大二线性代数期末考试试题

( A B) 1 ( A B)T AT BT A1 B 1 ．
0 0 1 0 0 0 1 0
1 0
0 2
0 0
2 1 2 0
0 1
0 0
2 1
，
x1 x2
2 1
；
0 0 1 0 0 0 1 0 x3 0
1 2 3 4 a 3 时， r( A, b) r( A) 2 n ，有无穷多解，此时 ( A, b) 0 2 3 2
0 0 0 0
线性代数
选择题
1．已知 2 阶行列式 a1 a2 m ， b1 b2 n ，则 b1
b2 （ B ）
b1 b2
c1 c2
a1 c1 a2 c2
A． m n
B． n m
C． m n
D． (m n)
b1 a1 c1
b2
b1
a2 c2
a1
b2 b1
a2
c1
b2 m n n m ． c2
a 19．已知 A 1/ 2
0
1/ 2 b 0
0 0 是正交矩阵，则 a b _____________． 1
由第 1、2 列正交，即它们的内积 1 (a b) 0 ，得 a b 0． 2
20．二次型 f (x1 , x2 , x3 ) 4x1x2 2x1x3 6x2 x3 的矩阵是_____________．
求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）．
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 解： ( A, b) 0 2 a 2 0 2 a 2 0 2 a 2 ．
2 2 3 6 0 2 3 2 0 0 a 3 0
1 2 3 4 1 2 0 4 a 3 时，r( A, b) r( A) 3 ，有惟一解，此时 ( A, b) 0 2 a 2 0 2 0 2
A 有特征值 3 ，则 1 A2 有特征值 1 (3) 2 3 ， 1 A2 1 有特征值 1 ．
3
3
3
3
1 2 2 18．设矩阵 A 2 x 0 的特征值为 4,1,2 ，则数 x _____________．
2 0 0
由1 x 0 4 1 2 ，得 x 2．
16．齐次线性方程组
2x1x1x2x
x3 2 3
x3
0
0
的基础解系所含解向量的个数为_____________．
A
1 2
1 1
13
1 0
1 3
11 ，基础解系所含解向量的一个特征值是 3 ，则矩阵 1 A2 1 必有一个特征值为_________． 3
AX
B．
0 0 1
1 3
1 2 3 1 0 0 1 2 0 1 0 3 解：（1） ( A, E) 0 1 2 0 1 0 0 1 0 0 1 2
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
1 0
0 1
0 0
1 0
2 1
1 2
，
A 1
1 0
2 1
1 2 ；
0 0 1 0 0 1
0 0 1
（2）
X
A1B
1 0
2 1
1 1 2 2
4 4 9 5 0 11 ．
0 0 1 1 3 1 3
25．问
a
为何值时，线性方程组
x1 2x2 3x3 4 2x2 ax3 2 有惟一解？有无穷多解？并在有解时
2x1 2x2 3x3 6
1 0
0
0 2 0
0 3 0
2 1 2 0 0 0
0 1 0
0 3/2
0
2 1 0
，
xx12 x3
2 1
3 2
x3 x3
，通解为
2 1 0
k
0 3/ 1
2
，其中
k
为
任意常数．
2 0 0 26．设矩阵 A 0 3 a 的三个特征值分别为1,2,5 ，求正的常数 a 的值及可逆矩阵 P，使
2009 2010
2007 2008 2000 2000 7 8 2 ． 2009 2010 2000 2000 9 10
12．设矩阵
A
1 2
1 0
13
，
B
2 0
0 1
，则
AT
B
_____________．
1 AT B 1
3
2 0 1
2 0
10
2 2 6
2 0 ． 1
13．设 (3,1,0,2)T ， (3,1,1,4)T ，若向量 满足 2 3 ，则 __________．
0 2 1 2 0 3 ． 1 3 0
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
a 21．计算行列式 D a 2
a a3
b b2 b b3
c c 2 的值． c c3
a
b
c
abc
111
解： D a 2
b2
c 2 a 2 b 2 c 2 abc a b c
a a3 b b3 c c3 a3 b3 c3
，取
p2
1 0 ；
0 2 1 0 0 0 x3 0
0
对于 3 5 ，解 (E A)x 0 ：
3 E A 0
0 2
0 1 2 0
0 1
0 1
，
x1 x2
0 x3
，取
p3
0 1 ．
0 2 2 0 0 0 x3 x3
1
0 令 P ( p1 , p2 , p3 ) 1
3 2 (9,3,3,12)T (6,2,0,4)T (3,5,3,8)T ．
14．设 A 为 n 阶可逆矩阵，且 | A | 1 ，则| | A1 | _____________． n
| A1 | 1 n ． | A|
15．设 A 为 n 阶矩阵，B 为 n 阶非零矩阵，若 B 的每一个列向量都是齐次线性方程组 Ax=0 的解，则 | A | _____________． n 个方程、 n 个未知量的 Ax=0 有非零解，则 | A | 0．
