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例 2 设 总 成 本 函 数
C(Q )500060Q1Q2, 20
求 边 际 成 本 函 数 和 Q 1 0 0 0 单 位 时 的 边 际 成 本 ，
并 解 释 后 者 的 经 济 意 义 。
2
一、边际与边际分析
2、边际函数
设 y f ( x ) 是 一 个 经 济 函 数 , 其 导 数 f ( x ) 称 为 f ( x ) 的 边 际 函 数 。 f ( x 0 ) 称 为 f ( x ) 在 点 x 0 的 边 际 函 数 值 。
说明：
(1)导数与边际的关系：边际概念是将导数的概念经济化。因 此，经济学中的边际和数学中的导数是一个概念。这不仅丰 富了导数的含义，也给经济学中边际的计算问题提供了更直 接、简便的方法。
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6 、 边 际 利 润
1定义：设产品的总利润函数 L(Q), Q为产量，称它的导数L(Q)为
边际利润，L(Q0 )称为当产量为Q0时的边际利润.
2 经济意义：当产量达到Q0时,如果再多生产1个单位产品,则利润
将增加L(Q0 )个单位.
3边际利润LQ RQ CQ，即边际利润由边际收益和边际
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类似地，
当产量Q 20万件时，总成本为
C20 0.02203 0.4202 620 100 220万元
平均成本为
C20 C20 220 11元 件
20 20
即在产量Q 20万件时，每件产品的成本为11元. 于是生产20万件产品时的边际成本是 C20 0.06202 0.820 6 14元 件