(2021年整理)2017年全国高中数学联赛模拟试题13

（完整）2017年全国高中数学联赛模拟试题13
编辑整理：
尊敬的读者朋友们：
这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）2017年全国高中数学联赛模拟试题13）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）2017年全国高中数学联赛模拟试题13的全部内容。

2017年全国高中数学联赛模拟试题13
第一试
（时间：8:00—9：20 满分：120）
一、填空题：本大题共8小题,每小题8分，共64分。

1．若正实数,a b 满足84log log 5a b +=和284log log 7b a +=，则48log log a b +的值是 ．
2．如果△ABC 中,tanA, tan B ，tanC 都是整数，且A 〉B>C ，则tan B=
3．设22sin sin()sin()33x ππααα=++
+，当672014
π
α=
时，x 的小数点后第一位数字是 ．
4．若1
1,2,3,(12
a i
b i
c i x =+=+=+=-+，则2||a bx cx ++的值是 ．
5．函数()f x 满足3,1000;
()((5)),1000.x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩
则(84)f 的值是 ．
6．在四面体ABCD 内部有一点O,满足OA=OB=OC=4, OD=l,则四面体ABCD 体积的最大值
为 ．
7．设,A B 是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的长轴端点，P 是椭圆上异于,A B 的点，
自,A B 分别作直线12,,l PA l PB ⊥⊥则12,l l 的交点轨迹方程是
8．某人在黑板上玩写数字的游戏，每次他随机地写上1,2,3,4中的某个数,如果他 最后写上去的两数之和是一个质数,那么游戏结束．则他完成游戏时所写的最后一个数为1的概率为
二、解答题：本大题共3小题，共56分。

9．设函数()1x f x e -=-．
（l)证明:当0x >时,()1x
f x x >+；
（2)数列｛n a ｝满足111,()3n a n n a a e f a +-==，证明：数列｛n a ｝递减且1
2
n n a <．
10．设抛物线()20y ax a =>和双曲线1
y x
=交于点T ，这两条曲线的公切线分别切抛物线于点P ,切双曲线于点Q ．求PQT △的面积．
11．设
123
,,z z z 是3个模不大于1的复数,
12
,w w 是方程
122331()()()()()()0z z z z z z z z z z z z --+--+--=
的两个根． 证明：对j ＝1，2,3，都有{}
12min ,1j j z w z w --≤．
2017年全国高中数学联赛模拟试题13
加试
（时间:9:40-12：10 满分:180)
一、(本小题满分40分)
设p 为给定素数，12,,
,k a a a 是()3k k ≥个整数,均不被p 整除,且模p 互不同余，
设()01,1,2,,k i i i b p a b a a i k -=-=-=其中00a =．记
()()(){
}
1211,k p p p S n n p na na na =≤≤-<<
<
()
()(){}
01'11,k p
p p S n n p nb nb nb p =≤≤-+++=
这里，()p x 表示整数x 被p 除的余数．
证明:2'1
p
S S k =<
+
二、（本小题满分40分）
如图，在锐角ABC △中,已知AB AC >，BAC ∠的角平分线与边BC 交于点D ，点,E F 分别在边,AB AC 上，使得,,,B C F E 四点共圆且满足BE CF BC +=．
求证：ABC △的内心是DEF △的外心．
三、（本题满分50分）
对于任意一个实数数列{}n x ，定义数列{}n y 如下：()12
211111,1n
n n i i y x y x x n ++=⎛⎫
==-≥ ⎪⎝⎭
∑．
求最小的正数λ,使得对任意实数数列{}n x 及一切正整数m ，均有22
11
1m m m i i i i i x y m λ-==≤∑∑
四、(本题满分50分）
对于任意的整数1n ≥．证明:数列2
2
2
2
222,2,2,2,
自某项起，各项对n 同余．
2017年全国高中数学联赛模拟试题13
第一试参考解答
（时间:8:00-9：20 满分：120）
一、填空题:本大题共8小题，每小题8分，共64分。

