自考《线性代数》重难点解析与全真练习

第⼀章　⾏列式
⼀、重点
1、理解：⾏列式的定义，余⼦式，代数余⼦式。

2、掌握：⾏列式的基本性质及推论。

3、运⽤：运⽤⾏列式的性质及计算⽅法计算⾏列式，⽤克莱姆法则求解⽅程组。

⼆、难点
⾏列式在解线性⽅程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等⽅⾯的应⽤。

三、重要公式
1、若A为n阶⽅阵，则│kA│= kn│A│
2、若A、B均为n阶⽅阵，则│AB│=│A│。

│B│
3、若A为n阶⽅阵，则│A*│=│A│n-1
若A为n阶可逆阵，则│A-1│=│A│-1
4、若A为n阶⽅阵，λi（i=1，2，…，n）是A的特征值，│A│＝∏λi
四、题型及解题思路
1、有关⾏列式概念与性质的命题
2、⾏列式的计算（⽅法）
1）利⽤定义
2）按某⾏（列）展开使⾏列式降阶
3）利⽤⾏列式的性质
①各⾏（列）加到同⼀⾏（列）上去，适⽤于各列（⾏）诸元素之和相等的情况。

②各⾏（列）加或减同⼀⾏（列）的倍数，化简⾏列式或化为上（下）三⾓⾏列式。

③逐次⾏（列）相加减，化简⾏列式。

④把⾏列式拆成⼏个⾏列式的和差。

4）递推法，适⽤于规律性强且零元素较多的⾏列式
5）数学归纳法，多⽤于证明
3、运⽤克莱姆法则求解线性⽅程组
若D =│A│≠0，则Ax=b有解，即
x1=D1/D，x2= D2/D，…，xn= Dn/D
其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。

注意：克莱姆法则仅适⽤于⽅程个数与未知数个数相等的⽅程组。

4、运⽤系数⾏列式│A│判别⽅程组解的问题
1）当│A│＝0时，齐次⽅程组Ax＝0有⾮零解；⾮齐次⽅程组Ax＝b不是解（可能⽆解，也可能有⽆穷多解）
2）当│A│≠0时，齐次⽅程组Ax＝0仅有零解；⾮齐次⽅程组Ax＝b有解，此解可由克莱姆法则求出。

⼀、重点
1、理解：矩阵的定义、性质，⼏种特殊的矩阵（零矩阵，上（下）三⾓矩阵，对称矩阵，对⾓矩阵，逆矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，分块矩阵）
2、掌握：
1）矩阵的各种运算及运算规律
2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种⽅法
3）矩阵的初等变换⽅法
⼆、难点
1、矩阵的求逆矩阵的初等变换
2、初等变换与初等矩阵的关系
三、重要公式及难点解析
1、线性运算
1）交换律⼀般不成⽴，即AB≠BA
2）⼀些代数恒等式不能直接套⽤，如设A，B，C均为n阶矩阵 （A+B）2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2
（AB）2=（AB）（AB）≠A2B2
（AB）k≠AkBk
（A+B）（A-B）≠A2-B2
以上各式当且仅当A与B可交换，即AB=BA时才成⽴。

