5 理想介质的均匀平面波 (2)

2
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2 2 E E E 2 2 2 2 k E 0 x y z 2 Ex 2 Ex 2 Ex 2 2 2 2 k Ex 0 x y z 2 2 2 Ey Ey Ey 2 2 2 k Ey 0 2 y z x 2 Ez 2 Ez 2 Ez 2 2 k 2 Ez 0 x 2 y z
4、相位速度（波速）
如图所示电磁波向+z方 向传播，从波形上可以认 为是整个波形随着时间变 化向+z方向平移。
Ex
t1
t2 t1
2π

0
π
3π
z
相位： t kz 0
10
令 t kz 0＝ const
两边对时间t去导数，得：
dz dz 1 k 0 vp dt dt k
讨论：1、Ex Eme jkz Eme jkz 为通解的复数表达形式， 通解的实数表达形式为：
Ex Re[( Eme jkz Eme jkz )e jt ] Em cos(t kz ) Em cos(t kz )
2、通解的物理意义：
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第二节 电磁波的极化特性
一、极化的定义 波的极化：指空间某固定位置处电场强度矢量随时 间变化的特性。 极化的描述：用电场强度矢量 E 终端端点在空间形成 的轨迹表示。 二、极化的分类： 线极化：电场仅在一个方向振动，即电场强度矢量端 点的轨迹是一条直线； 椭圆极化：电场强度矢量端点的轨迹是一个椭圆（椭 圆的一种特殊情况是圆） 注意：电磁波的极化方式由辐射源(即天线)的性质 决定。 19
jkr j E E0e (复数形式） E E0 cos(t k r ) (实数形式） 式中：E0 ＝E0 表示电磁波中电场的幅度
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表示电磁波动的角频率
k 为波矢量 为波的初始相位
E0 的方向表示电磁波中电场的方向
2
考虑一种简单情况，即电磁波电场沿x方向，波只沿z 方向传播，则由均匀平面波性质，知 只随z坐标变化。 E 则方程可以简化为：
5
2 Ex k 2 Ex 0 z 2
解一元二次微分方程，可得上方程通解为：
Ex Eme jkz Eme jkz
波动方程平面波解
式中: Em 、 m 为待定常数（由边界条件确定）. E
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三、无界理想媒质中均匀平面波的传播特性 在无界媒质中，若均匀平面波向+z向传播，且电场方 向指向 e x方向，则其电场场量表达式为：
E ex E0e jkz (场量的复数形式） 或E ex E0 cos(t kz) (场量的实数形式）
电磁波的场量表达式包含了有关波特性的信息。 1、均匀平面波电场场量的一般表达式
电磁波的能量密度：w we wm E 2 H 2
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结论：理想媒质中均匀平面波的电场能量等于磁场能量。
电磁波的能流密度：
1 1 2 S EH E k E E k 1 1 2 Sav Re[ E H ] E0 k ( E0为电场振幅) 2 2
均匀平面波：等相位面为平面，且在等相位面上，电、 磁场场量的振幅、方向、相位处处相等的电磁波。 在实际应用中，纯粹的均匀平面波并不存在。但某些 实际存在的波型，在远离波源的一小部分波阵面，仍可 近似看作均匀平面波。 一、理想介质中的均匀平面波函数
理想介质：＝0，J＝0，且充满线形、各向同性的 均匀介质。
频率： 2 f f 2 1 2 周期： T T f 3、波数k、波长与波矢量 k 波数k: 长为 2 距离内包含的波长数。 2 k
2、波的频率和周期
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2 2 1 波长: k f 波矢量 k ：表征波传播特性的矢量 2 k k k 式中：k即为波数 k k 即为表示波传播方向的单位矢量。
小结：无界理想媒质中均匀平面波的传播特性： 电场与磁场的振幅相差一个因子 电场和磁场在空间相互垂直且都垂直于传播方向。 E、 、k （波的传播方向）满足右手螺旋关系 H 电场、磁场的时空变化关系相 E 同。 电场、磁场的振幅不随传播距 k 离增加而衰减。 H
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例 频率为100MHz的正弦均匀平面波在各向同性的均匀理 想介质中沿+Z方向传播，介质的特性参数为 r 4, r 1 。设电场沿x方向，即 E ex Ex 。已知：当t=0, z=1/8 m时，电场等于其振幅值 104V / m 。 试求:（1）波的传播速度、波长、波数；（2）电场和磁 场的瞬时表达式； （3）坡印廷矢量和平均坡印廷矢量。 解：由已知条件可知：频率: f 100MHz 振幅: Ex 0 104V / m

