安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测数学理科试题(解析版)

1.已知 R 是实数集，集合 A = {-1,0,1}， B = {x 2 x - 1 ≥ 0}，则 A ( B )= （
B. {1}
C. ⎢ ,1⎥
D. -∞, ⎪ 镲
x 铪
镲x 铪2.已知 i 是实数集，复数 z 满足 z + z ⋅ i = 3 + i ，则复数 z 的共轭复数为（
合肥市 2019 高三第三次教学质量检测
数学试题（理科）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .
R
）
A. {-1,0}
⎡ 1 ⎤
⎣ 2 ⎦ ⎛ 1 ⎫ ⎝ 2 ⎭
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出集合 B 的补集再与集合 A 进行交集运算。

【详解】
禳 1 B = 睚 | x ? 镲 2
禳
1 \ C B = 睚 | x < R 镲
2
即 A ? (C R
B)
{- 1,0}
故选 A 。

【点睛】考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．在解题过程中，正确求出补集和交集是关键。

．． ）
A. 1+ 2i
【答案】C
【解析】
【分析】
B. 1- 2i
C. 2 + i
D. 2 - i
将 z + z ⋅ i = 3 + i 化为 z = 3 + i 1 + i
，对其进行化简得到 z = 2 - i ，利用共轭复数的性质得到 z = 2 + i 。

【详解】 z + z ⋅ i = 3 + i 可化 z =
3 + i
1 + i
z = 3 + i 【详解】输入 x = -1 ， y = ⨯ (-1)+ 1 = .
3 7
4 4 3 19 7
4 16 16
(3 + i )(1- i) 4 - 2i = = =2- i
1+ i (1+ i )(1- i) 2
∴ z 的共轭复数为 z = 2 + i
故选 C 。

【点睛】在对复数的除法进行化简时，要采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”。

3.执行如图所示 程序框图，若输入 x = -1 ，则输出的 y = （
）
的
A.
1 4
B.
3 4
C.
7 16
D.
19 16
【答案】D
【解析】
【分析】
按程序框图指引的顺序依次执行，写出各步的执行结果即可得到答案
1 3
3 ， | x - y |= -1 - = < 1 不成立， x = ；
4 4 4
1 3 19 19 y = ⨯ + 1 = ， | x - y |= - = < 1 成立，跳出循环，输出 y = .故选 D.
4 4 16 16
【点睛】本题考查循环结构程序框图的输出结果.当程序执行到判断框时要注意判断循环条件是否成立，是
A. 14
9
C.
20
D. 7
⎪ 1
⎪⎩ 6 2
⎪⎪ 1 9 ⎪d = 2 . ⎪
9
a 12
继续下一次循环，还是跳出循环.
4.已知 S n 是等差数列{a n }的前 n 项和，若 a 1 + a 2 + a 3 = 4 ， S 6 = 10 ，则 a 3 = （
）
9 B.
16
3
【答案】A
【解析】
【分析】
列出关于 a 1,d 的方程组并解出，即可求得 a 3的值.
【详解】设等差数列{a n
}的公差为 d .
⎧a + a + a = 3a + 3d = 4, 2 3 1 由题意得 ⎨ 6 ⨯ 5 S = 6a + d = 10, 1
解得 ⎨ ⎩ 9
⎧ 10
a = ,
所以 a = a + 2d = 14
3
1
.故选 A.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前 n 项和. a 1,d 等差数列的通项公式和前 n 项和公式中的基本量，
等差数列的相关问题往往要通过列关于 a 1,d 的方程组来求 a 1,d .
5.某企业的一种商品的产量与单位成本数据如下表：
产量 x （万件） 14
16 18 20
22
单位成本 y （元/件）
10
7
3
若根据表中提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程为 y = -1.15x + 28.1，则 a 的值等于（ ）
A. 4.5
B. 5
C. 5.5
D. 6
【详解】 x = 14 +16 +18 +20 +22 6.若直线 y = k (x + 1)与不等式组 ⎨3x - y ≤ 3 表示的平面区域有公共点，则实数 k 的取值范围是（ ）
⎪2x + y ≥ 2 ˆ ˆ
x ，y ˆ ˆˆ
画出不等式组 ⎨
3x - y ≤ 3 表示的平面区域，直线 y = k (x + 1)过定点 A(-1,0) ，数形结合得出 0 ＃k ⎪2x + y ≥ 2
【答案】B
【解析】
【分析】
求出 x ， y 将其代入线性回归方程 y = -1.15x + 28.1，即可得出 a 的值。

