专题——中点的妙用(初三数学)

方法专题:中点的妙用

联想是一种非常重要的数学品质。善于联想，才能更好的寻求解决

问题的方法。同学们当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢？学习完这

个专题后，能给你带来一定的启示。

看到中点该想到什么？

1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；

2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于

斜边的一半”；

3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；

4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；

5、有中点时常构造垂直平分线；

6、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；

7、倍长中线

8、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径

定理”

中点辅助线模型

一、等腰三角形中遇到底边上的中点，常

联想“三线合一”的性质

1、如图1所示，在△ABC中，

AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，

MN⊥AC于点N，则MN等于（）

A．6

5B．9

5

C．12

5

D．16

5

二、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”

2、如图，在Ｒｔ⊿ABC中，∠

A=90°,AC=AB,M、N分别在AC、AB上。且AN=BM.O为斜边BC的中点.试判断△OMN的形状，并说明理由.

N M

B O C

A

3、如图，正方形ABCD 的边长为2, 将长为2的线段

QF

的两端放在正方

形相邻的两边上同时滑动．如果点

Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A D C B A 滑动到点A 为止，同时点F 从点B 出发，沿图中所示方

向按B A

D C B

滑动到点B 为止，那么在这个过程中，线段

QF

的

中点M 所经过的路线围成的图形的面积为（

）

A. 2

B. 4－

C.

D.

1

三、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”

4、（直接找线段的中点，应用中位线定理）

如图，已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC=BD ，M 、N 分别是AB 、CD 的

中点，MN 分别交BD 、AC 于点E 、F.你能说出OE 与OF 的大小关系并加以证明吗？

5、（利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理）

如图所示，在三角形

ABC 中，AD 是三角形

ABC ∠BAC 的角平分线，BD ⊥AD ，点D 是垂

足，点E 是边BC 的中点，如果AB=6,AC=14，求DE 的长

图2-1

F

E

D

M

N

C

B

A D

A

B

C 第8题图

Q

F

M

6、（利用平行四边形对角线的交点找中点，应用

中位线定理）

如图所示，AB∥CD，BC∥AD ，DE⊥BE ，

DF=EF，甲从B出发，沿着BA、AD、DF的方向

运动，乙B出发，沿着BC、CE、EF的方向运动，

如果两人的速度是相同的，且同时从B出发，则谁先到达F点？

7、（综合使用斜边中线及中位线性质，证明相等关系

问题）

如图，等腰梯形ABCD中，CD∥AB，对角线AC、

BD相交于点O，60

ACD，点S、P、Q分别是DO、

AO、BC的中点.

求证：△SPQ是等边三角形。

四、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所

截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）

8、如图：梯形ABCD中，∠A=90°,AD//BC,AD=1,BC=2,CD=3,

E为AB中点，求证：DE⊥EC

E

D

C B

A

P

O

A B

C

D

图6-1

S

Q

9、如图甲，在正方形ABCD 和正方形CGEF （CG ＞BC ）中，点B 、C 、G 在同一直线上，M 是AE 的中点，（1）探究线段MD 、MF 的位置及数量关系，并证明；

（2）将图甲中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转，使正方形

CGEF 的

对角线CE 恰好与正方形ABCD 的边BC 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变。（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明

五、有中点时常构造垂直平分线

10、如图所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上中

线，∠C=2∠B.AC=

21

BC 。

求证：△ADC 为等边三角形。

六、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）

11、（1）探索：已知ABC 的面积为a ，

①如图

1，延长

A B C 的边

BC 到点D ，使

CD=BC ，连接DA ，若A C

D 的面积为1S ，则1S =

（用含a 的代数式表示）

②如图2，延长ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD=BC ，AE=CA ，连接DE ，

若DEC 的面积为2S ，则2S = （用含a 的代数式表示）

③在图2的基础上延长AB 到点F,使BF=AB,连接FD ，FE,得到DEF （如图3），若阴影部分的面积为

3S ，3S = （用含a 的代数式表示）

A B

C

D

F

G E

M

图乙

图甲

B

A C E

D F

G

M B D

C

A