中考数学折叠问题专项突破1--正方形的折叠问题

中考数学折叠问题专项突破1--正方形的折叠问题
模块一正方形的折叠问题
1、如图，将一张正方形纸片ABCD对折，使CD与AB重合，得到折痕MN后展开，E为CN上一点，将△CDE沿DE所在的直线折叠，使得点C落在折痕MN上的点F处，连接AF，BF，BD.则下列结论中：
S正方形ABCD；△BF2＝DF·EF.其中正确的是()△△ADF是等边三角形；△t an△EBF＝2－√3；△S△ADF＝1
3
A．△△△ B．△△△ C．△△△ D．△△△
【解析】△四边形ABCD 是正方形，△AB =CD =AD ，△C =△BAD =△ADC =90°，△ABD =△ADB =45°， 由折叠性质：MN 垂直平分AD ，FD =CD ，BN =CN ，△FDE =△CDE ，△DFE =△C =90°，DEF =△DEC ， △FD =F A ，△AD =FD =F A ，即△ADF 是等边三角形，△正确；设AB =AD =BC =4a ，则MN =4a ，
BN =AM =2a ，△△ADF 是等边三角形，△△DAF =△AFD =△ADF =60°，F A =AD =4a ，M =√3AM =2√3a ， △FN =MN -FM =（4-2√3）a ，△t an △EBF =FN BN =
4−2√32=2-√3，△正确； △△ADF 的面积=12AD •FM =12×4a ×2√3a =4√3a 2，正方形ABCD 的面积=（4a ）2=16a 2，
△S ΔADF
S 正方形ABCD =4√316=√34
，△错误；△AF =AB ，△BAF =90°-60°=30°，△△AFB =△ABF =75°， △△DBF =75°-45°=30°，△BFE =360°-90°-60°-75°=135°=△DFB ，
△△BEF =180°-75°-75°=30°=△DBF ，△△BEF △△DBF ，△BF DF ＝EF BF ，△BF 2=DF •EF ，△正确；故选B ． 【小结】本题是相似形综合题目，考查了正方形的性质、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形是等边三角形和证明三角形相似是解决问题的关键．
2、如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 是BC 上一点，BE Q 是CD 上一动点，将△CEQ 沿直线EQ 折叠后，点C 落在点P 处，连接P A ．点Q 从点C 出发，沿线段CD 向点D 运动，当P A 的长度最小时，CQ 的长为（ ）
A ．3
B ．3
C ．32
D ．3
【解析】：如图所示：在R t△ABE中，AE=．△BC=3，BE=，△EC=3-．
由翻折的性质可知：PE=CE=3-．
△AP+PE≥AE，△AP≥AE-PE．
△当点A、P、E一条直线上时，AP有最小值．
△AP=AE-PE=2-（3-）=3-3．故选A．
3、如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，3AE =，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把EBF ∆沿EF 折叠，点B 落在'B 处，若'CDB ∆恰为等腰三角形，则'DB 的长为______.
【分析】根据翻折的性质，可得B ’E 的长，根据勾股定理可得CE 的长，然后再根据等腰三角形的判定进行分情况讨论
【解析】需分三种情况讨论：（1）若'DB DC =，则'16DB =（易知此时点F 在BC 上且不与点C 、
B 重合）
；（2）若'CB CD =，因为'EB EB =，'CB CB =，所以点E 、C 在'BB 的垂直平分线上，则EC 垂直平分'BB ，由折叠可知点F 与点C 重合，不符合题意，则这种情况不成立；（3）如图，若''CB DB =，作'B G AB ⊥与AB 交于点G ，交CD 于点H .因为AB CD ∥，所以'B H CD ⊥.因为
''CB DB =，所以182
DH CD ==，所以8AG DH ==，则5GE AG AE =-=，因为'13B E BE ==.在'Rt B EG ∆中，由勾股定理求得'12B G =，所以''4B H GH B G =-=.在
'Rt B DH ∆中，由勾股定理求得'DB =综上，'16DB =或
【小结】本题考查折叠性质和勾股定理，本题关键在于能够对等腰三角形的情况进行分类讨论
4、如图，将边长为6的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展平后，再将点B折到
边CD上，使边AB经过点E，折痕为GH，点B的对应点为M，点A的对应点为N
（1）若CM=x，则CH=（用含x的代数式表示）；（2）求折痕GH的长．
【解析】（1）△CM=x，BC=6，△设HC=y，则BH=HM=6﹣y，
故y2+x2=（6﹣y）2，整理得：y=﹣x2+3，△△HMC+△MHC=90°，△△EMD=△MHC，
△△EDM△△MCH，△=，△=，得：HC=﹣x2+2x，答案：﹣x2+3或﹣x2+2x；（2）方法一：△四边形ABCD为正方形，△△B=△C=△D=90°，
设CM=x，由题意可得：ED=3，DM=6﹣x，△EMH=△B=90°，故△HMC+△EMD=90°，
△△HMC+△MHC=90°，△△EMD=△MHC，△△EDM△△MCH，
△=，即=，解得：x1=2，x2=6，
当x=2时，△CM=2，△DM=4，△在R t△DEM中，由勾股定理得：EM=5，△NE=MN﹣EM=6﹣5=1，△△NEG=△DEM，△N=△D，△△NEG△△DEM，△=，△=，解得：NG=，
由翻折变换的性质，得AG=NG=，过点G作GP△BC，垂足为P，则BP=AG=，GP=AB=6，当x=2时，CH=﹣x2+3=，△PH=BC﹣HC﹣BP=6﹣﹣=2，
在R t△GPH中，GH===2．
当x=6时，则CM=6，点H和点C重合，点G和点A重合，点M在点D处，点N在点A处．MN同样经过点E，折痕GH的长就是AC的长．所以，GH长为6．
方法二：有上面方法得出CM=2，连接BM，可得BM△GH，则可得△PGH=△HBM，
△GPH和△BCM中，∴△GPH≌△BCM（SAS），∴GH=BM，∴GH=BM==2．5、在正方形ABCD中，