90
= =18
5 5
12 +10 +7 + a +3 32 + a y = =
5 5
(x ，y ) 在线性回归方程 y = -1.15x + 28.1上
\ y = - 1.15? 18 28.1=7.4
则 32 + a
=7.4 解得 a = 5
5
故选 B
【点睛】解题的关键在于要知道( )
一定在线性回归方程 y = bx + a 上，这种方法经常在选择题里面出
现。

⎧2 y - x ≤ 4 ⎪
⎩
A. ( -∞,1]
B. [0,2 ]
C. [
-2,1
] D. ( -2,2 ]
【答案】B
【解析】
【分析】
⎧2 y - x ≤ 4 ⎪
⎩
即可得出实数 k 的取值范围。

k AC ，
【详解】画出不等式组 ⎨ 3x - y ≤ 3 表示的平面区域,如下图所示
⎪2x + y ≥ 2 要使得直线 y = k (x + 1)与不等式组 ⎨
3x - y ≤ 3 表示的平面区域有公共点 ⎪2x + y ≥ 2 7.为了得到函数 y = sin x 的图像，只需将函数 y = sin 2 x + 6 ⎭
⎧2 y - x ≤ 4 ⎪
⎩
直线 y = k (x + 1)过定点 A(-1,0)
⎧2 y - x ≤ 4 ⎪ ⎩
则 0 ＃k k
AC
k = 2- 0 =2 AC 0 - (- 1)
∴ k ∈[0,2 ].
故选 B
【点睛】对于求斜率的范围的线性规划，过定点作直线与不等式组表示的平面的区域有公共点，从而确定
斜率的范围。

⎛
⎝
π ⎫ ⎪ 的图像（ ）
A. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移
B. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移
π 6 π
6
个单位
个单位
6 ⎭
⎛
y = sin x + ⎪ ，再将函数 y = sin x + ⎪ 的图像上所有点向右平移 个单位得到函数 y = sinx 。

π ⎫ π ⎫ 6 ⎭ （
则函数 f (x ) = x 5a + x b 是奇函数的概率为 P = 6
2
C. 横坐标缩短为原来的 1 π
，纵坐标不变，再向右平移 个单位
2 6
1 π
D. 横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，再向左平移 个单位
2 6
【答案】A
【解析】
【分析】
由条件利用 y = A s in (ωx + ϕ ) 的图像变换规律，得到结论。

【详解】把函数 y = sin 2 x + ⎝
π ⎫ ⎪ 的图像上所有点的横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变得到函数
⎛ ⎛ π ⎝ ⎝
6 ⎭ 6
故选 A
【点睛】解决本题的关键在于 y = A s in (ωx + ϕ ) 的图像变换规律的掌握，要灵活运用，一般分为两种：1）
先相位变换再周期变换；（2）先周期变换再相位变换。

8.若 a, b 是从集合 {-1,1,2,3,4 }中随机选取的两个不同元素，则使得函数 f (x ) = x 5a + x b 是奇函数的概率为
（ ）
A.
3 20
B.
3 10
C.
9
25
D.
3 5
【答案】B
【解析】
【分析】
利用古典概型概率公式即可得出函数 f (x ) = x 5a + x b 是奇函数的概率。

【详解】从集合{-1,1,2,3,4 }中随机选取的两个不同元素共有 A 2 = 20 种
5
要使得函数 f (x ) = x 5a + x b 是奇函数，必须 a, b 都为奇数共有 A 3
3
=
20 10
= 6 种
9.已知直线l:x-3y-a=0与圆C:(x-3
)2+(y+3)=4交于点M，N，点P在圆C上，且3，则实数
a的值等于（）
【详解】由∠MPN=
π
在△MCN中，CM=CN=2，∠CMN=∠CNM=，
()
()
=1，解得a=4或8.故选B.
-
4 D.25
4 B.13
4 C.
21
【点睛】对于古典概型求概率：可用事件A包含的基本事件的个数和基本事件的总数之比得出事件A的概率。

2
∠MPN=π
A.2或10
B.4或8
C.6±22
D.6±23
【答案】B
【解析】
分析】
由圆的性质可得出圆心C到直线l的距离，再由点到直线的距离公式可求出实数a的值.
2π
可得∠MCN=2∠MPN=.
33
π
6
可得点C3，3到直线MN，即直线l:x-3y-a=0的距离为2sin 3-3⨯-3-a
所以
1+3π
6
=1.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离.在直线与圆的问题中，结合相关的几何性质求解可使解题更简便.
10.已知F是抛物线C:y2=2px
(p>0)的焦点，抛物线C上动点A，B满足AF=4FB，若A，B的准线上的射影分别为M，N且∆MFN的面积为5,则AB=（）
A.9
4
【答案】D
琪 1 , y , B 琪y 2 , y 琪2 p 设 A 琪 桫2 p 桫
2 p 2
2 p 2 ③
【分析】
分别利用 S DMFN = 5 、 DAFC DABD 对应边成比例、抛物线过焦点的弦长公式联立求解即可得到。

