几何的五大模型

几何的五大模型

一、等积变换模型

(1)等底等高的两个三角形面积相等

(2)两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比

(3)两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比

如左图S1：S2=a:b

(4)夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图，S△ABC= S△BAD

反之，如果S△ABC= S△BCD，则可知直线AB平行于CD （AB∥CD）

二、鸟头定理(共角定理)模型

(1)两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

(2)共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点如图.(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则S△ABC：S△ADE=(AB×AC):(AD×AE)

推理过程连接BE，再利用等积变换模型即可。

证明：

图（1）中设：过顶点D做底边AE的高为H1；过顶点B做底边AC的高为H2

△ABE中S△ADE：S△ABE=AD：AB

同理S△ADE：S△ABE=H1：H2 AD：AB= H1：H2

又因S△ADE=AE*H1*1/2

S△ABC=AC*H2*1/2 得出S△ADE：S△ABC=AE*H1：AC*H2 所以S△ADE：S△ABC=(AB×AC):(AD×AE)

图（2）中设过顶点D作底边AE的高为H1，过顶点B做底边AC的高为H2

△DBE中，S△ADE：S△ABE=AD：AB

S△ADE：S△ABE= H1：H2 AD：AB= H1：H2

又因S△ADE=AE*H1*1/2

S△ABC=AC*H2*1/2 得出S△ADE：S△ABC=AE*H1：AC*H2

所以S△ADE：S△ABC=(AB×AC):(AD×AE)

三、蝴蝶定理模型

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)

①S1:S2=S4:S3 或者 S1×S3=S2×S4

②AO:OC=(S1+S2):(S4+S3)

证明（1）：

在△ABD中，S1：S2=DO:OB

在△DCB中，S4：S3=DO：OB 得到S1:S2=S4:S3或者 S1×S3=S2×S4(十字相乘法)

证明（2）：

设过D点作底边AC的高为H1，过B点作底边AC的高为H2

(S1+S2):(S4+S3)=（AO*H1*1/2+AO*H2*1/2）：（OC*H1*1/2+ OC*H2*1/2）

约分得到：(S1+S2):(S4+S3)=AO：OC

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造

模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）

①S1：S3=2a：2b

证明：

由AO：OC=DO：OC=a:b

而S1：S2=DO ：OC S1：S2= a:b ，得到S1= a/b*S2 ② 而S2：S3=AO ：OC S2：S3= a:b ，得到S3=S2*b/a S1：S3=2a ：2b

③ S1：S3：S2：S4=2a ：2b ：ab:ab

证明：由上面公式转换推得

③梯形S 的对应份数为(a+b)2

证明：由上面公式转换推得

四、相似模型

相似三角形性质：

(1)AG

AF BC DE AC AE AB AD === (2)S △ADE ：S △ABC=AF 2: AG 2

证明：S △ADE ：S △ABC=DE*AF*1/2：BC*AG*1/2

AG

AF BC DE = S △ADE ：S △ABC=AF 2: AG 2 所谓相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变，它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

A. 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；

B. 相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

五、燕尾定理模型

(1)S △ABG ：S △ACG = S △BGE ：S △CGE =BE: CE

(2)S △BGA ：S △BGC = S △GAF ：S △GCF =AF: CF

(3)S △AGC ：S △BGC = S △AGD ：S △BGD =AD: BD