1．若正实数,a b 满足84log log 5a b +=和284log log 7b a +=，则48log log a b +的值是 ． 解：令2,2x y a b ==，则/35,/37x y y x +=+=，从而解得6,3x y ==． 因此48log log /2/34a b x y +=+=．
2．如果△ABC 中，tanA, tan B,tanC 都是整数,且A 〉B>C ，则tan B=
解:由于 A 〉 B 〉 C,所以B, C 都是锐角， tanB ， tanC 都是正整数,这样
tan tan()A B C =-+tan tan tan tan 1
B C
B C +=
- 0>所以A 是锐角．这时， tan 1,tan 2,tan 3C B A ≥≥≥．我们有
tan tan tan 1tan tan 1
A B
C A B +=≥-, 即(tan 1)(tan 1)2A B --≤．但是tan 12,tan 11A B -≥-≥，比较可知只可能tan 3,tan 2,tan 1A B C ===．
3．设22sin sin()sin()33x ππααα=+++,当672014
π
α=时，x 的小数点后第一位数字是 ．
解：由于211sin()sin ,sin()sin 3232ππαααααα+=-+=+, 这两式相乘得22231sin()sin()cos sin 3344ππαααα++=-．因此3
4
x =，小数点后第一位数字是7．
4．若1
1,2,3,(12
a i
b i
c i x =+=+=+=-+,则2||a bx cx ++的值是 ．
解：注意x 满足210x x ++=,从而31,||1,1x x xx ===．又注意,,a b c 的虚部相等，结合210x x ++=可知，只需针对1,2,3a b c ===进行计算即可．这时我们有2
222||()()
a bx cx a bx cx a bx cx ++=++++
2
2
22222()()()a b c ab x x bc xx x x ac x x =++++++++222a b c ab bc ac =++---．
将1,2,3a b c ===代入，得22||3a bx cx ++=
5．函数()f x 满足3,1000;
()((5)),1000.x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩
则(84)f 的值是 ．
解：记()()(()))n f x f f f x =，其中等号右端有n 个f ．那么(184)(84)((89))((999))f f f f f ==
=
(185)(184)((1004))((1001))f f f f ==(183)(184)((998))((1003))f f f f ==(183)((1000))f f =
(182)((997))f f =(183)(182)((1002))((999))f f f f ==．注意从(184)((999))f f 到(182)((999))f f 这个过程
中，f 的个数减少了2．同样的推理可知(182)(180)(2)((999))((999))((999))f f f f f f ===．继续此过程，就有(2)(3)(2)(2)((999))((1004))((1001))(998)((1003))(1000)997f f f f f f f f f f ======。

6．在四面体ABCD 内部有一点O ，满足OA=OB=OC=4, OD=l ，则四面体ABCD 体积的最大值为 ． 解:首先，固定A,B ，C ， D 四点时，要使ABCD 的体积最大，则D 点到平面ABC 的距离应最大．但D 点在以O 为球心，1为半径的球面上运动，故取最大值时,OD ⊥平面 ABC ． 设O 在平面ABC
的投影点为E,且｜OE ｜=x ．那么, D 到ABC 的距离为1 + x ．而
ABC 的面积2)4
x ≤-．（注：这里用到,若 A , B , C 是半径为 R 的圆上三点，则△ABC
的面积2
4
R ≤
．）
因此，ABCD 的体积2(16)(1)4
x x ≤
-+．考虑函数2()(16)(1),(0,4)f x x x x =-+∈， 易知'2()3216f x x x =--+, 可见()f x 在（0, 3）上有唯一的临界点2x =，
()f x 在(0, 3）的最大值为(2)f =36。