【详解】过点 A 作 x 轴的垂线垂足于 C ，交 NB 的延长线于点 D 。

骣y 2 骣 2 1 2 ，则 MN = y 1 - y 2 . S
DMFN
=5
\ ( y - y )? p 1
2
10 ①
DAFC DABD
AF AC
\ = ，即 AB AD
4 y = 1
5 y - y 1
2
\ y = - 4 y 1
2 ②
AF = AM = y 2 p y 2 p
1 + , FB = BN =
2 +
2 p 2 2 p 2
\ y 2 p y 2 p 1 + = 4( 2 + )
联立①②③解得 y 1 = 4 ， y 2 = -1 ， p = 2
∴ AB =
故选 D
y 2 y 2 25
1 +
2 + p = 2 p 2 p 4
，
A. 0,
B. 0,⎥
C. -∞,
D. -∞,⎥
⎦⎦3
【详解】x (1+lnx)=xlny-ay可化为a=-x
【点睛】抛物线C:y2=2px(p>0)过焦点的弦长AB可用公式AB=x1+x2+p得出。

11.若存在两个正实数x，y使得等式x
(1+ln x)=x ln y-ay成立（其中ln x，ln y是以e为底的对数）则实数a的取值范围是（）
⎛1⎤⎝e2⎥⎛1⎤
⎝e⎦
⎛
⎝
1⎤
e2⎥
⎛1⎤
⎝⎦
【答案】C
【解析】
【分析】
对x
(1+lnx)=xlny-ay进行变形，将求a的取值范围转化为求f(t)=-t-t ln t的值域，利用导数即可得出实数a的取值范围。

x x
-ln
y y y
令t=x
则t>0，f(t)=-t-t ln t y
f(t)=-2-ln t
琪
2琪
2
0，
e
琪
2çç?,ú
e 骣1骣1
∴函数f(t)在区间，上单调递增，在区间琪+?
桫e桫
上单调递减。

骣1即f(t)?f
桫1
e2，则a
?纟1
棼e2ú
故选C
【点睛】求参数的范围可采用参数分离，再利用导数去得出函数的最值，从而得到参数的范围。

12.如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60︒，沿BD将∆ABD翻折，得到三棱锥A-BCD，则当三棱锥A-BCD体积最大时，异面直线AD与BC所成角的余弦值为（）
A.5
8 B.
2
3 C.
13
16 D.
1
4
【答案】D
【解析】
【分析】
当三棱锥A-BCD体积最大时，平面ADB^平面BDC，取DB中点O，连接AO,OC，则AO⊥平面BDC，OC^平面ADB，以O为原点，分别OB,OC,OA为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出异面直线AD与BC所成角的余弦值。

【详解】边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60︒
\BD=1
取DB中点O，连接AO,OC，则AO⊥平面BDC，OC^平面ADB，
骣 1 骣 琪0,0, 3 , B 琪1 ,0,0 ， C 琪0, 3 ,0 ,0,0 , A 琪 琪 2
桫 2 桫 AD = 琪
,0, - , BC = 琪- 骣 1 3 骣 1 3
琪 2 2 ,0
桫 2 2 \ cos q = = 4 = - - ( ) ( )
2
以 O 为原点，分别 OB,OC,OA
为 x, y , z 轴，建立空间直角坐标系
骣 骣 则 D 琪 琪 桫 桫
琪, 桫
设异面直线 AD 与 BC 所成角为θ
1
| AD ×BC | 1 | AD | ×| BC | 1´ 1 4
即异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值为
故选 D 。

1
4
【点睛】求异面直线所成的角，转化为两直线的方向向量的夹角，建立空间直角坐标系和表示出所需点的
坐标是解题的关键.
二、填空题.把答案填在答题卡的相应位置.
13.已知 a = (1,2)， b = (4, k )，若 a + 2b / / 3a - b ，则 k = ______．
【答案】 8
【解析】
【分析】
由向量平行的坐标运算即可得出。