（1）如图1，若点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，且△AOF=90°．求证：AE=BF．（2）如图2，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G．若DC=5，CM=2，求EF的长．
【解析】（1）如图1，△四边形ABCD是正方形，△AB=BC，△ABE=△BCF=90°，
△△AOF=90°，△△BAE+△OBA=90°，又△△FBC+△OBA=90°，△△BAE=△CBF，
在△ABE和△BCF中△，△△ABE△△BCF（ASA）．△AE=BF．
（2）由折叠的性质得EF△AM，
过点F作FH△AD于H，交AM于O，则△ADM=△FHE=90°，
△△HAO+△AOH=90°、△HAO+△AMD=90°，
△△POF=△AOH=△AMD，又△EF△AM，△△POF+△OFP=90°、△HFE+△FEH=90°，
△△POF=△FEH，△△FEH=△AMD，△四边形ABCD是正方形，△AD=CD=FH=5，
在△ADM和△FHE中，△，△△ADM△△FHE（AAS），
△EF=AM===．
6、如图，已知E是正方形ABCD的边AB上一点，点A关于DE的对称点为F，∠BFC=90°，求的值．
【解析】如图，延长EF交CB于M，连接CM，
△四边形ABCD是正方形，△AD=DC，△A=△BCD=90°，
△将△ADE沿直线DE对折得到△DEF，△△DFE=△DFM=90°，
在R t△DFM与R t△DCM中，，△R t△DFM△R t△DCM，△MF=MC，△△MFC=△MCF，
△△MFC+△BFM=90°，△MCF+△FBM=90°，△△MFB=△MBF，△MB=MC，
设MF=MC=BM=a，AE=EF=x，
∵BE2+BM2=EM2，即（2a﹣x）2+a2=（x+a）2，解得：x=a，∴AE=a，∴==3．
8、在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN△DF于H，交AD于N．
（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；
（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A 出发，以2cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；
△判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由．
△连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由．
易证AFE △△CDE ，△AF CD =AE EC ，即222AF t a a t
=-，得AF =at a t -． 易证△MND △△DF A ，△ND DM AF AD =，即ND a t at a
a t
-=-，得ND =t ． △ND =CM =t ，AN =DM =a -t ．
若△MNF 为等腰三角形，则可能有三种情形：
（I ）若FN =MN ，则由AN =DM 知△F AN △△NDM ，
△AF =DM ，即at a t
-=t ，得t=0，不合题意．△此种情形不存在； （II ）若FN =FM ，由MN △DF ，H N =H M ，△DN =DM =MC ，△t=12
a ，此时点F 与点B 重合；
（III ）若FM =MN ，显然此时点F 在BC 边上，如下图所示：
易得△MFC △△NMD ，△FC =DM =a -t ；
又由△NDM △△DCF ，△DN DC DM FC =，即t a a t FC =-，△FC =()a a t t
-． △()a a t t
-=a -t ，△t=a ，此时点F 与点C 重合． 综上所述，当t=a 或t=12
a 时，△MNF 能够成为等腰三角形． 【小结】本题是运动型几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命题证明等知识点．解题要点是：（1）明确动点的运动过程；（2）明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系；（3）运用分类讨论的数学思想，避免漏解．
9、如图所示，在正方形ABCD中，点G是边BC上任意一点，DE⊥A G，垂足为E，延长DE 交AB于点F．在线段A G上取点H，使得A G=DE+HG，连接B H．求证：∠AB H=∠CDE．
证明：如图，在正方形ABCD中，AB=AD，△AB G=△DAF=90°，
△DE△A G，△△2+△EAD=90°，又△△1+△EAD=90°，△△1=△2，
在△AB G和△DAF中，
1 2
90
AB AD
ABG DAF
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠=︒
⎩
，△△AB G△△DAF（A S A），
△AF=B G，A G=DF，△AFD=△B G A，△A G=DE+HG，A G=DE+EF，△EF=HG，
在△AEF和△B HG中，
AF BG
AFD BGA
EF HG
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，△△AEF△△B HG（S A S），△△1=△3，△△2=△3，△△2+△CDE=△ADC=90°，△3+△AB H=△ABC=90°，△△AB H=△CDE．
10、如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME△CD交BC于点E，作MF△BC交CD于点F．求证：AM=EF．
证明：过M点作MQ△AD，垂足为Q，作MP垂足AB，垂足为P，
∵四边形ABCD是正方形，∴四边形MFDQ和PBEM是正方形，四边形APMQ是矩形，∴AP=QM=DF=MF，PM=PB=ME，
∵在△APM和△FME中，
AP MF
APM FME
PM ME
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，∴△APM≌△FME（S A S），∴AM=EF．。