机械优化设计方法

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凸集的性质
二、凸函数
01
函数f(x）为凸集定义域内的函数，若对任何的
及凸集域内的任意两点 x 1 x 2 存在如下不等式：
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f x 1 1 x 2 fx 1 1 x 2
称 f x 是定义在凸集上的一个凸函数。
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三、凸性条件 1.根据一阶导数（函数的梯度）来判断函数的凸性 设f(x)为定义在凸集R上，且具有连续的一阶导数 的函数，则f(x)在R上为凸函数的充要条件是对凸
集R内任意不同两点x 1 x 2 ，不等式
1
钢管所受的压应力
F1
F
B2 h2
2
A TDh
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钢管的临界应力
e
Fe
2E
T2
D2
A 8 B2h2
强度约束条件 x y 可以写成
1
F B2 h2 2
TDh y
稳定约束条件 x e 可以写成
1
F B2 h2 2 2E T2 D2
TDh
8 B2 h2
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机械设计问题一般是非线性规划问题。
实质上是多元非线性函数的极小化问题，因 此，机械优化设计是建立在多元函数的极值 理论基础上的。
机械优化设计问题分为：
无约束优化 无条件极值问题
约束优化
条件极值问题
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第一节 多元函数的方向导数与梯度
一、方向导数
从多元函数的微分学得知，对于一个连续可
微函数f(x)在某一点 x ( k ) 的一阶偏导数为：
x2
x2
f x0
f x0
x1
cos1 x2
cos2
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二、二元函数的梯度
对于二维函数 f x1, x2 在 x 0 点处的梯度
f x0
f
x0
T
f x0
,
x1
x2
x0
设
d
cos1
c
o
s
2
为d方向的单位向量，则有
f d
x0
f
x0 T
d
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确定型模型
设计变量和参数取值确定
随机型模型
设计变量和参数取值随机
(2)按目标函数和约束函数的性质分：
a.目标函数和约束函数都是设计变量的线形函数 称为线性规划问题，其数学模型一般为：
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m in f ( x ) C T x x Rn
s .t . AxB
x0
b.若目标函数是设计变量的二次函数、约束是线 性函数，则为二次规划问题。其一般表达式为：
f ( x k ) ， f ( x k )
，…
f
，
(x
k )
x1
x2
xn
它表示函数f(x)值在x ( k ) 点沿各坐标轴方向的变
化率。
有一个二维函数，如图2-1所示。
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图2-1 函数的方向导数
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其函数在 x 0 点沿d方向的方向导数为
fx 0
x
2
2 f
G
x0
x12 2 f
x2x1
2 f
x1x2
2 f
x22
x0
x0
x10
x
2
0
各阶主子式大于零
例：求函数的 fx 1 ,x 2 x 1 2 x 2 2 4 x 1 2 x 2 5极值
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第四节 凸集、凸函数与凸规划
前面我们根据函数极值条件确定了极小点 x *
其Hesse矩阵G(X*)为正定的。
多元函数f(x)在x * 处取得极值，则极值的条件为
（1） ▽F(X*)=0； 必要条件 （2）Hesse矩阵G(X*)为正定。 充分条件
为无约束优化问题的极值条件
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同学考虑二元函数在 x * 处取得极值的充分必
要条件。
f
f
x
x1
0
f
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图1－3 机械优化设计过程框图
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5
优化设计与传统设计相比，具有如下三个特点：
(1)设计的思想是最优设计；
(2)设计的方法是优化方法； (3)设计的手段是计算机。
二、机械优化设计的发展概况
1.优化设计的应用领域 近几十年来，随着数学规划论和电子计算机的迅 速发展而产生的，它首先在结构设计、化学工程、 航空和造船等部门得到应用。