【详解】 a + 2b = (9，+2k ) ， 3a - b = (- 1,6 - k )
⎛
3
14.在 x-⎪的展开式中，CF=3，PC=2的系数为______．
骣1
?琪琪-
骣1
?琪琪-
则CF=3，PC=2的系数为C5琪-
琪
15.已知函数f(x)=2cos x+
4⎭
cos x-⎪+sin x，若对任意实数x，恒有f(a
1
)≤f(x)≤f(a
2
)，
(a+2b)//(3a-b)
\9(6-k)+(2+2k)=0，解得k=8
【点睛】若a=(x1,y1)，b=(x
2,y
2
)平行或者共线，则x
1
y
2
-x
2
y
1
=0。

1⎫8⎝2x⎭
【答案】-【解析】【分析】7 4
由二项式展开的通项公式C k
8(x3)8-k
骣1桫2x
k
=C k琪
8桫2
k
x24-4k确定k=5，即可得到C F=3，PC=2
的系数。

【详解】C k
8(x3)8-k
骣1桫2x
k
=C k琪
8桫2
k
x24-4k
由题意可知24-4k=4，解得k=5
骣1 8桫25=-7
4
【点睛】求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项后，令字母的指数符合要求（求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等）解出r，代回通项即可。

则cos (a-a
12
1
【答案】-4)=____．
⎛
⎝
π⎫
⎪
⎛
⎝
π⎫
4⎭
【解析】【分析】
2 i ) = 9
，进而确定 sin a = - 1 ， sin a = ， cos a 1 = 0 ，利用两角差的余弦公式得到
8 4
【详解】 f ( x ) = 2cos 琪 + x -
琪 - +sin x 骣 p 骣 p
p
2 4
x - cos x 4 臌 4 4
【点睛】本题的关键在于 “变角”将 cos x + 4 ⎭ 骣p p 2
对 f ( x ) 进 行 化 简 得 到 f ( x ) = - 2 s i nx + s x
+n ，1根 据 正 弦 函 数 和 二 次 函 数 的 单 调 性 得 到
f (a ) = - 2 , f (a 1 2 1 2 1
cos (a - a )。

1
2
骣 p 骣 p
桫 桫 4
= - 2sin 琪 琪 -
+sin x 桫 桫 4
= cos 2 x +sin x = - 2sin 2 x +sin x +1
sin x ∈ [-1,1]
轾 9
\ f ( x ) ? 犏2,
犏 8
对任意实数 x ，恒有 f (a ) ≤ f (x ) ≤ f (a
1 2
)
则 f (a ) =-2 1
, f (a 2
)
=
9
8
即
sin a 1 = - 1 ， sin a 2 =
\ cos a = 0
1
1
4
\ cos (a - a 1
2
) = cos a
1
1 1
cos a +sin a sin a = 0 + ? (- 1) -
2 1 2
⎛
⎝
π ⎫ ⎪ 变为
cos 琪 + x - 桫 4 结合诱导公式，从而变成正
弦的二倍角公式。

16.如图是数学家 Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为 “Dandelin 双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球
O ，球 O 的半径分别为 3 和1 ，球心距离 OO = 8 ,截面分别与球 O ，球 O 切于点 E ， F ，（ E ， F 是
1
2 1 2 1 2
截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．
=
【答案】 2 5
5
【解析】
【分析】
利用已知条件和几何关系找出圆锥母线与轴的夹角为α
，截面与轴的夹角为 β 的余弦值，即可得出椭圆
离心率。

