二次根式的概念和性质

≥5.既0 可表示开方运算,也可表示运算的结果.
例1 : 判断，下列各式中那些是二次根式？
a 10 , 00..0044,, aa2 ,2 ,
5,
aa,, 3 8.
定义：式子 a (a 0) 叫做二次根式.
其中a叫做被开方式。
不要忽略
求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a 1 3 a 32
(6) 1 x2
(8) 3 x | x | 4
x0
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
例 2：要使 x-1 有意义，字母 x 的取值必须满足
什么条件？ 解：由 x-1≥0，得 x≥1。
问：将式子 x-1 改为 1-x ，则字母 x 的取值必须 满足什么条件呢？
6、
x-1 x-2
二次根式的性质（１）
非负数的算术平方根仍然是非负数。 性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
引例：|a-1|+(b+2) 2=0 , 则 a= b=
例 4：已知 a+2 +|3b-9|+(4-c)2=0, 求 2a-b+c 的值。 解：∵ a+2 ≥0、|3b-9|≥0、(4-c) 2≥0，
二次根式
1.二次根式的概念
正数有两个平方根且互为相反数；
1、平方根的性质： 0有一个平方根就是它0；
负数没有平方根。
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？ 正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。
2 1
1 2a
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
练习： x取何值时,下列二次根式有意 义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
(3) 4x2 x为全体实数(4) 1 x 0 x
(5) x3 x 0
(7) 1 a < 1 1 2a 2
x- 1+ y+ 3= 0
∴ x- 1 ＝０， y + 3 ＝０ ∴x＝１，y＝－３ ∴x＋y＝－２
例 求下列二次根式的值
(1) (3- p)2 (2) x2 - 2x + 1(x = - 3)
解：(1) (3- p)2 = | 3- p |
∵ 3- p < 0
∴ (3- p)2 = p - 3 (2) x2 - 2x + 1 = (x- 1)2 = | x- 1|
解得 - 5≤x＜3
练习：求下列二次根式中字母的取值范围：
(1) a 1 (2) 1
1 2a
(3) (a 3)2
4 2 5x 5 2x 12
6 x 5 3 2x
7 2x 1
1 x
（8）
练习与反馈
1．要使下列式子有意义，求字母Ｘ
的取值范围
1
（１） 3 x （２） 2x 5
又∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, ∴a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 ∴a= -2 , b= 3 ,c= 4。 ∴2a-b+c=2×(-2) -3+4 = -3。
二次根式的双重非负性解析
经常作为隐含条件，是解题的关键 例 已知 x- 1+ y + 3 = 0 ，求x＋y的值 解：∵ x - 1 ≥０， y + 3 ≥０，
它必须具备如下特点： 1、根指数为 2； 2、被开方数必须是非负数。
3 想一想： 10 、 -5 、 8
5 3 、 (-2)2
a (a＜0﹚、
a2+0.1 、 -a (a＜0﹚是不是二次根式？
s
定义： 像 a2 2500 , , b 3 这样表示的算术 平方根，且根号内含有字母的代数式叫做二 次根式。
题型:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1. 当 x ≤__3___时， 3 x 有意义。
2. a 4+ 4 a 有意义的条件是 a 4 .
3.求下列二次根式中字母的取值范围
x 5
1 3x
解： x 5 0 ① 3- x 0 ②
说明：二次根式被开方数 不小于0，所以求二次根 式中字母的取值范围常转 化为不等式（组）
注意：为了方便起见，我们把一个数的算术平方根 也叫做二次根式。如 3, 1
2
思考： a 1 是不是 二次根式?
不是,它 是二次根 式的代数 式.
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根
2. a可以是数,也可以是式.
3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a
( 双重非负性)
由3 x 0得：x 3 由2x 5 0得：x 5
2
（３） 1 x
xHale Waihona Puke Baidu
由1x
x 0得：x 0

1且x

0
2．（１）( 3)2 ____3
（２）当 x 1 时， (1 x)2 __x__1
（３） (x 2)2 x 2 ，
则Ｘ的取值范围是＿x＿＿2
当x＝- 3 时，x－１<０
∴ x2 - 2x + 1 = 1- x = 1+ 3
例
3：要使
x-2 x-3
有意义，字母
x
的取值必须满足
什么条件？
解：由 x-2≥0，且 x-3≠0, 得 x≥2 且 x≠3。
想一想：假如把题目改为：要使
x-2 x-1
有意义，
字母 x 的取值必须满足什么条件？ x≥2
想一想：一个正数的算术平方根是 正数。
零的算术平方根是 0 。 负数有没有算术平方根？ 没有
2、 a 表示什么？ 表示非负数a的算术平方根
试一试 ：说出下列各式的意义；
16, 81, 0, 1 , 49
0.04;
观察： 上面几个式子中，被开方数的特点？ 被开方数是非负数 即: a 0
1.二次根式的概念
a (a≥0)表示非负数 a 的算术平方根，
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。
（４）若
(x 7)2 1
，
x7
则Ｘ的取值范围是＿x＿＿7
小结一下
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
?
做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必
须满足什么条件？
1、 x+3
2、 2-5x
3、
1 x
4、 a2+1
5、 x-3 + 4-x