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人字架的总质量
1
m D ,h2A L2 T D B 2h22
这个优化问题是以D和h为设计变量的二 维问题，且只有两个约束条件，可以用 解析法求解。
除了解析法外，还可以采用作图法求解。
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1-3人字架优化设计的图解
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第三节优化设计问题的数学模型
一、设计变量
在优化设计的过程中，不断进行修改、调整， 一直处于变化的参数称为设计变量。 设计变量的全体实际上是一组变量，可用一 个列向量表示：
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8
2)优化设计这门新技术在传统产业中普及率还 不高。
3)把优化设计与CAD、专家系统结合起来是优 化设计发展的趋势之一。
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三、本课程的主要内容
1.建立优化设计的数学模型 2.选择合适的优化方法 3.编制计算机程序，求得最佳设计参数
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第一章 机械优化设计概述
第一节 应用实例
三、目标函数
目标函数是设计变量的函数，是设计中所 追求的目标。如：轴的质量，弹簧的体积，齿 轮的承载能力等。
在优化设计中，用目标函数的大小来衡量设 计方案的优劣，故目标函数也可称评价函数。
目标函数的一般表示式为：
f(x)f(x1,x2,...xn)
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优化设计的目的就是要求所选择的设计变
则函数f(x)在x * 附近的一切x均满足不等式
f xf x*
所以函数f(x)在 x * 处取得局部极小值，称x * 为
局部极小点。 而优化问题一般是要求目标函数在某一区域内 的全局极小点。 函数的局部极小点是不是一定是全局极小点呢？
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图2-7 下凸的一元函数
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一、凸集
一个点集（或区域），如果连接其中任意两点 x 1 x 2 的线段都全部包含在该集合内，就称该点集为凸集， 否则为非凸集。
fx fx * fx * T x x * 1 2 x x * T G x * x x *
∵ f x* 0
fx fx * 1 2 x x * TG x *x x *
∵ fxfx*0
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则极小点必须满足
xx* TGx* xx* 0
x * 为无约束极小点的充分条件
架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。
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图2-2 人字架的受力
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人字架的优化设计问题归结为：
x DHT 使结构质量
mxmin
但应满足强度约束条件 x y
稳定约束条件 x e
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1
钢管所受的压力
F1
FL h
F(B2 h2)2 h
失稳的临界力
Fe
2EI L2
量使目标函数达到最佳值，即使 f(x)Opt
通常 f(x)min
单目标设计问题
目标函数
多目标设计问题
目前处理多目标设计问题的方法是组合成一个 复合的目标函数，如采用线性加权的形式，即
f( x ) W 1 f1 ( x ) W 2 f2 ( x ) ... W q fq ( x )
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四、优化问题的数学模型
工程设计上的“最优值”(Optimum)或 “最佳值”系指在满足多种设计目标和 约束条件下所获得的最令人满意和最适 宜的值。
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3
一、从传统设计到优化设计
机械设计一般需要经过调查研究(资料 检索)、拟订方案(设计模型)、分析计算(论 证方案)、绘图和编制技术文件等一系列的 工作过程。
图1-1 传统的机械设计过程
...
2 f xk
x1xn
2 f xk
G
xk
x 2 x1
x22
...
x2xn
...
...
...
...
2 f xk
2 f xk
2 f xk
...