【详解】如图，圆锥面与其内切球 O 1 ， O 2分别相切与 B,A ，连接 O 1B, O 2 A 则 O 1B ^ AB ， O 2 A ^ AB ，
过 O 1 作 O 1D ^ O 2 A 垂直于 D ，连接 O 1F , O 2 E ， EF 交 O 1O 2 于点 C
设圆锥母线与轴的夹角为α
，截面与轴的夹角为 β
在 RtDO 1O 2 D 中， DO 2 = 3 - 1 = 2 ， O 1D = 82 - 22 = 2 15
\ cos a = O 1D
O O 1 2
2 15 15 = =
8 4
O O = 8
1 2
\ CO = 8 - O C
2 1
DEO C DFO C
2 1
\ 8- O 1C O 1C
O E O F
2
1
解得 O 1C =2
\ CF = O C 2 - FO 2 = 22 - 12 = 3
1
1
即 cos b =
CF
= 2 = b
3 =
O C 2
1
则椭圆的离心率 e =
3
cos b 2 5 cos a 15 5
4
【点睛】“双球模型”椭圆离心率等于截面与轴的交角的余弦cos β 与圆锥母线与轴的夹角的余弦
cos α 之比，即 e = cos b
cos a。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
17.已知数列{a n }满足 a 1 = 1 , a n - 1 = 2a n -1 + 2n - 1(n ≥ 2)，数列 {b n }满足 b n = a n + 2n + 3 .
（Ⅰ）求证数列{b n
}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a n
}的前 n 项和 S n .
【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ） S = 3 ⨯ 2n +1 - n 2 - 4n - 6
n
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用等比数列 定义结合 a - 1 = 2a
n
n -1
+ 2n - 1(n ≥ 2)得出数列{ }是等比数列
n
n -1
，
= 3 ⋅ 2 1 - 2n
（Ⅱ）数列 {a n
}是“等比-等差”的类型，利用分组求和即可得出前 n 项和 S n .
【详解】解：（Ⅰ）当 n = 1 时， a 1 = 1 ，故 b 1 = 6 .
当 n ≥ 2 时， a n = 2a n -1 + 2n - 1 ，
则 b n = a n + 2n + 3 = 2a n -1 + 2n - 1 + 2n + 3 = 2 (a
n -1 + 2n + 1) = 2 ⎡⎣a n -1
+ 2 (n - 1)+ 3⎤⎦ ，
∴ b = 2b
n
∴ 数列
{b }是首项为 6 ，公比为 2 的等比数列.
n
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 b n = 3 ⨯ 2n ，∴ a n = b n - 2n - 3 = 3⨯ 2n - 2n - 3 ，
∴ S
n
= 3 (2 + 2
2 +
+ 2 n
)- 2 (1 + 2 +
+ n )- 3n
( )
1 -
2
- n (n + 1)- 3n ，
∴ S = 3 ⨯ 2n +1 - n 2 - 4n - 6 .
n
【点睛】（Ⅰ）证明数列{b }是等比数列可利用定义法
n
b n
b
n - 1
= q ,( q ? 0) 得出
（Ⅱ）采用分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列。

18.在第十五次全国国民阅读调查中，某地区调查组获得一个容量为200 的样本，其中城镇居民150 人，农
村居民 50 人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民100 人，农村居民 24 人.
（Ⅰ）填写下面列联表，并判断是否有97.5% 的把握认为，经常阅读与居民居住地有关？
城镇居民
农村居民 合计
经常阅读
100 24
不经常阅读
合计
200
（Ⅱ）从该地区居民城镇的居民中，随机抽取 4 位居民参加一次阅读交流活动，记这 4 位居民中经常阅读的
人数为X，若用样本的频率作为概率，求随机变量X的分布列和期望.
附：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+c)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d
P(K2≥k
k
00
)0.10
2.706
0.05
3.841
0.025
5.024
0.010
6.635
0.005
7.879
0.001
10.828
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据题意填写列联表，利用公式求出K2，比较K2与5.024的大小，即可得出有97.5%的把握认为，经常阅读与居民居住地有关。

（Ⅱ）根据题意得X的可能取值为0,1,2,3,4，利用二项分布公式求出相应的概率，即可得出X的分布列和期望。

【详解】（Ⅰ）由题意得：
城镇居民农村居民合计
经常阅读10024124
不经常阅读502676
合计15050200
则K2=200⨯(100⨯26-50⨯24)2
150⨯50⨯124⨯76
=
9800
≈5.546>5.024，
1767
，且 X ~ B 4, ⎪ ，
∴ E (X ) = 4 ⨯ 2
所以，有 97.5% 的把握认为经常阅读与居民居住地有关.
（Ⅱ）根据样本估计，从该地区城镇居民中随机抽取1 人，抽到经常阅读的人的概率是
所以 X 的分布列为：
2 ⎛
2 ⎫
3 ⎝ 3 ⎭
X
0 1
2 3 4
P
1 81 8 81
24 81
32 81
16 81
8
=
3 3
【点睛】解独立性检验题目的基本步骤：
（1）作出 2 ⨯ 2 列联表
（2）求出 K 2的观测值 k
（3）通过临界值表读出相应概率
（4）下结论
19.已知：在四棱锥 P - ABCD 中， AD / / B C ， AB = BC = CD =
边三角形，平面 PAD ⊥ 平面 ABCD .
1
2 AD ，G 是 PB 的中点，∆P AD 是等
（Ⅰ）求证：CD ⊥ 平面 GAC ；
（Ⅱ）求二面角P-AG-C的余弦值.
【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）-15 5
【解析】
【分析】
（Ⅰ）分别证明C D⊥AC和GH⊥CD即可得出CD⊥平面GAC；
（Ⅱ）以O为空间坐标原点，分别以OE，O D，O P的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示
的空间直角坐标系O-xyz.分别求出平面PAG、平面AGC的法向量n、CD，利用cosθ=-n⋅C D
n CD得
出二面角P-AG-C的余弦值。

