高等数学课件-复变函数与积分变换 第五章 留数 §5.1 留数定理及留数的求法

0
的去心邻域内的罗朗展开式为：
sin z
1 z2
z4
L
1n z2n
L
z
3! 5!
2n 1!
故负幂次项 z1的系数 C1 0 ，即
Res
sin z
z
, 0
0
若孤立奇点z0为f (z)的可去奇点，则
Res f (z), z0 0
例1.3
函数
f
(z)
1 z(z 1)2
在
z
1 处有一个
二级极点，这个函数又有下列罗朗展开式：
n
Ñc f zdz 2πiRes f z, zk （1.3） k 1
证 把在c内的孤立奇点 zk k 1,2,L ,n
用互不包含的正向简单闭曲线 ck 围绕起来 （如图5－1）
图5－1
蜒c f zdz
c1
f
z
dz
蜒 f c2
zdz L
cn
f
z dz
以 2 i 除等式两边，得
1
Cm 0
Байду номын сангаас
g z Cm Cm1 z z0 L C1 z z0 m1
C0 z z0 m L
在点 z0 是解析的，且 g z0 Cm 0
由
f
z
gz z z0 m
，有 z
z0 m
f
z
gz
上式两端对 z 求导 m 1 次，并取极限（z z0），
得
lim
在 z 1的去心邻域
0 z 1 1
内的罗朗展开式，由于
f
z
z
1
12
z
1
1
n0
1n
z
1n
，0
z 1
1
故 z 1只能是二级极点，且 Res f z,1 1 .
留数定理
定理1 设函数 f z在区域D内除有限个
孤立奇点 z1, z2,L ，zn 外处处解析，c为D内 包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那末
心邻域 0 z z0 R 内解析，则它可在该去 心邻域内展开成Laurent级数
f z L
C1 z z0
C0
C1
z
z0
L
Cn z z0 n L
两端沿c逐项积分，注意到
Ñc z
dz
z0 n1
2πi, n 0,n
0
0
得Ñc f zdz 2πiC1, 由此可见，Laurent展开
第五章 留数
§5.1 留数定理及留数的求法
§5.2 用留数定理计算实积分
留数与解析函数在孤立奇点处的罗 朗展开式有密切的关系，应用留数定理 就可以比较容易地计算一些实函数的积 分。这些积分中的一部分，过去在实函 数中已经计算过，但比较复杂，这里将 用统一的方法来处理。
§5.1 留数定理及留数的求法
zz0
d m1 dz m1
z z0
m
f
z
g m1
z0
而由留数定义及高阶导数公式，有
Re
s
f
z,
z0
1
2
i
Ñc f
z
dz
Ñ 因此
Re s
f
z,
1
2
z0
i
c
gz z z0 m
dz
gm1 z0 m 1!
1 lim
m 1! zz0
d m1 dz m1
z
z0 m
f
z
■
推论1 若 z z0为 f z 的一级极点，则
的二级极点，于是
Re s
f
z,1
lim z
z1
1
z
z
1 z
12
1 4
；
Re s
f
z , 1
lim z
z1
12
z
z
1 z
12
lim
z1
z
1
12
1 4
例1.6 求函数 f z tan z 在 z k （k
2
为整数）处的留数。
解因为 tan z sin z
cos z
sin
1
z z 12
L
z
1
15
z
1
14
z
1
13，z
1
1
（1.2）
所以“z 1又是 f z 的本性奇点”又；其中不含
z 11的幂，因此 Re s f z,1 0，这些说法
对吗？
解 上述说法不对. 因（1.2）式是 f z
在圆环域
1 z 1
的罗朗展开式，为了求Res f z,1, 需求 f z
内的Laurent展开式为：
z
e z1
1
e e z1
e
n0
n!
1 z 1
n
e
e
z
1
1
e 2!
(z
1 1)2
L
e n!