3）由AB=0不能得出A=0或B=0
4）由AB=AC不能得出B=C
5）由A2=A不能得出A=I或A=0
6）由A2=0不能得出A=0
7）数乘矩阵与数乘⾏列式的区别
2、逆矩阵
1）（A–1）–1＝A
2）（kA） –1=（1/k）A–1，（k≠0）
3）（AB）–1=B–1A–1
4）（A–1）T=（AT）–1
5）│A–1│=│A│–1
3、矩阵转置
1）（AT）T＝A
2）（kA） T=kAT，（k为任意实数）
3）（AB）T=BTAT
4）（A+B）T=AT+BT
4、伴随矩阵
1）A*A＝A A*=│A│I （AB）*=B*A*
2）（A*）*=│A│n-2 │A*│=│A│n-1 ，（n≥2）
3）（kA）*=kn-1A* （A*）T=（AT）*
4）若r（A）=n，则r （A*）=n
若r（A）=n-1，则r （A*）=1
若r（A）
5）若A可逆，则（A*）-1=（1/│A│）A，（A*）-1＝（A-1）*，A*＝│A│A-1
5、初等变换（三种）
1）对调⼆⾏（列）
2）⽤k（k≠0）乘以某⾏（列）中所有元素
3）把某⾏（列）的元素的k倍加⾄另⼀⾏（列）的对应元素
注意：⽤初等变换①求秩，⾏、列变换可混⽤
②求逆阵，只能⽤⾏或列变换
③求线性⽅程组的解，只能⽤⾏变换
6、初等矩阵
1）由单位阵经过⼀次初等变换所得的矩阵
2）初等阵P左（右）乘A，所得PA（AP）就是A作了⼀次与P同样的⾏（列）变换 3）初等阵均可逆，且其逆为同类型的初等阵
E-1ij=Eij，E（-1）i（k）=Ei（1/k），E（-1）ij（k）=Eij（-k）
7、矩阵⽅程
1）含有未知矩阵的等式
2）矩阵⽅程有解的充要条件
AX=B有解<==>B的每列可由A的列向量线性表⽰
<==>r（A）=r（A┆B）
四、题型及解题思路
1、有关矩阵的概念及性质的命题
2、矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置）
3、矩阵可逆的判定
n阶⽅阵A可逆<==>存在n阶⽅阵B，有AB=BA=I
<==>│A│≠0
<==>r（A）=n
<==>A的列（⾏）向量组线性⽆关
<==>Ax=0只有零解
<==>任意b，使得Ax=b总有解
<==>A的特征值全不为零
4、矩阵求逆
1）定义法：找出B使AB=I或BA=I
2）伴随阵法：A-1=（1/│A│）A*
注意：⽤该⽅法求逆时，⾏的代数余⼦式应竖着写在A*中，计算Aij时不要遗漏（-1）i+j，当n>3时，通常⽤初等变换法。

3）初等变换法：对（A┆I）只⽤⾏变换化为（I┆A-1）
4）分块矩阵法
5、解矩阵⽅程AX=B
1）若A可逆，则X=A-1B，可先求出A-1，再作乘法A-1B求出X
2）若A可逆，可⽤初等变换法直接求出X
（A┆B）初等⾏变换（I┆X）
3）若A不可逆，则可设未知数列⽅程⽤⾼斯消元法化为阶梯型⽅程组，然后对每列常数项分别求解。

⼀、重点
1、理解：向量、向量运算以及向量的线性组合与线性表出，极⼤线性⽆关组的概念，线性相关与线性⽆关的概念，向量组的秩的概念，矩阵的秩的概念及性质，基础解系的概念。

2、掌握：向量的运算及运算规律，矩阵秩的计算，齐次、⾮齐次线性⽅程组解的结构。

3、运⽤：线性相关、线性⽆关的判定，线性⽅程组解的判断，齐次、⾮齐次线性⽅程组的解法。

⼆、难点
线性相关、线性⽆关的判定。

向量组的秩与矩阵的秩的关系。

⽅程组与向量组线性表⽰及秩之间的联系。

三、重点难点解析
1、 n维向量的概念与运算
1）概念
2）运算
若α＝（a1，a2，…，an）T，β＝（b1，b2，…，bn）T
①加法：α＋β＝（a1+b1 ，a2+b2 ，…，an+bn）T
②数乘：kα＝（ka1，ka2，…，kan）T
③内积：（α。

β）＝a1b1+a2b2+，…，+anbn＝αTβ＝βTα
2、线性组合与线性表出
3、线性相关与线性⽆关
1）概念
2）线性相关与线性⽆关的充要条件
①线性相关
α1，α2，…，αs线性相关
<==>齐次⽅程组（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T＝0有⾮零解
<==>向量组的秩r（α1，α2，…，αs）＜s （向量的个数）
<==>存在某αi（i=1，2，…，s）可由其余s-1个向量线性表出
特别的：n个n维向量线性相关<==>│α1α2…αn│＝0
n+1个n维向量⼀定线性相关
②线性⽆关
α1，α2，…，αs线性⽆关
<==>齐次⽅程组（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T＝0只有零解
<==>向量组的秩r（α1，α2，…，αs）＝s （向量的个数）
<==>每⼀个向量αi（i=1，2，…，s）都不能⽤其余s-1个向量线性表出
③重要结论
A、阶梯形向量组⼀定线性⽆关
B、若α1，α2，…，αs线性⽆关，则它的任⼀个部分组αi1，αi2，…，αi t必线性⽆关，它的任⼀延伸组必线性⽆关。