【详解】解：（Ⅰ）取AD的中点为O，连结OP，OC，OB，设OB交AC于H，连结GH.
AD//B C，AB=BC=CD=1
2 AD
四边形ABCO与四边形O BCD均为菱形
∴OB⊥AC，OB//CD CD⊥AC
∆P AD为等边三角形，O为AD中点
∴P O⊥AD
平面P AD⊥平面ABCD且平面PAD平面ABCD=AD. PO⊂平面P AD且PO⊥AD
∴P O⊥平面ABCD
CD⊂平面ABCD
∴P O⊥CD
(0,0,23)
，A
(0,-2,0)，C(3,1,0)，D(0,2,0)，G⎛
⎝2,-
2
,3
⎭
(0,2,23)
,AG=⎛
⎝2,
2
,3
⎭
设平面PAG的一法向量n=(x,y,z).
()
⎪
⇒⎨33⇒⎨
⎩
∴二面角P-AG-C的平面角θ的余弦值cosθ=-n⋅CD
H，G分别为OB，PB的中点∴GH//P O
∴GH⊥CD
又GH⋂AC=H
AC,G H平面GAC
\CD^平面GAC
（Ⅱ）取BC的中点为E，以O为空间坐标原点，分别以OE，O D，O P的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.
设AD=4，则P
31⎫ ⎪⎪.
AP=33⎫
⎪⎪.
→
⎧2y+23z=0
⎧n⋅AP=0⎪⎧y=-3z
由⎨.令z=1，则n=1,-3,1.⎩n⋅AG=0⎪x+y+3z=0⎪x=z
⎩22
由（Ⅰ）可知，平面AGC的一个法向量C D=(
-3,1,0
)
.
n CD
=-
2315
=-.
255
【点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.第二问一般考查角度问题,主要体现在以下几个方面：
①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；
②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；
③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.多用空间向量解决.
∴ 椭圆 C 的标准方程 + = 1 .
3 + 4k 2
= 1 + k 2 ⋅ 16 12k 2 - 3k 2t 2
+ 9 ) ( ) (3 + 4k ) 2 12 (1 + k 2 )
2 ) k
20.已知直线 l 经过椭圆 C : x 2 y 2 + a 2 b 2
= 1(a > b > c
)的右焦点 (1,0 ) ，交椭圆 C 于点 A ，B ，点 F 为椭圆 C 的
左焦点， ∆ABF 的周长为 8 ..
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）若直线 m 与直线 l 的倾斜角互补，且交椭圆 C 于点 M 、 N ， MN
2
= 4 AB ，求证：直线 m 与直
线 l 的交点 P 在定直线上.
x 2 y 2
【答案】（Ⅰ） + = 1 （Ⅱ）见证明
4 3
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据椭圆的性质及已知条件求出 a , b ，即可得出椭圆 C 的标准方程。

（Ⅱ）设出直线 l 和直线 m 的直线方程，分别代入椭圆 C 的标准方程，利用弦长公式和韦达定理得出 MN 、
AB ，根据 MN 2 = 4 AB 确定 t 的值，联立直线l 和直线 m 的方程得到点 P 的坐标，从而确定点 P 在定
直线上。