xnx1
xnx2
xn2
为N维函数f(x)在点 x ( k ) 处的Hesse矩阵
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泰勒展开写成向量矩阵形式
优化设计的数学模型是对优化设计问题的数 学抽象。
优化设计问题的一般数学表达式为：
m in f ( x ) x Rn
s .t . g u ( x ) 0 u 1, 2,..., m
h v ( x ) 0 v 1, 2,..., p n
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数学模型的分类： (1)按数学模型中设计变量和参数的性质分：
在这一点的泰勒二次近似展开式为：
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fx fx * i n 1 f x x i*x i x * 1 2 i,n j 1 2 x f i x x j *x i x i *x j x * j
2 f xk
x12
2 f xk
2 f xk
x1x2
2 f xk
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2.目前机械优化设计的应用领域
在机械设计方面的应用较晚，从国际范围来说， 是在上世纪60年代后期才得到迅速发展的。
国内近年来才开始重视，但发展迅速，在机构 综合、机械的通用零部件的设计、工艺设计方 面都得到应用。 优化设计本身存在的问题和某些发展趋势主要 有以下几方面：
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1)目前优化设计多数还局限在参数最优化这种数 值量优化问题。结构型式的选择还需进一步研究 解决。
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图2-5 梯度方向与等值面的关系
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第二节 多元函数的泰勒展开
若目标函数f(x)处处存在一阶导数，则极值点 的必要条件一阶偏导数等于零，即
f x* 0
满足此条件仅表明该点为驻点，不能肯定为极值 点，即使为极值点，也不能判断为极大点还是极 小点，还得给出极值点的充分条件
设目标函数在 x * 点至少有二阶连续的偏导数，则
等式约束 不等式约束
h( x) 0
g(x) 0
可行域：凡满足所有约束条件的设计点，它在 设计空间的活动范围。
一般情况下，其设计可行域可表示为：
x
gu (x) 0 hv (x) 0
u 1,2,...,m v 1,2,..., p n
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图2-5 二维问题的可行域
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机械优化设计问题来源于生产实际。 现在举典型实例来说明优化设计的基本问 题。
图1-1所示的人字架由两个钢管构成，其顶点受外力
2F=3×1 0 5 N。人字架的跨度2B=152cm,钢管壁厚T=0.25cm,
钢管材料的弹性模量E=2.1 ×1 0 5 Mpa，材料密度ρ=7.8 ×
1不0 3超k g过/m许3，用许压用应压力应 力y 和 失y =稳4临20界MP应a。力求e 在的钢条管件压下应，力人 字
40
即
f d x0
f x0 T d
fx0T cosf,d
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三、多元函数的梯度
f x0 f x0
f
x0
T
f x0
,
,...
x1
x2
xn
cos 1
沿d方向的方向向量
d
c
o
s
2
...
c
o
s
n
即
f d x0
f x0 T d
fx0T cosf,d
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minF(x)CBTX1XTAX 2
s.t. QXD X0
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XRn
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五、优化问题的几何解释
无约束优化：在没有限制的条件下，对设计 变量求目标函数的极小点。
其极小点在目标函数等值面的中心。
约束优化：在可行域内对设计变量求目标函数 的极小点。 其极小点在可行域内或在可行域边界上。
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第四节优化设计问题的基本解法
求解优化问题的方法：
解析法
数学模型复杂时不便求解
数值法
可以处理复杂函数及没有数学表达式 的优化设计问题
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图1-11 寻求极值点的搜索过程
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第二章 优化设计的数学基础
xx1 x2 ... xnT
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图2-4 设计空间
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二、约束条件
一个可行设计必须满足某些设计限制条件， 这些限制条件称作约束条件，简称约束。
性能约束 约束 （按性质分） 侧面约束
按数学表达ห้องสมุดไป่ตู้式分：
针对性能要求
只对设计变量的取值范 围限制（又称边界约束）
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约束
机械优化设计方法
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第一章：绪论
优化设计（Optimum Design)是60年代发展 起来的一门新的设计方法，是最优化技术 和计算技术在设计领域中应用的结果。
优化方法
解析法
微分求极值
数值计算法
迭代逼近最优值 计算机
优化设计
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2
什么叫机械优化设计
机械优化设计是使某项机械设计在规定 的各种设计限制条件下，优选设计参数， 使某项或几项设计指标获得最优值。
fx 1 (0 ) x 1 ,x 2 0 x 2 fx 1 0 ,x 2 0
d l i m 0
lim x1 0 x2 0
f x 1 (0 ) x 1 ,x 2 0 x 2f x 1 0 ,x 2 0 x 2 x 1
x 1
f
x10,x20 x2 f
x10,x20