分形几何

分形几何
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来源：《初中生世界·九年级》2014年第08期
分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学. 相对于传统几何学的研究对象为整数维数，如零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空，分形几何学的研究对象为分数维数，如0.63、1.58、2.72. 因为它的研究对象普遍存在于自然界中，比如云彩、闪电、山脉、树枝、蕨叶以及生物细胞等，因此分形几何学又被称为“大自然的几何学”.
康托尔三分集
1883年，德国著名数学家康托尔构造了一个奇异的集合：取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，将剩下的两段各再三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段各再三等分，这样一直继续操作下去，直至无穷，便可得到康托尔三分集.
皮亚诺曲线
取一个正方形并把它分成4个相等的小正方形，然后从左上角的正方形开始至左下角的正方形结束，依次将小正方形的中心连接起来；下一步把每个小正方形再分成4个相等的正方形，然后按上述方式把其中心连接起来……如此继续不断作下去，以至无穷，也便形成了一条皮亚诺曲线.一般来说，一维的直线是不可能填满二维的平面的，但是皮亚诺曲线恰恰给出了反例.
谢尔宾斯基三角形垫片
1915～1916年，波兰数学家谢尔宾斯基构造了这样一种图形：将边长为1的等边三角形均分成四个小等边三角形，去掉中间的一个小等边三角形，再对其余3个小等边三角形进行相同操作，这样操作继续下去直至无穷，所得图形称为谢尔宾斯基三角形垫片. 我们可以发现，剩下的三角形面积在不断操作下趋近于零，但它的周长却趋近于无限大.
谢尔宾斯基地毯
谢尔宾斯基地毯的构造与谢尔宾斯基三角形相似，区别仅在于谢尔宾斯基地毯是以正方形而非等边三角形为基础的. 将一个实心正方形划分为3×3的9个小正方形，去掉中间的小正方形，再对余下的小正方形重复这一操作便能得到谢尔宾斯基地毯.
门杰海绵与谢尔宾斯基金字塔
奥地利数学家门杰从三维的单位立方体出发，用与构造谢尔宾斯基地毯类似的方法，构造了门杰海绵（1999年以前，大部分分形著作中，均误称之为谢尔宾斯基海绵）；谢尔宾斯基用与构造谢尔宾斯基三角形垫片类似的方法，构造了谢尔宾斯基金字塔. 这是两座宏伟的集合大厦，里面有无数的通道，连接着无数的门窗. 这种“百孔千窗”、“有皮没有肉”的结构的表面积是无穷大，它们是由反复挖去一拨比一拨小的立体所生成，是化学反应中催化剂或阻化剂最理想的结构模型.
海岸线有多长
1967年，数学家曼德尔布罗在著名的《科学》杂志上发表了一篇奇怪的文章《英国的海岸线有多长》，使人们大吃一惊. 原来海岸线长度不是一个固定不变的数值. 海岸线的长短取决于人们所用的尺. 如果用1千米的尺子测量，小于1千米的弯弯曲曲的海岸线便会被忽略；如果用1米的尺子测量，便会增加许多弯曲的部分，海岸线必然大大增大；如果让蜗牛来测量，海岸线必然大得惊人.
曼德尔布罗
波兰裔法国数学家曼德尔布罗是分形几何的创始人. 他的科学兴趣极其广泛，具有极强的创造能力和形象思维能力，利用计算机开创了一门崭新的分形几何学.。