2021-2022学年人教版八年级上学期期中考试数学试卷含答案解析

2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列图形中是轴对称图形的有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
2．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的度数是（）
A．15°B．25°C．30°D．10°
3．如图，AB∥CD，AD∥BC，AC与BD相交于点O，则图中全等三角形共有（）
A．2对B．4对C．6对D．8对
4．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2＝（）
A．90°B．135°C．270°D．315°
5．如图，AD是等边△ABC的BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上动点，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）
A．15°B．22.5°C．30°D．45°
6．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE、下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF ≌△CDE．其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．在平面直角坐标系中，已知点A（m，3），与点B（4，n）关于y轴对称，那么（m+n）2019的值为（）
A．1B．﹣1C．﹣72019D．72018
8．有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（）
A．144°B．84°C．74°D．54°
9．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过点I作DE∥BC交BA于点D，交AC于点E，AB＝5，AC＝3，∠A＝50°，则下列说法错误的是（）
A．△DBI和△EIC是等腰三角形
B．I为DE中点
C．△ADE的周长是8
D．∠BIC＝115°
10．如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是36，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）
A．6B．10C．15D．16
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数为，则电子表的实际时刻是．
12．等腰三角形的一个内角为30°，那么其它两个角的度数为．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A＝度．
14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，∠ABD＝30°，AB＝BD，则∠ADC 等于．
15．如图：∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD，则∠ECD等于°．
16．如图：在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB+BC＝18cm，则AB＝cm．
17．如图，AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，DE⊥AB，E为垂足，△ABC的周长为20cm，面积为40cm2，则DE的长为．
18．如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1，还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕到BC的距离记为h2；
按上述方法不断操作下去…，经过第2019次操作后得到的折痕D2018E2018，到BC的距离记为h2019；若h1＝1，则h2019的值为．
三、解答题（第19题16分，第20题12分，共计28分）
19．（4分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1），请画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出点A1、B1、C1的坐标．
20．（4分）尺规作图作出点P关于直线l的对称点P'（保留作图痕迹，不写作法）．
21．（4分）如图，直线a，b相交于点O，P在平面内，P到直线a，b的距离相等，且到A，B的距离相等，尺规作图作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．
22．（4分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝110°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，请在图中画出△AMN，写出画图过程并直接写出∠MAN的度数．
23．（12分）如图，B，D分别在CF和EF上，CB＝ED，CA＝EA，∠C＝∠E，连接AB，AD．
（1）求证：AB＝AD；
（2）求证：BF＝DF．
四、解答题（第21题10分，第22题10分，共计20分）
24．（10分）如图，△ABC和△EDC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D 在AB上，连接AE，求∠EAB的度数．
25．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，∠BCD＝∠A＝30°，BC＝4cm，求AD的长．
五、解答题（12分）
26．（12分）如图，在△ABC中，已知∠ABC和△ABC的外角∠ACG的平分线交于点F，过点F作FD∥BC，FD分别交AB、AC于点D、E，求证：DE＝BD﹣CE．
27．（12分）如图，△ABC是等边三角形，CF⊥AC交AB的延长线于点F，G为BC的中点，射线AG交CF于D，E在CF上，CE＝AD，连接BD，BE．
求证：△BDE是等边三角形
28．（12分）如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，CE，BD相交于点P，连接P A．
（1）求证：CE＝BD；
（2）求证：P A平分∠BPE．
