18年高考真题——理科数学(全国1卷)

2018年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（全国I 卷）
一．选择题（共12 小题，每小题 5 分，共60 分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．设
1 i
z 2i
1 i
，则| z|（）（A）0 （B）
1
2
（C）1 （D） 2
2．已知集合 2
A x | x x 2 0 ，则e R A （）
（A ）x| 1 x 2 （B）x| 1 x 2 （C）x| x 1 x | x 2 （D）x |x 1 x|x 2 3．某地区经过一年的新农村建设，农
村的经济收入增加了一倍，实现翻番。

为
更好地了解该地区农村的经济收入变化情
况，统计了该地区新农村建设前后农村的
经济收入构成比例，得到如右饼图。

则下
面结论中不正确的是（）
（A ）新农村建设后，种植收入减少
（B）新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
（C）新农村建设后，养殖收入增加了一倍
（D）新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．设S n 为等差数列a n 的前n项和，若3S3 S2 S4 ，a1 2，则a5 （）
（A ）12 （B）10 （C）10 （D）12
5．设函数 3 1 2
f x x a x ax，若f x 为奇函数，则曲线y f x 在点0,0 处的切线方程
为（）（A）y 2x （B）y x （C）y 2x （D）y x 6．在ABC 中，AD 为BC 边上的中线， E 为AD 的中点，则EB （）
（A ）3 1
AB AC （B）
4 4
1 3
AB AC （C）
4 4
3 1
AB AC （D）
4 4
1 3
AB AC
4 4
7．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（）
（A ）3 3
4 （B）2 3
3
（C）
3 2
4
（D）
3
2
8．设抛物线 C ： 2 4
y x 的焦点为F ，过点2,0 且斜率为2
3
的直线与 C
交于M , N 两点，则
FM FN （）（A）5 （B）6 （C）7 （D）8
9．已知函数
f x
x
e x
ln x x 0
，g x f x x a 。

若g x 存在2 个零点，则a的取值范围
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是（）（A）1,0 （B）0, （C）1,（D）1, 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。

此图由三个半
圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB, AC 。

ABC 的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III 。

在整
个图形中随机取一点，此点取自I，II ，III 的概率分别记为p1, p2, p3 ，则（）
（A ）p p （B）p
1
p3 （C）p2 p3 （D）p1 p2 p3
1 2
11．已知双曲线 C ：
2
x
3
2 1
y ，O 为坐标原点， F 为C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线
的交点分别为M , N 。

若OMN 为直角三角形，则| MN | （）
（A ）
3
2
（B）3 （C）2 3 （D）4
12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积
的最大值为（）（A）3 3
4 （B）2 3
3
（C）
3 2
4
（D）
3
2
二．填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共20 分）
x 2y 2 0
13．若x, y 满足约束条件x y 1 0 ，则z 3x 2y的最大值为________。

y 0
14．记S n 为数列a n 的前n项和，若S n 2a n 1，则S6 _____________ 。

15．从2 位女生， 4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有
_____________ 种。

（用数字填写答案）
16．已知函数 f x 2sin x sin 2x，则 f x 的最小值是__________。

三．解答题（共70 分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23 题为选考题，考生根据要求作答）
（一）必考题：60 分。

17．（本小题12 分）在平面四边形ABCD 中，0
ADC 90 ，
A 45 ，A
B 2 ，BD 5 。

⑴求cos ADB ；⑵若DC 2 2 ，求BC 。

18．（本小题12 分）如图，四边形ABCD 为正方形，E,F 分别
为AD ,BC 的中点，以DF 为折痕把DFC 折起，使点C 到达点P 的
位置，且PF BF 。

⑴证明：平面PEF 平面ABFD ；⑵求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值。

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19．（本小题12 分）设椭圆 C ：
2
x
2
2 1
y 的右焦点为 F ，过F 的直线l 与C 交于A,B 两点，点M
的坐标为2,0 。