z
1
1n
L
所以负一次幂项 z 1 1 的系数C1 e, 即
z Res e z1,1 e
例1.2
求
Res
sin z
z
,
0
解
z
0 是sin
z
z
的孤立奇点，函数在 z
2πi Ñc f
zdz
Res f Res f
z , z1 z, z2 L
Res f
z, zn
n
即 Ñc f zdz 2πiRes f z, zk k 1
以上定理称作留数定理。 该定理说明，求沿封闭曲线c的积分，可转化 为求被积函数在c中的各孤立奇点处的留数。 由此可见，留数定理的效用将有赖于如何
一、留数的概念
由柯西积分定理知道，如果函数 f z在
z0 的邻域内解析，那末, Ñc f zdz 0
其中c为 z0的邻域内的任意一条简单闭曲线。
但若 z0为 f z 的孤立奇点，那末 Ñc f zdz
一般不等于零，其中c为 0 z z0 R 内任 一条包含 z0 的简单闭曲线。
事实上，若函数 f z在孤立奇点 z0 的去
k
2
1k
0
cos
k
2
0 ，而
cos z zk 1k1 0 2
所以 z k 为 f z tan z 的一级极点，
2
由推论2，得
Re
s
f
z
, k
2
sin z
cos
zk 2
1
例1.7 计算下列积分：
（1） I
Ñc z
3
1 z
i
dz
，其中c为正向圆周
z
2；
（2）I Ñc
即
Res
f
z
,
z0
1 2πi
Ñc f
z
dz
（1.1）
显然，f (z)在孤立奇点z0的留数 Res f z, z0 就
是f (z)在z0的去心邻域内罗朗展开式中负一次幂
项 z z0 1 的系数 C1 。
例1.1
求
z Res e z1,1
解
z
1
是
e
z z 1
的孤立奇点，函数在
0 z 1
Res f z, z0 0
方法3 如果z0是f (z)的的m级极点 ，则
Re s
f
z, z0
1 lim
m 1! zz0
d m1 dz m1
z
z0 m
f
z
证 由条件，f z在点 z0处的罗朗展开式
f
z
z
Cm z0
m
L
C1 z z0
C0 C1 z z0 L
其中
gz z z0 m
方法1 将函数f (z)在孤立奇点的z0去心邻域内展开 成Laurent级数
f z L C1 z z0 1 C0 C1 z z0 L
Cn z z0 n L
0 z z0 R
则
Res
f
z,
z0
1 2πi
Ñc f
zdz
C1
方法2 如果z0是f (z)的可去奇点，则
式中负一次幂项 z z0 1 的系数 C1 是在逐
项积分过程中唯一留下的系数。
定义1 设 f (z)在孤立奇点z0的去心邻域 0 z z0 R
内解析，c为该邻域内内部包含z0的任一正向简单闭
曲线，则称积分
1 2πi
Ñc f
z dz
为f
(z)在点z0的留数，
记为 Res f z, z0 ,
z3
z3
1 z
i
lim
z0 z
1
i3
i
Re
s
f
z , i
lim
zi
z
i
z3
1 z
i
i
因此，由留数定理，有
I
Ñc z3
1 z
i
dz
2
i i
i
0
（2） f z z 在圆周
2 sin z 2
一个一级极点z 而，
4
z 2 内只有
Re
s
f
z
,
4
z
2 2
sin
z
z 4
2
z dz，其中c为正向圆周 z 2；
2 sin z
2
（3） I Ñc tan zdz ， 其中c为正向圆周 z n；
（n 为正整数）
解 （1） （2） （3）
（1）
f
z
z3
1
z
i
在圆周
z
2
所围的
圆域内有三级极点 z 0 及一级极点 z i ， 而
Re s
f
z,0
1 lim 2! z0
4
因此，由留数定理，有
I Ñc
2
z sin
z
dz
2
i
2 4
2 2i
2
2
（3） f
z
tan
z
sin cos
z有一级极点
z
z k 1 ( k 为整数)，而
2
Re
s
f
z
,
k
1 2
sin
cos
z
z
zk 1 2
1
因此，由留数定理，有
Ñ I
tan
c
zdz
2
i
k
1
n
Re
s
f
f
z, z0
1 lim
n 1! zz0
d n1 dz n1
z
z0 n
f
z
事实上，z0为 f z 的一级极点，则
Re s
f
z,
z0
lim
zz0
z
z0
f
z
lim
z z0
Pz Q z Q z0
P z0 Q z0
z z0
例1.4
求函数
f
z
z2n
z 1n
在 z 1处的
留数。
解 因为 z 1是 f z 的分母的 n 级零点，
且 z 1 时，f z 的分子不为零，所以它是 f z
的 n 级极点，由定理2，得
Re
s
f
z
,1
n
1
1!
lim
z1
d n1 dz n1
z
1n
z2n
z 1n
2n
2n
1L 2n n 1!
n
2
2n ! n 1!n 1!
例1.5
求函数 f
z
z
z
1 z
12
在
z
1
及 z 1 处的留数。
解 z 1 是 f z 的一级极点，z 1 是 f z
能有效地求出 f z 在孤立奇点 z0 处的留数。
Cauchy积分定理、复合半路公式、Cauchy积 分公式、高阶导数公式都是留数定理的特例。
二、留数的求法
由留数的定义，要计算函数 f z在孤立奇
点 z0处的留数，只要求出它的罗朗展开式中
z z0 1的系数 C1 即可，因此，利用函数的
罗朗展开式求留数是一般的方法，特别是当 奇点为本性奇点或奇点性质不明显时常用 这种方法。
Re s
f
z,
z0
lim
zz0
z
z0
f
z
推论2
设
f
z
Pz Qz
，其中P z,Q
z
在点 z0 解析，且 P z0 0，Q z0 0，Q z0 0
（即Q z以 z0 为一级零点），则
Re
s
f
z
,
z0
P z0 Q z0
推论3 如果z0是f (z)的的m级极点 ， 则当 n m 时
Re s
z
,
k
1 2
2
2
i
2n
4ni