2
2 4 6
解：（1） A BT C 1 (1,2,3) 1 2 3 ；
3
3 6 9
（2）注意到 CBT
2 (1,2,3) 1 13 ，所以
3
A2
(BT C)(BT C)
BT
(CB T
)C
13BT C
13A
13
2 1
4 2
6 3 ．
3 6 9
23．设向量组 1 (2,1,3,1) T , 2 (1,2,0,1) T , 3 (1,1,3,0)T , 4 (1,1,1,1) T ，求向量组的
5．已知 A 是一个 3 4 矩阵，下列命题中正确的是（ C ）
A．若矩阵 A 中所有 3 阶子式都为 0，则秩(A)=2
B．若 A 中存在 2 阶子式不为 0，则秩(A)=2
C．若秩(A)=2，则 A 中所有 3 阶子式都为 0
D．若秩(A)=2，则 A 中所有 2 阶子式都不为 0
6．下列命题中错．误．的是（ C ） A．只含有 1 个零向量的向量组线性相关
0
0 0
1 0 0
1 0 0
0
2 1
0
0 0
1 0 0
1 0 0
0 10
0
0 0
1 0 0
1 0 0
0 1 0
，向量组的秩为
3，
1
,
2
,
4
是一个极大无关组， 3 1 2 ．
1 2 3
1
24．已知矩阵 A 0 1 2 ， B 2
4 5
．（1）求
A 1
；（2）解矩阵方程
C．3 必能由 1 , 2 , 线性表出
D． 必能由 1 , 2 , 3 线性表出
8．设 A 为 m n 矩阵， m n ，则方程组 Ax=0 只有零解的充分必要条件是 A 的秩（ D ）
A．小于 m
B．等于 m
C．小于 n
D．等于 n
2007 2008
11．行列式
的值为_____________．
1 E A 0
0 2
0 1 2 0
0 1
0 1
，
x1 x2
0
x3
0 ，取 p1 1 ；
0 2 2 0 0 0 x3 x3
1
对于 2 2 ，解 (E A)x 0 ：
0 E A 0
0 1
0 0 2 0
1 0
0 1
x1
， x2
x1 0
a2 b2 c2
1 abc 0
0
1 ba b2 a2
1
ca c2 a2
abc
ba b2 a2
ca c2 a2
abc(b a)(c a)
1 ba
1 ca
abc(b a)(c a)(c b) ．
22．已知矩阵 B (2,1,3) ， C (1,2,3) ，求（1） A BT C ；（2） A2 ．
0 a 3
P
1
AP
1 0
0 2
0 0 ．
0 0 5
200 解：由 | A | 0 3 a 2 3 a 2 (9 a 2 ) 1 2 5 ，得 a 2 4 ， a 2 ．
a3 0a3
2 E A 0
0
0 3 2
0 2 ． 3
对于 1 1，解 (E A)x 0 ：
A． 8
B． 2
C．2
D．8
|| B | A || 2 A | (2)3 | A | 8 ．
a11 a12 a13
a11 3a12 a13
1 0 0
1 0 0
4．A a21 a22 a23 ，B a21 3a22 a23 ，P 0 3 0 ，Q 3 1 0 ，则 B （ B ）
a31 a32 a33
a31 3a32 a33
0 0 1
0 0 1
A．PA
B．AP
C．QA
D．AQ
a11 a12 a13 1 0 0 a11 3a12 a13 AP a21 a22 a23 0 3 0 a21 3a22 a23 B ．
a31 a32 a33 0 0 1 a31 3a32 a33
1 0
0 1
，则
P
是可逆矩阵，使
P
1
AP
1 0
0 2
0 0 ．
1 0 1
0 0 5
四、证明题（本题 6 分）
27．设 A，B， A B 均为 n 阶正交矩阵，证明 ( A B) 1 A1 B 1 ．
证：A，B， A B 均为 n 阶正交阵，则 AT A1 ， BT B 1 ， ( A B)T ( A B) 1 ，所以
B．由 3 个 2 维向量组成的向量组线性相关
C．由 1 个非零向量组成的向量组线性相关 D．2 个成比例的向量组成的向量组线性相关
7．已知向量组 1 , 2 , 3 线性无关， 1 , 2 , 3 , 线性相关，则（ D ）
A．1 必能由 2 , 3 , 线性表出
B． 2 必能由 1 , 3 , 线性表出
2．设 A , B , C 均为 n 阶方阵， AB BA ， AC CA ，则 ABC （ D ）
A．ACB
B．CAB
C．CBA
D．BCA
ABC ( AB)C (BA)C B( AC) B(CA) BCA ． 3．设 A 为 3 阶方阵，B 为 4 阶方阵，且 | A | 1，| B | 2 ，则行列式 || B | A | 之值为（ A ）
秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量．
2 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1
解：
A
(1
,
2
,
3
,
4
)
1 3 1
2 0 1
1 3 0
1 11
1
3 2
2 0 1
1 3 1
1 11
0
0 0
1 3 1
1 3 1
0
2 1
1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1