29．（12分）如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，F为EC的中点，连接AF．写出AF与BD的数量关系和位置关系，并说明理由．
2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列图形中是轴对称图形的有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解答】解：第2、3、4个图形是轴对称图形，第1个图形不是轴对称图形，
故选：B．
2．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的度数是（）
A．15°B．25°C．30°D．10°
【解答】解：∵Rt△CDE中，∠C＝90°，∠E＝30°，
∴∠BDF＝∠C+∠E＝90°+30°＝120°，
∵△BDF中，∠B＝45°，∠BDF＝120°，
∴∠BFD＝180°﹣45°﹣120°＝15°．
故选：A．
3．如图，AB∥CD，AD∥BC，AC与BD相交于点O，则图中全等三角形共有（）
A．2对B．4对C．6对D．8对
【解答】解：图中全等三角形有4对，是△ADB≌△CBD，△ABC≌△CDA，△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，
理由是：∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，
∴∠ADB ＝∠CBD ，∠DAO ＝∠BCO ，∠ABD ＝∠CDB ，∠BAO ＝∠DCO ，
在△ADB 和△CBD 中，
{∠ADB =∠CBD BD =DB ∠ABD =∠CDB
，
∴△ADB ≌△CBD （ASA ），
同理△ABC ≌△CDA ，
∴AD ＝BC ，AB ＝DC ，
在△AOD 和△COB 中，
{∠DAO =∠BCO AD =BC ∠ADO =∠CBO
，
∴△AOD ≌△COB （ASA ），
同理△AOB ≌△COD ．
故选：B ．
4．如图，已知△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠2＝（ ）
A ．90°
B ．135°
C ．270°
D ．315°
【解答】解：∵∠C ＝90°，
∴∠A +∠B ＝90°．
∵∠A +∠B +∠1+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°．
故选：C ．
5．如图，AD 是等边△ABC 的BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上动点，
当EF +CF 取得最小值时，则∠ECF 的度数为（ ）
A．15°B．22.5°C．30°D．45°
【解答】解：如图：
过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，连接CF，
∵△ABC是等边三角形，
∴AE＝EC，
AF＝FC，
∴∠F AC＝∠FCA，
∵AD是等边△ABC的BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠ECF＝30°．
故选：C．
6．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE、下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF ≌△CDE．其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，又∠CDE＝∠BDF，DE＝DF，
∴△BDF≌△CDE，故④正确；
由△BDF≌△CDE，可知CE＝BF，故①正确；
∵AD是△ABC的中线，
∴△ABD和△ACD等底等高，
∴△ABD和△ACD面积相等，故②正确；
由△BDF≌△CDE，可知∠FBD＝∠ECD
∴BF∥CE，故③正确．
故选：D．
7．在平面直角坐标系中，已知点A（m，3），与点B（4，n）关于y轴对称，那么（m+n）2019的值为（）
A．1B．﹣1C．﹣72019D．72018
【解答】解：∵点A（m，3）与点B（4，n）关于y轴对称，
∴m＝﹣4，n＝3，
∴（m+n）2019＝（﹣4+3）2019＝﹣1，
故选：B．
8．有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（）
A．144°B．84°C．74°D．54°
【解答】解：正五边形的内角是∠ABC=(5−2)×180
5
=108°，
∵AB＝BC，
∴∠CAB＝36°，
正六边形的内角是∠ABE＝∠E=(6−2)×180
6
=120°，
∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB＝360°，
∴∠ADE＝360°﹣120°﹣120°﹣36°＝84°，
故选：B．
9．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过点I作DE∥BC交BA于点D，交AC于点E，AB＝5，AC＝3，∠A＝50°，则下列说法错误的是（）
A．△DBI和△EIC是等腰三角形
B．I为DE中点
C．△ADE的周长是8
D．∠BIC＝115°
【解答】解：∵BI平分∠DBC，
∴∠DBI＝∠CBI，
∵DE∥BC，
∴∠DIB＝∠IBC，
∴∠DIB＝∠DBI，
∴BD＝DI．
同理，CE＝EI．
∴△DBI和△EIC是等腰三角形；
∴△ADE的周长＝AD+DI+IE+EA＝AB+AC＝8；
∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∴∠IBC+∠ICB＝65°，
∴∠BIC＝115°，
故选项A，C，D正确，
故选：B．
10．如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是36，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）
A ．6
B ．10
C ．15
D ．16
【解答】解：如图：
连接AD 交EF 于点M ，
∵等腰△ABC 的底边BC 长为6，
点D 为BC 边的中点，
∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ＝3，
∵EF 是腰AC 的垂直平分线，连接CM ，
∴AM ＝CM ，