⑴当l 与x轴垂直时，求直线AM 的方程；⑵设O 为坐标原点，证明：OMA OMB 。

20．（本小题12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作
检验，如检验出不合格品，则更换为合格品。

检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果
决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p 0 p 1 ，且各件产品是否为
不合格品相互独立。

⑴记20件产品中恰有2件不合格品的概率为 f p ，求f p 的最大值点p；⑵现对一
箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的p作为p 的值。

已知每件产品的检验费用为2元，
若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。

①若不对该箱余下的产品作
检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决
策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
21．（本小题12 分）已知函数
1
f x x a ln x
x。

⑴讨论f x 的单调性；⑵若 f x 存在两个极
值点x1,x2 ，证明：f x f x
1 2
x x
1 2
a 2 。

（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程（]本小题10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的方程为y k | x | 2 。

以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
2
2 2 cos
3 0。

⑴求C2 的直角坐标方程；⑵若C1 与C2 有且仅有三个公共点，求C1 的方程。

23．[选修4—5：不等式选讲]（本小题10 分）已知f x | x 1| |ax 1| 。

⑴当a 1时，求不等式
f x 1的解集；⑵若x 0,1 时不等式 f x x 成立，求a的取值范围。

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2018 年普通高等学校招生全国统一考试（I 卷）解答一．选择题CBABD AADCA BA
二．填空题13．6；14．63 ；15．16；16．3 3 2
17．解：⑴在ABD 中，由正弦定理得
BD AB
sin A sin ADB
5 2
，故0
sin 45 sin ADB
，得sin
2
ADB 。

5
由题设知，0
ADB 90 ，所以
2 2
3 cos ADB 1 sin ADB ；
5
⑵由题设及⑴知，
2
cos BDC sin ADB 。

在BCD 中，由余弦定理得
5
2 2 2 2 cos 25
BC BD DC BD DC BDC ，所以BC 5 。

18．证明：⑴由题BF PF ，BF EF ，又PF EF F ，故BF 平面PEF 。

又BF 平面ABFD ，所以平面PEF 平面ABFD ；
⑵作PH EF ，垂足为H 。

由⑴得，PH 平面ABFD 。

以H 为坐标原点，HF 的方向为y 轴正方向，
|BF |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz 。

由⑴知DE PE ，又DP 2，DE 1，
故PE 3。

又PF 1，EF 2 ，故P E P F。

可得
3 3 3 PH ，EH 。

则H 0,0,0 ，P 0,0, ，
2 2 2
3
D 1, ,0 ，
2
3 3
DP 1, , ，且
2 2
3
HP 为平面ABFD 的法向量。

设DP 与平面ABFD 所
0, 0,
2
成角为，则
HP DP 3 4 3
sin | |
4
| HP | |DP | 3
为所求。

19．解：⑴由已知得 F 1,0 ，l ：x 1。

由题可知 A 1, 2 2 或A 1, 2 2 ，故 2
k ，
AM
2
所以AM 的方程为 2 2
y x ；
2
⑵当l 与x轴重合时，OMA OMB 00 ；当l 与x轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以
OMA OMB ；当l 与x轴不重合也不垂直时，设l ：y k x 1 k 0 ，A x1,y1 ,B x2 , y2 ，则
x1 2 ，x2 2 ，直线MA, MB 的斜率之和为k k
MA MB
k x 1 k x 1 y y
1 2
1 2
x 2 x 2 x 2 x 2 1 2 1 2
第 4 页共 4 页
2x x 3 x x 4
1 2 1 2
x 2 x 2
1 2
y k x。

由 2
x
2
2
y
1
1
得 2 2 2 2
2k 1 x 4k x 2k 2 0 ，故
2
4k
x x
1 2 2
2k 1
k
，2
2k 2 x x
1 2 2
2k 1 ，因此
2 2
2k 2 4k
2x x 3 x x 4 2 3 4 0
1 2 1 2 2 2
2k 1 2k 1
，从而k k 0 ，故
MA MB
MA, MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB 。