C、两两正交，⾮零的向量组必线性⽆关。

4、向量组的秩与矩阵的秩
1）极⼤线性⽆关组的概念
2）向量组的秩
3）矩阵的秩
①r（A）＝r（AT）
②r（A+B）≤r（A）＋r（B）
③r（kA）＝r（A），k≠0
④r（AB）≤min（r（A），r（B））
⑤如A可逆，则r（AB）＝r（B）；如B可逆，则r（AB）＝r（A）
⑥A是m×n阵，B是n×p阵，如AB＝0，则r（A）＋r（B）≤n
4）向量组的秩与矩阵的秩的关系
①r（A）＝A的⾏秩（矩阵A的⾏向量组的秩）＝A的列秩（矩阵A的列向量组的秩）
②经初等变换矩阵、向量组的秩均不变
③若向量组（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表出，则r（Ⅰ）≤r（Ⅱ）。

特别的，等价的向量组有相同的秩，但秩相同的向量组不⼀定等价。

5、基础解系的概念及求法
1）概念
2）求法
对A作初等⾏变换化为阶梯形矩阵，称每个⾮零⾏中第⼀个⾮零系数所代表的未知数是主元（共有r（A）个主元），那么剩于的其他未知数就是⾃由变量（共有n- r（A）个），对⾃由变量按阶梯形赋值后，再带⼊求解就可得基础解系。

6、齐次⽅程组有⾮零解的判定
1）设A是m×n矩阵，Ax＝0有⾮零解的充要条件是r（A）＜n，亦即A的列向量线性相关。

2）若A为n阶矩阵，Ax＝0有⾮零解的充要条件是│A│＝0
3）Ax＝0有⾮零解的充分条件是m＜n，即⽅程个数＜未知数个数
7、⾮齐次线性⽅程组有解的判定
1）设A是m×n矩阵，Ax＝b有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增⼴矩阵（A增）的秩，即r（A）＝r（A增）
2）设A是m×n矩阵，⽅程组Ax＝b
①有解<==> r（A）＝r（A增）＝n
②有⽆穷多解<==> r（A）＝r（A增）
③⽆解<==> r（A）+1=r（A增）
8、⾮齐次线性⽅程组解的结构
如n元线性⽅程组Ax＝b有解，设，η2，…，ηt是相应齐次⽅程组Ax＝0的基础解系，ξ是Ax＝b的⼀个解，则
k1η1+k2η2+…+ktηt+ξ是Ax＝b的通解。

1）若ξ1，ξ2是Ax＝b的解，则ξ1-ξ2是Ax＝0的解
2）若ξ是Ax＝b的解，η是Ax＝0的解，则ξ+kη仍是Ax＝b的解
3）若Ax＝b有解，则Ax＝0只有零解；反之，当Ax＝0只有零解时，Ax＝b没有⽆穷多解（可能⽆解，也可能只有解）
四、题型及解题思路
1、有关n维向量概念与性质的命题
2、向量的加法与数乘运算
3、线性相关与线性⽆关的证明
1）定义法
设k1α1+k2α2+…+ksαs＝0，然后对上式做恒等变形（要向已知条件靠拢！）
①由B＝C可得AB＝AC，因此，可按已知条件的信息对上式乘上某个A
②展开整理上式，直接⽤已知条件转化为齐次线性⽅程组，最后通过分析论证k1，k2，…，ks的取值，得出所需结论。

2）⽤秩（等于向量个数）
3）齐次⽅程组只有零解
4）反证法
4、求给定向量组的秩和极⼤线性⽆关组
多⽤初等变换法，将向量组化为矩阵，通过初等变换来求解。

5、求矩阵的秩
常⽤初等变换法。

6、求解齐次线性⽅程组与⾮齐次线性⽅程组。