此时△CDM 的周长为：CM +DM +CD ＝AM +DM +CD ＝AD +CD
CD 的长为3固定，
∴根据两点之间线段最短，
△CDM 的周长最小．
∵S △ABC =12BC •AD ，
∴12×6•AD ＝36， ∴AD ＝12，
∴AD +CD ＝12+3＝15．
故选：C ．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数为
，则电子表的实际时刻是 10：50 ． 【解答】解：电子表的实际时刻是10：50，可以把给定的读数写在纸上，然后把纸翻过来看到的读数就是实际读数．
故答案为10：50
12．等腰三角形的一个内角为30°，那么其它两个角的度数为 30°、120°或75°、75° ．
【解答】解：①30°是顶角，则底角=1
2（180°﹣30°）＝75°；
②30°是底角，则顶角＝180°﹣30°×2＝120°．
∴另两个角的度数分别是75°、75°或30°、120°．
故答案为75°、75°或30°、120°．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A＝36度．
【解答】解：设∠A＝x
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝x，∠BDC＝2x
∵BD＝BC
∴∠C＝∠BDC＝2x，∠DBC＝x
∵在BDC中x+2x+2x＝180°
∴x＝36°
∴∠A＝36°．
故填36．
14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，∠ABD＝30°，AB＝BD，则∠ADC 等于105°．
【解答】解：∵∠ABD＝30°，AB＝BD，
∴∠A=180°−∠ABD
2
=75°，
∵AB∥CD，
∴∠ADC＝180°﹣∠A＝105°，
故答案为：105°．
15．如图：∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD，则∠ECD等于45°．
【解答】解：∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝15°，
∴∠CBD＝∠A+∠BCA＝30°，
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝30°，
∴∠ECD＝∠A+∠CDB＝15°+30°＝45°，
故答案为45．
16．如图：在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB+BC＝18cm，则AB＝12cm．
【解答】解：∵∠A＝30°，∠C＝90°，
∴BC=1
2AB，
由题意得，AB+1
2AB＝18，
解得，AB＝12，
故答案为：12．
17．如图，AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，DE⊥AB，E为垂足，△ABC的周长为20cm，面积为40cm2，则DE的长为4cm．
【解答】解：连接CD，
∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴点D到AC，AB，BC的距离相等，即为DE，∵△ABC的周长为20cm，面积为40cm2，
∴S△ABC=S△ADC+S△CDB+S△ADB=1
2
AC⋅DE+12BC⋅DE+12AB⋅DE，
即40=1
2
DE×20，
解得：DE＝4，
故答案为：4cm．
18．如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1，还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕到BC的距离记为h2；
按上述方法不断操作下去…，经过第2019次操作后得到的折痕D2018E2018，到BC的距
离记为h2019；若h1＝1，则h2019的值为2−
1 22018
．
【解答】解：由折叠的性质可得：AA1⊥DE，DA＝DA1，又∵D是AB中点，
∴DA＝DB，
∴DB＝DA1，
∴∠BA1D＝∠B，
∴∠ADA1＝2∠B，
又∵∠ADA1＝2∠ADE，
∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，
∴AA1⊥BC，
∴AA1＝2h1＝2，∴h1＝2﹣1＝1，
同理，h2＝2−1
2，h3＝2−
1
2
×12=2−1
22
…
∴经过第n次操作后得到的折痕D n﹣1E n﹣1到BC的距离h n＝2−
1
2n−1
．
∴h2019＝2−
1 22018
．
故答案为：2−
1 22018
．
三、解答题（第19题16分，第20题12分，共计28分）
19．（4分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1），请画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出点A1、B1、C1的坐标．
【解答】解：所画图形如下所示：
由图形可得：A1（3，2），B1（4，﹣3），C1（1，﹣1）；
20．（4分）尺规作图作出点P关于直线l的对称点P'（保留作图痕迹，不写作法）．
【解答】解：如图所示：
点P即为所求．
21．（4分）如图，直线a，b相交于点O，P在平面内，P到直线a，b的距离相等，且到A，B的距离相等，尺规作图作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．
【解答】解：如图所示：点P1，P2即为所求．
22．（4分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝110°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，请在图中画出△AMN，写出画图过程并直接写出∠MAN的度数．
【解答】
解：如图所示：
作点A关于BC和DC的对称点E和F，
连接EF，与BC和DC相交于点M和N，
连接AM和AN，根据对称性得：
AM＝EM，AN＝FN，
AM+AN+MN＝EM+FN+MN＝EF，
根据两点之间线段最短，
此时△AMN的周长最小，
∵∠BAD＝110°，
∴∠E+∠F＝180°﹣110°＝70°，
∴∠EAM+∠F AN＝70°，
∴∠MAN＝∠EAF（﹣∠EAM+∠F AN）＝40°．
答：∠MAN的度数为40°．
23．（12分）如图，B，D分别在CF和EF上，CB＝ED，CA＝EA，∠C＝∠E，连接AB，AD．
（1）求证：AB＝AD；
（2）求证：BF＝DF．