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1 4 4 8 ez ex 10 cos(2 10 t z ) 60 3 6 ey 4 4 8 10 cos(2 10 t z ) 60 3 6 (3) S (t ) E (t ) H (t ) ez 4 8 2 8 10 cos (2 10 t z ) 60 3 6 108 1 T S av S (t )dt ez W / m2 T 0 120 4 4 j z j ey 4 j 3 z j 6 H 104 e 3 6 另解： ex10 e E 60 8 1 10 S av Re[ E H ] ez W / m2 2 120 18
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1、当 x y 0或 时
2 2 E ex Ex ey E y E ＝ Ex E y 2 2 E ＝ Exm E ym cos(t )
电场与x轴夹角为：
E ym const ( x y 0) arctan Exm Ey arctan E ym Ex arctan const ( x y ) Exm
4 10 120 377() 1 9 10 36
说明： E H k H 1 E、 、k 三者相互垂直，且满 H k E 足右手螺旋关系。
6、能量密度和能流密度 实数表达形式
1 2 电场能量密度： we E 2 1 2 1 2 1 2 磁场能量密度：wm H ( E) E 2 2 2 we wm
3 8 10 m / s (1) v p r r 0 0 2 4 8 2 8 k 2 10 10 3 3
1
1
1
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2 1.5m k (2)设 E ex E0 cos(t kz 0 )
4
由已知条件，可得：
E ex Ex ey Ey 式中：Ex＝Exm cos( t kz x ) E y＝E yபைடு நூலகம் cos( t kz y )
由于空间任意点处电场随时间的变化规律相同，故选 取z=0点作为分析点，即：
化方式。
Ex＝Exm cos( t x ) E y＝E ym cos( t y ) E 场量表达式中， xm , Eym ,x , y 的取值将决定波的极
5、场量 E ， 的关系 H jkr jkr E E0e ) j H (E0e B E j B jkr t j H jk (E0e ) k 为表示波传播方向 H k E 的单位矢量。
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这表明沿z方向传播的均匀平面波的电场强度和磁场 强度都没有沿传播方向的分量，即与传播方向垂直，这
种波称为横电磁波（TEM波）。
二、亥姆霍兹方程的平面波解 在正弦稳态下，在均匀、各向同性理想媒质的无源区 域中，电场场量满足亥姆霍兹方程，即：
2 E k E 0 (k 2 2 )
x
E=excos(wt-kz)
z y
x
z o
o
y 观察平面，z=const
显然，电场的振动方向始终是沿 x轴方向，所以这 是一个沿x方向的线极化波。 三、极化的判断 通过两个相互正交的线极化波叠加，合成得到不同 的极化方式。 由电磁波电场场量或者磁场场量，可以判断波的极 化方式。 20
设均匀平面电磁波向+z方向传播，则一般情况下， 其电场可以表示为：

同理可以推得： E H k

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从公式可知：均匀平面电磁波中电场幅度和磁场幅度 之比为一定值。定义电场幅度和磁场幅度比为媒质本征 阻抗，用 表示，即：
E ＝ H
——媒质本征阻抗
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特殊地：真空（自由空间）的本振阻抗为：
0 0 0
结论：在自由空间中传播的电磁波，电场幅度与磁场 幅度之比为377。 13
Ex t 0
t

4
t


2
0
π

2π
首先考察 E e jkz 。其 m 实数形式为：
3π kz
E cos(t kz)
m
不同时刻 E x 的波形
在不同时刻，波形如右图。
从图可知，随时间t增加，波形向+z方向平移。故： e jkz 表示向+z方向传播的均匀平面波； 同理可知： e jkz 表示向-z方向传播的均匀平面波； 亥姆霍兹方程通解的物理意义：表示沿z向(+z,-z) 方向传播的均匀平面波的合成波。
2、真空中电磁波的相位速度：
讨论：1、电磁波传播的相位速度仅与媒质特性相关。
1 9 4 10 10 36 8 vp0 3 10 ( m/ s c 光速) ) (
7
vp0
1
0 0

1
真空中电磁波相位速度为光速。
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3、 =
1 f

vp f
vp f
4 4
4 由条件，可知： 0 10 ， 2 10 ，k E 3 4 4 即：E ex10 cos(2 108 t z 0 ) 3
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4 1 10 10 cos( 0 ) 0 3 8 6 4 4 8 E ex10 cos(2 10 t z ) 3 6 H k E
2
选用直角坐标系，假设均匀平面波沿z方向传播，则
电场强度 E 和磁场强度 H 都不是x和y的函数 E E H H 0 0 x y x y
又： E 0, H 0 Ez H z 0, 0,由Ez，H z的波动方程可得： x y Ez =0，H z 0
第五章 均匀平面波
本章内容： 1. 理想介质中均匀平面波（对应课本5.1节） 2. 电磁波的极化特性（5.2节） 3. 均匀平面波在导电媒质中的传播（5.3节） 4. 均匀平面波对分界面的垂直入射（6.1节） 5. 均匀平面波对理想分界面的斜入射（6.3节）
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第一节 理想介质中的均匀平面波
平面波：波阵面为平面的电磁波（等相位面为平面）。