⎧ c = 1
⎧ c = 1
【详解】解：（Ⅰ）由已知，得 ⎨ ，∴ ⎨ ，∴ b 2 = 3 ，
⎩4a = 8 ⎩a = 2
x 2 y 2
4 3
（Ⅱ）若直线 l 的斜率不存在，则直线 m 的斜率也不存在，这与直线 m 与直线 l 相交于点 P 矛盾，所以直线
l 的斜率存在.
令 l : y = k (x -1)(k ≠ 0)， m : y = -k (x + t )， A (x , y A
A
)， B (x B , y )， M (x , y )， N (x , y ).
B M M N N
将直线 m 的方程代入椭圆方程得： (3 + 4k 2 )x 2 + 8k 2tx + 4 (
k 2t 2 - 3)
= 0 ，
∴ x + x = - M N
8k 2t
3 + 4k 2
4 (k 2t 2 - 3)
， x x = ，∴ MN M N
2
(
2
同理， AB = 1 + k 2 ⋅ 4 9k 2
+ 9
=
3 + 4k 3 + 4k 2
.
由 MN
2
= 4 AB 得 t = 0 ，此时， ∆ = 64k 4t 2 - 16 (3 + 4k 2 )( 2t 2
- 3
> 0 ，
∴ P , - k ⎪ ，即点 P 的定直线 x = 上. - x ) + ( y - y )
- 4 x x 或
| AB |= 1+琪琪
桫k
( y + y ) - 4 y y
1
（Ⅱ）构造函数令h (x ) = x - alnx + a +
1 ，求导得到 h ' (x ) = 1 - -
+
当 a > 0 时，由 g ' (x ) = 0 ，得 x = a
y = g (x )在 0, ⎪ 上单调递减，在 , +∞ ⎪ 上单调递增.
函数 y = g (x )的极小值为 g
⎪ = -aln ⎭
∴ 直线 m : y = -kx ，
⎛ 1 1 ⎫ 1 ⎝ 2 2 ⎭ 2
【点睛】圆锥曲线中弦长一般用以下方法：
若斜率为 k 的直线与圆锥曲线相交于 A (x , y )， B (x , y
1
1
2
2
) 两个不同的点，则弦长为
| AB |=
( x 1
2 1 2
2 2 = 1+ k 2
(
x 1
+ x 2 )
2
1 2 骣 2
1 2 1 2
2
21.已知函数 f (x ) = x 2 - ax ln x + a + 1 （ e 为自然对数的底数）
（Ⅰ）试讨论函数 f (x )的导函数 y = f ' (x ) 的极值；
（Ⅱ）若 ∀x ∈[1, e ]
（ e 为自然对数的底数）， f (x ) > 0 恒成立，求实数 a 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） -2 < a <
e 2 + 1
e - 1
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由导数的求导法则得出 g ( x ) = 2 x - alnx - a ，利用导数求极值的步骤得出极值。

a a + 1 x x x 2
值进行分类讨论，即可得出实数 a 的取值范围。

，利用导数求最值的方法对a 的
【详解】（Ⅰ） f (x )的定义域为 (0，∞). g (x ) = f ' (x ) = 2x - alnx - a ， g ' (x ) = 2 - a 2 x - a
=
x x
当 a ≤ 0 时， g ' (x ) > 0 ，函数 y = g (x )在 (0, +∞)单调递增，函数 y = g (x )没有极值.
⎛ a ⎫ ⎛
a
⎫ ，函数
2
⎝
2 ⎭
⎝ 2
⎭
⎛ a ⎫ a ⎝ 2
2
，没有极大值.
（Ⅱ）对 ∀ (x )[1,e ]， f (x ) > 0 恒成立，即对 ∀x ∈[1, e ]
， x 2 - axlnx + a + 1 > 0 ，
令 h (x ) = x - alnx + ，则 h ' (x ) = 1 - - ， h
' (x ) ≥ 0 ，∴ h (x )在 = h (e ) = e - a + > 0 ，解得 a < = h (a + 1) = a 1 + - ln (a + 1)⎪ > 0 .
设 H (a ) = 1 + - ln (a + 1) ，由于 H (a ) = 1 + - ln (a + 1) 在 (0, e -1)单调递减，
∴ H (a ) = 1 + - ln (a + 1) > 1 + - ln e = > 0 ，即 h (x ) 在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 ⎨ （ α 为参数，α ∈[0, π]）.在以直角坐标原点 O
( )
∴ 对 ∀x ∈ [1, e ]， x - alnx + a + 1 > 0 .
x
a + 1 a a + 1 x 2 - ax - (a + 1) (x + 1)(x - a - 1)
= =
x x x 2 x 2 x 2
.
①当 a + 1 ≤ 1 ，即 a ≤ 0 时，对 ∀x ∈[1, e ] [1,e ]上单调递增，∴ h (x )
= 1 - 0 + a + 1
> 0 ，解得 a > -2 ，∴- 2 < a ≤ 0 满足题意.
1
当 a +1 ≥ e 时，即 a ≥ e -1，对 ∀x ∈[1, e ]
， h ' (x ) ≤ 0 ，∴ h (x )在 [1,e ]
上单调递减，
min
= h (1)
∴ h (x ) min a + 1 e 2 + 1 e 2 + 1 ∴ e - 1 ≤ a <
e e - 1 e - 1
满足题意.
③当1 < a + 1 < e ，即 0 < a < e -1时，对于 x ∈[
1, a +1]
， h ' (x ) < 0 ；对于 x ∈[
a + 1,e ]
， h ' (x ) > 0 .
∴ h (x )在 [1, a +1]上单调递减，在[a +1, e ]上单调递增，
∴ h (x )
min ⎛ 2 ⎫ ⎝ a ⎭
即1 + 2
a
- ln (a + 1) > 0
2 2
a a 2 2 2e
a e - 1 e - 1
min = aH (a ) > 0 ，
∴0 < a < e -1 满足题意.
e 2 + 1
综上①②③可得， -2 < a < .
e - 1
【点睛】本题在求 a 的取值范围时，直接构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相
应的含参数不等式从而求出参数的取值范围。