从而所求最大值为．
7．设,A B 是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的长轴端点,P 是椭圆上异于,A B 的点，
自,A B 分别作直线12,,l PA l PB ⊥⊥则12,l l 的交点轨迹方程是
8．某人在黑板上玩写数字的游戏，每次他随机地写上1,2,3,4中的某个数,如果他最后写上去的两数之和是一个质数,那么游戏结束．则他完成游戏时所写的最后一个数为1的概率为
二、解答题：本大题共3小题,共56分.
9．设函数()1x f x e -=-．（l)证明：当0x >时，()1
x
f x x >
+； (2)数列｛n a }满足111,()3n a n n a a e f a +-==，证明：数列｛n a ｝递减且1
2
n n a <．
解： (1)待证式等价于11x e x -<+，即ln(1)x x -<-+．令()ln(1)h x x x =-+，则'1
()11
h x x =-+,
可见，()h x 在[0,)+∞上单调增,因此当0x >时，()(0)0h x h >=．
（2)记1()ln x
e g x x
--=-，则1()n n a g a +=．要证明｛n a }递减，只需证明当0x >时，()g x x <．
事实上,()g x x <等价于1ln x
e x x
-->-，也即1x x e xe --->，注意()1x f x e -=-, 可见上式也等价于()(1())f x x f x >-，即()/(1)f x x x >+，这由(l)即证．
要证明12n n a <，只需证明当0x >时，()2
x
g x <．这等价于/21x x e e x --->．也即/2/2x x e e x -->． 为证此式,令/2/2()x x F x e e x -=--，则'/2/21
()()102
x x F x e e -=+-≥,且等号成立当且仅当
/2/2x x e e -=，即0x =．因此()F x 在[0,)+∞上单调增，()(0)0F x F >=．于是/2/2x x e e x -->得证．
10．设抛物线()20y ax a =>和双曲线1
y x
=交于点T ，这两条曲线的公切线分别切抛物线于点P ,
切双曲线于点Q ．求PQT △的面积．
c
b a
h a
m a (z 3)
(z 2)
(z 1)
C B A
11．设
123
,,z z z 是3个模不大于1
的复数，12,w w 是方程
122331()()()()()()0z z z z z z z z z z z z --+--+--=
的两个根．
证明:对j ＝1，2，3，都有{}
12min ,1j j z w z w --≤．
证 由对称性,只需证明：1112min{||,||}1z w z w --≤．
不妨设112,z w w ≠。

令122331()()()()()()()f z z z z z z z z z z z z z =--+--+--, 由12()3()()f z z w z w =--得 111212133()()()()z w z w z z z z --=--， 因此,若1213||||3z z z z --≤，结论成立．
另一方面，由12233112123122
(),33
z z z z z z w w z z z w w +++=++=，得
121212122()3(2())11
()()()
z w w z w w z w z w z w z w f z -+-++==----， 所以11231231112121312132
3(2())
2(2)113()()()()z z z z z z z z w z w z z z z z z z z -++--+==------，
因此，当
123
121321()()
z z z z z z z --≥--时，结论成立．
下设1213||||3z z z z -->，123
12132|
|1()()
z z z z z z z --<--． 如图,考虑以123(),(),()A z B z C z 为顶点的三角形．
记a m 和a h 分别是三角形ABC 的边BC 上的中线和高，则3,2a bc m bc ><．
由于,2b c <，所以,a a m b m c <<，由此推出,B C ∠∠都小于90． 又因为22222640b c a bc a +-≥->->,所以90A ∠<， 即△ABC 为锐角三角形．所以,△ABC 外接圆半径1R ≤， 于是222a a a m bc Rh m <=≤,矛盾！因此这种情况不可能发生．
综上所述，原命题成立．
2017年全国高中数学联赛模拟试题13
加试
（时间：9:40—12:10 满分：180)
一、(本小题满分40分)
设p 为给定素数，12,,
,k a a a 是()3k k ≥个整数，均不被p 整除，且模p 互不同余，
设()01,1,2,,k i i i b p a b a a i k -=-=-=其中00a =．记
()()(){
}
1211,k p p p S n n p na na na =≤≤-<<
<
()
()(){}
01'11,k p
p p S n n p nb nb nb p =≤≤-+++=
这里，()p x 表示整数x 被p 除的余数．
证明：2'1
p
S S k =<
+
二、（本小题满分40分）
如图,在锐角ABC △中，已知AB AC >，BAC ∠的角平分线与边BC 交于点D ,点,E F 分别在边,AB AC 上，使得,,,B C F E 四点共圆且满足BE CF BC +=．
求证：ABC △的内心是DEF △的外心．
三、（本题满分50分）
对于任意一个实数数列{}n x ,定义数列{}n y 如下：()12
211111,1n
n n i i y x y x x n ++=⎛⎫
==-≥ ⎪⎝⎭
∑．
求最小的正数λ，使得对任意实数数列{}n x 及一切正整数m ，均有22
11
1n m m i i i i i x y m λ-==≤∑∑
四、（本题满分50分）
对于任意的整数1n ≥．证明：数列2
2
2
2
222,2,2,2,
自某项起，各项对n 同余．。