二次函数解析式的求法

课 题：二次函数解析式的求法
教学目的要求：掌握用待定系数法求二次函数解析式的方法
重 点：1、已知图象上任意三点坐标，求解析式。

2、已知图象的顶点和另一点的坐标或解析式。

难 点：点的坐标到式子的转化。

教学教具：投影片1、2、3、4、5
时 间：一课时
教学过程：
一、 复习：
师：二次函数的一般形式是什么？
生：y=ax 2+bx+c
师：它的顶点坐标是什么？对称轴是什么？
学生回答后板书：y=ax 2+bx+c 的顶点
对称轴x= 师：二次函数还有一种形式——顶点式是什么？
学生回答后板书：y=a(x+h)2+k
二、 新课：
1、 师：这节课我们来研究二次函数解析式的求法
板书：二次函数解析式的求法
师：以前求一次函数的解析式，我们用什么方法？
生：待定系数法
师：求一次函数的解析式y=kx+b ，因为有二个特定系数k 、b ， 所以通常要知道图象上多少个点才能求？
生：两个点
)44.2(2a b ac a b --a
b
2-
师：这节课我们求二次函数的解析式可仿照一次函数解析式的 求法，想一想，要求二次函数的解析式y=ax 2+bx+c 通常 要知道图象上的几个点才可以求？
生：三个点
师：好！现在看这个题（放投影1）
已知二次函数的图象过点（1，4），且与x 轴交点为（-1，
0） 和（3，0），求此函数的解析式。

师：题目给了我们哪些条件？图象过点（1，4）是什么意思？ 能否转化成式子?请同学们解一解吧！（依情况可作题示： 列方程组解），让一个学生口述列式过程，教师板书： 解：设所求二次函数解析式为y=ax 2+bx+c ，依题意得：
师生一起解后，教师板书：
解得：
教师小结已知三点，求二次函数的解析式，一般用待定系数法。

2、 师：如果在刚才的题中将“过点（1，4）”改为“顶点（1，4）”， “与x 轴的交点（-1，0）和（3，0）”改为“与x 轴的交 点为（-1，0）”能不能解呢？
（放投影片2）
已知二次函数的图象过顶点（1，4），且与x 轴的交点为 （-1，0），求此函数的解析式。

学生会将已知两点转化成二个方程 但有三个未知数不能解，当学生思维遇阻时，教师引导。

c b a c b a c
b a ++=+-=++=39004321==-=
c b a ∴3
22++-=x x y c
b a c
b a +-=++=04
师：这个点（1，4）不是普通点，而是特殊点——顶点，因此， 要从这特殊的地点去联想有关的知识。

学生联想到二次函数的顶点坐标 ，能想到 教师将这结果板书：
师：这个方程组比较难解，有没有简单的方法呢？
教师引导学生从二次函数的顶点式y=a(x+h)2+k 思考。

师：二次函数的顶点式y=a(x+h)2+k ，从中一看就知道
顶点是什么？
生：（-h,k ）
师：OK ！那么现在已知顶点（1，4），在y=a(x+h)2+k 里就知道 了什么？
生：h=-1,k=4
师：Very,good!还有一个a 怎么求得?题中还有条件吗？
学生回答后，让一个学生口述解题过程，教师板书：
解：设所求的函数为y=a(x+h)2+k
∵顶点（1，4） y=a(x-1)2+4 又∵过点（-1，0）， 0=a(-1-1)2+4 a=-1 y=-(x-1)2+4
3、 小结（板书）
求二次函数解析式可用待定系数法，当已知图象上任意三点的
坐标使用一般式：y=ax 2+bx+c 来解：当已知顶点坐标时，
使用顶点式y=a(x+h)2+k 来解化较简单。

三、 课堂练习
1、（放投影片3）
)4
4,2(2
a b ac a b --,444,122=-=-a b ac a b 4441202
=-=-+-=a
b a
c a b c b a ∴∴∴
∴
(1)、某二次函数的图象（0，1），（1，-3）和（1，3）三点，求 此函数解析式。

(2)、某抛物线顶点（2，-7）且过（0，-3），求此抛物线解析式。

2、师：如果将(2)题中的“顶点（2，-7）”改为“有最低点（2， -7），怎么办？
生：其实还是已知顶点（2，-7），解法与刚才一样。

师：如果将(1)题中的“（1，3）三点”改为“对称轴x=1”，又将
如何解呢？
教师引导：图象过两个点可列两个方程，还需要加一个方程才能
求解，而题中已知对称轴x=1，故要将这个条件转化为含有a 、 b 、c 的方程。

师：对称轴与a 、b 、c 有关系吗？
生：对称轴x= 师：太好了！那么x=1即是什么？ 生： 3、师：以上的题你们都懂得做了，下列这三题只给出图象，看看谁
先做出：（放投影片4）
(1)y=ax 2
+bx+c 的图象如图：
(2)二次函数的图象如图
a b 2-12=-a b x
(3)某抛物线的图象如图
求此函数解析式
（以上三题只要求列式）
第(1)题依图能找到三个点（-1，0），（3，0）和（0，-1）；
第(2)题能找到顶点（-3，3），但找原点比较隐蔽；第(3)题能找
到两点（2，0）和（0，-3），另一条件既可以对称轴x=-1,依对称 性得到（-4，0），也可直接从对称轴x=-1列式。

四、 课堂小测：（放投影片5）
1、 某抛物线顶点（-2，-3），且过点（1，6），则解析式为________
2、 二次函数y=ax 2+bx+c(1，2)，（-1，-2）和（2，7）三点，求
些解析式时可先列出方程组
___________
3、 二次函数的图象如图，则可找到
图中三点为_________________
五、 作业：
根据下列条件，分别确定二次函数的解析式。

1、 二次函数y=ax 2+bx+c 过点（-3，2），（-1，-1），（1，3）；
2、 抛物线与x 轴的两个交点的横坐标分别是 与y 轴的交
点纵坐标是-5。

3、 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图。

,23,21-x。