22.选修 4-4：坐标系与参数方程
⎧
x = 2cos α， ⎩ y = 2sin α
为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 E 的方程为 ρ 2 1 + 3sin 2 θ = 4 .
C : x 2
+ y 2
= 4
(y ≥ 0)，曲线 E : x + y 2
= 1 ；（2） .
（ 【详解】(1)由 ⎨ 消去参数 α ，可得曲线 C 的普通方程为 x 2 + y 2 = 4 ( y ≥ 0).
(
)
△S
AOB =
1
B =
⨯ 3sin α ⨯ 2cos α = sin 2α .
当 α = π 或 ，即 t = ± 2 时， △AOB 的面积取最大值 .
± -
（1）求曲线 C 的普通方程和曲线 E 的直角坐标方程；
（2）若直线 l : x = t 分别交曲线 C 、曲线 E 于点 A ， B ，求 △AOB 的面积的最大值.
【答案】 1）曲线
【解析】
【分析】
2 3 4 2
(1)消去参数 α 可得曲线 C
方程.
普通方程；由 ρ 2 =x 2 + y 2 , ρ sin θ = y 可把曲线 E 的极坐标方程化为直角坐标
的
(2)利用参数方程求出 A, B 的坐标，再求 △AOB 的面积及其最大值.
⎧ x = 2cos α,
⎩ y = 2sin α
由 ρ 2 1 + 3sin 2 θ = 4 ，可得 ρ 2 + 3 (ρ sin θ )2 = 4 ，则 x 2 + y 2 + 3 y 2 = 4 ，
x 2 则曲线 E 的直角坐标方程为
+ y 2 = 1 .
4
（2）设 A (2cos α,2sin α )， α ∈[0, π]
，其中 t = 2cos α ，则 B (2cos α， sin α ).
要使得 △AOB 面积的最大，则 B (2cos α， sin α ).
1 3
∴ AB ⋅ x 2
2 2 2α ∈[0,2 π]，∴sin 2α ∈[-1,1].
3π 3
4 4 2
【点睛】本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查坐标系与参数方程的综
合应用.
23.选修 4-5：不等式选讲
设 f (x ) = 3 x -1 + x + 1 的最小值为 k .
（1）求实数 k 的值；
（ f (x ) = 3 x - 1 + x + 1 = ⎨-
2 x + 4, -1 < x < 1, ⎪4 x - 2, x ≥ 1, ( )
+ = m + 4 (n 2 + 1)⎤⎦ ⨯ 1 ⎫ ⎡ 2 1 n 2 + 1 ⎭ ⎣ 6
6 ⎢ m 2 n 2 + 1⎥ 6 2
( )
所以
1
利用零点分类讨论法求解.已知 m .
（2）设 m ， n ∈R ， m 2 + 4n 2 = k ，求证：
1 1 3
+ ≥ . m 2 n 2 + 1 2
【答案】 1） k = 2 ；
（2）见详解.
【解析】
【分析】
(1)将函数表示为分段函数，再求其最小值.
(2)利用已知等式构造出可以利用均值不等式的形式.
【详解】（1）
⎧-4 x + 2, x ≤ -1,
⎪
⎩
当 x = 1 时， f (x )取得最小值，即 k = f (1) = 2 .
（2）证明：依题意， m 2 + 4n 2 = 2 ，则 m 2 + 4 n 2 + 1 = 6 .
所以 1 1 ⎛ 1 m 2 n 2 + 1 ⎝ m 2
+ ⎪
1 ⎡ 4
(n 2 + 1)
m 2 ⎤ 1 3
= ⎢5 + + ⎥ ≥ 5 + 2 4 = ，
⎣ ⎦
当且仅当
4 (n 2
+ 1)
m 2
=
m 2
n 2
+ 1
，即 m 2 = 2 ， n 2 = 0 时，等号成立.
1 3 + ≥ . m
2 n 2 + 1 2
【点睛】本题考查求含绝对值函数的最值，由均值不等式求最值.含绝对值的函数或不等式问题，一般可以
n + a b
或 pa + qb ( m , n , p , q 是正常数， a, b ∈ R +)的值，求另一个的最值，
这是一种常见的题型，解题方法是把两式相乘展开再利用基本不等式求最值。