【解答】证明：（1）∵CB＝ED，CA＝EA，∠C＝∠E，
∴△ABC≌△ADE（SAS）
∴AB＝AD；
（2）如图，连接BD，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠ABC＝∠ADE，
∴∠ABF＝∠ADF，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABF﹣∠ABD＝∠ADF﹣∠ADB，
∴∠DBF＝∠BDF，
∴BF＝DF．
四、解答题（第21题10分，第22题10分，共计20分）
24．（10分）如图，△ABC和△EDC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D 在AB上，连接AE，求∠EAB的度数．
【解答】证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB﹣∠DCA＝∠DCE﹣∠DCA，
即∠BCD＝∠ACE．
∵△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，CA＝CB，CD＝CE，且∠BCD＝∠ACE，
∴△ACE≌△BCD（SAS）．
∴∠CAE＝∠B＝45°，
∴∠CAE+∠CAB＝90°，
∴∠EAB＝90°
25．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，∠BCD＝∠A＝30°，BC＝4cm，求AD的长．
【解答】解：∵△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4cm，
∴AB＝2BC＝8cm，∠B＝60°，
∵∠BCD＝∠A＝30°，
∴∠B+∠BCD＝60°+30°＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∴BD=1
2BC＝2cm，
∴AD＝AB﹣BD＝8cm﹣2cm＝6cm．五、解答题（12分）
26．（12分）如图，在△ABC中，已知∠ABC和△ABC的外角∠ACG的平分线交于点F，过点F作FD∥BC，FD分别交AB、AC于点D、E，求证：DE＝BD﹣CE．
【解答】证明：∵∠ABC的平分线和外角∠ACF的平分线交于点F，
∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠GCF；
∵FD∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠GCF，
∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，
∴BD＝FD，EC＝EF；
∴DE＝BD﹣CE
六、解答题（12分）
27．（12分）如图，△ABC是等边三角形，CF⊥AC交AB的延长线于点F，G为BC的中点，射线AG交CF于D，E在CF上，CE＝AD，连接BD，BE．
求证：△BDE是等边三角形
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，G为BC的中点，
∴AC＝AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∠CAD＝∠BAD＝30°，
∵AC⊥CF，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ADC＝60°，∠BCE＝30°，
∴∠CAD＝∠BCE，且AC＝CE，AC＝BC，
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴∠ADC＝∠CEB＝60°，
∵AC＝AB，∠CAD＝∠BAD，AD＝AD，
∴△ACD≌△ABD（SAS）
∴∠ADC＝∠ADB＝60°，
∴∠BDE＝180°﹣∠ADC﹣∠ADB＝60°，
∴∠BDE＝∠BED
∴△BDE是等腰三角形，且∠BED＝60°，
∴△BDE是等边三角形．
七、解答题（12分）
28．（12分）如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，CE，BD相交于点P，连接
P A．
（1）求证：CE＝BD；
（2）求证：P A平分∠BPE．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AE＝AD、AB＝AC，
又∵∠EAD＝∠BAC＝60°，∠EAD+∠DAC＝∠BAC+∠DAC，
即∠DAB＝∠EAC，
在△EAC和△DAB中，{AE=AD
∠EAC=∠DAB AC=AB
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴CE＝BD；
（2）证明：作AE⊥BD于E，AF⊥CE于F，如图所示：则∠BEA＝∠CF A＝90°，
由（1）得：△EAC≌△DAB，
∴∠ACF＝∠ABE，
在△BAE和△CAF中，{∠ABE=∠ACF ∠BEA=∠CFA AB=AC
，
∴△BAE≌△CAF（AAS），
∴AE＝AF，
∵AE⊥BD于E，AF⊥CE于F，
∴P A平分∠BPE．
八、解答题（12分）
29．（12分）如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，F为EC的中点，连接AF．写出AF与BD的数量关系和位置关系，并说明理由．
【解答】解：AF=1
2BD，AF⊥BD，理由如下：
过点C作CG∥AE交直线AF于G，直线AF交BD于H，如图所示：则∠G＝∠EAF，∠EAC+∠ACG＝180°，
∵F为EC的中点，
∴CF＝EF，
在△CGF和△EAF中，{∠G=∠EAF
∠GFC=∠AFE CF=EF
，
∴△CGF≌△EAF（AAS），∴CG＝AE，AF＝GF，
∴AF=1
2AG，
∵△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，
∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠EAC +∠BAD ＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∠CAG +∠BAH ＝90°，
∴AD ＝CG ，∠BAD ＝∠ACG ，
在△BAD 和△ACG 中，{AB =CA
∠BAD =∠ACG AD =CG
，
∴△BAD ≌△ACG （SAS ），
∴BD ＝AG ，∠ABD ＝∠CAG ，
∴AF =12BD ，∠ABD +∠BAH ＝90°，
∴AF ⊥BD ．。