综上，OMA OMB 。

20．解：⑴由题可知
18
2 2
f p C20 p 1 p ，因此
18 17
2 2
f p C20 2p 1 p 18p 1 p
17
2
2C p 1 10 p 1 p 。

令 f p 0，得p 0.1。

当p 0,0.1 时， f p 0；当p 0.1,1 时，
20
f p 0。

所以f p 的最大值点为p0 0.1；
⑵由⑴知p 0.1。

①令Y 表示余下的180 件产品中的不合格品件数，依题意知Y B 180,0.1 ，X 20 2 25Y 40 25Y ，所以EX E 40 25Y 40 25EY 490；
②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400 元。

由于EX 400 ，故应该对余下的产品作检验。

21．解：⑴f x 的定义域为0, ，f x
2
1 a x ax 1
1
2 2
x x x。

①若a 2 ，则f x 0，
当且仅当a
x
2 4
2
a a
时f x 0，故f x 在0, 单调递减；②若a 2，令f x 0得，x 。

1 2
当0 2 4
a a
x 或
2
2 4
a a
x 时f x 0，当
2
2 4 2 4
a a a a
x 时f x 0。

2 2
所以f x 在
2 4 2 4
a a a a
0, , ,
2 2
单调递减，在
2 4 2 4
a a a a
,
2 2
单调递增；
⑵由⑴知， f x 存在两个极值点当且仅当 a 2 。

因f x 的两个极值点x1, x2 满足 2 1 0
x ax ，
故x1 x2 1。

不妨设x1 x2，则x2 1。

因f x f x x x x
1 ln ln 2ln
1 2 1 2 2
1 a
2 a
1 x x x x x x x
1 2 1 2 1 2
，
2
x
2
故
f x
f x
1
1
2
a 2
x
2ln x
2
2
x x
x
1
2
2。

设函数
1
g x
x 2ln x x 1 x
，由⑴知 g x 在
1
0, 单调递减， 而 g
1 0，故 x 1时 g x
0。

故
x 2 2ln x 2 0
x
2
，即
f x
f x
1 2 x x
1
2
a 2。

第 5 页 共 5 页
22．解：⑴由x cos ，y sin 得 C 的直角坐标方程为
2
2 2 2
3 0
x y x ，即
2 2
x 1 y 4；
⑵由⑴知C2 是圆心为 A 1,0 ，半径为 2 的圆。

由题知，C1 是过点 B 0,2 且关于y 轴对称的两条射线。

记y 轴右边的射线为l，y 轴左边的射线为l2 。

由于B 在圆C2 的外面，故C1 与C2 有且仅有三个公共
1
点等价于l1 与C2 只有一个公共点，且l2 与C2 有两个公共点；或l2与C2 只有一个公共点，且l1 与C2 有两个
公共点。

当l 与C2 只有一个公共点时，A到l1 所在直线的距离为2，所以
1 | k
2 |
2
k 1
2 ，故
4
k 或
3
经检验，当k 0时，l 与C2 没有公共点；当
1
4
k 时，
3
l 与C2 只有一个公共点，l 2与C2 有两个公共点。

1
当l 与C2 只有一个公共点时，A到l 2所在直线的距离为2，所以
2 |k 2 |
2
k 1
2 ，故
4
k 或k 0 。

经检验，
3
当k 0时，l 与C2 没有公共点；
当
1
4
k 时，
3
l 与C2 没有公共点。

综上，所求C1 的方程为
2
4
y | x | 2 。

3
2 x 1
23．解：⑴当 a 1时f x 2x 1 x 1
2 x 1 ，故不等式 f x 1的解集为| 1
x x ；
2
⑵当x 0,1 时f x | x 1| | ax 1| x 成立等价于当x 0,1 时|ax 1| 1成立。

若 a 0 ，则
当x 0,1 时|ax 1| 1；若a 0 ，由| ax 1| 1得0 x 2
a
，故
2
a
1，即0 a 2 。

综上，0 a 2 。

第 6 页共 6 页。