备战2020高考数学之冲破压轴题-专题12 圆锥曲线中的最值、范围问题【教师版】

第三章 解析几何
专题12 圆锥曲线中的最值、范围问题
【压轴综述】
圆锥曲线中最值与范围问题是近几年考查的热点问题，本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用代数方法求解最值、范围问题. 一、圆锥曲线中最值问题的两种类型和两种解法
(1)两种类型
①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；
②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题． (2)两种解法
①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解． 二、解决圆锥曲线中的取值范围问题的5种常用解法
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用代数方法求解最值、范围问题.
【压轴典例】
例1.（2019·湖南高三月考）点A 、B 为椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>长轴的端点，C 、D 为椭圆E 短轴
的端点，动点M 满足2MA MB
=，若MAB ∆面积的最大值为8，MCD ∆面积的最小值为1，则椭圆的离心
率为（ ）
A.
3
B.
3
C.
2
D.
2
【答案】D
【解析】
设(),0A a -，(),0B a ，(),M x y .
∵动点M 满足
2MA
MB =
=2
2
251639a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭. ∵MAB ∆面积的最大值为8，MCD ∆面积的最小值为1， ∴
142823a a ⨯⨯=，112123b a
⨯⨯=，解得
a =2
b =
，
=
. 故选D .
例2.（2019·山东高考模拟（理））已知(0,3)A ，若点P 是抛物线2
8x y =上任意一点，点Q 是圆
2
2
(2)1x y +-=上任意一点，则2
||PA PQ
的最小值为（
）
A ．4
B ．1
C ．2
- D ．1
【答案】A 【解析】 设点
，由于点P 是抛物线
上任意一点，则2
008(0)x y y =≥，
点(0,3)A ，则2
2222000000(3)8(3)29PA x y y y y y =+-=+-=++，
由于点Q 是圆2
2
(2)1x y +-=上任意一点，所以要使2
||PA PQ
的值最小，则PQ 的值要最大，即点P 到圆
心的距离加上圆的半径为PQ
的最大值，则
0max 113PQ y ===+ ，
∴
22002000000()4()12||129333)3(32
43
y y y y P P y y y Q y A -++++≥==+++++-+，
003312()y y +++
≥=
∴2||PA PQ
的最小值为4，
故答案选A.
例3.（2019·江西临川一中高三月考（文））已知点P 是椭圆22
1168
x y +=上非顶点的动点，12,F F 分别是椭
圆的左、右焦点，O 为坐标原点，若M 为12F PF ∠的平分线上一点，且10F M MP ⋅=，则OM 的取值范围为（ ）
A ．(]0,3
B ．(
0,
C ．()0,3
D ．(0,
【答案】D 【解析】
如图所示，不妨设点P 在y 轴右边，因为M 为12F PF ∠的平分线上一点，且10F M MP ⋅=，所以PM 为1F N 的垂直平分线，故1PF PN =，由中位线定理可得21
2
OM F N =
. 设点()00,P x y ，由焦半径公式得，10PF a ex =+，
20PF a ex =-，21202F N PF PF ex ∴=-=，故
0OM ex =，因为4,a c ==2
e =
， ()
00,4x ∈，(0OM ex ∴=∈，故选D.
例4. （2017·浙江高考真题）如图，已知抛物线2
x y =.点A 1139-2424B ⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，，，抛物线上的点P （x,y ）
1
3-x 2
2⎛⎫ ⎪⎝⎭＜＜,过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q
（I ）求直线AP 斜率的取值范围； （II ）求PA?PQ 的最大值 【答案】（I ）（-1，1）；（II ）27
16
. 【解析】
（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，
21
14122x k x x -
=
=-+， 因为13
22
x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-．
（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程
110,24
930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨
⎪+--=⎪⎩
解得点Q 的横坐标是22
432(1)
Q k k x k -++=+． 因为|P A
1)2
x +
1)k +， |PQ
|=
2
)Q x x -=
所以3(1)(1)k k PA PQ ⋅--+=．
令3
()(1)(1)f k k k =--+，
因为2
'()(42)(1)f k k k =--+，
所以 f (k )在区间1
(1,)2-上单调递增，1(,1)2
上单调递减，
因此当k =
12时，||||PA PQ ⋅取得最大值2716
． 例5. （2017·山东高考真题（文））在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22
221x y a b +=(a >b >0)
的离心率为2,椭圆C 截直线y =1
所得线段的长度为(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,⊙N 的半径为|NO |. 设D 为AB 的中点,DE ,DF 与⊙N 分别相切于点E ,F ,求∠EDF 的最小值
.
【答案】（Ⅰ） 22
142
x y +=.(II) 3π.
【解析】
（Ⅰ）由椭圆的离心率为
2
，得222
2()a a b =-， 又当1y =时，22
2
2a x a b =-，得22
22a a b
-=，
所以22
4,2a b ==，
因此椭圆方程为22
142
x y +=.
（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，
联立方程22
24
y kx m
x y =+⎧⎨
+=⎩， 得2
2
2
(21)4240k x kmx m +++-=， 由>0∆得2242m k <+.（*）
且122
421
km
x x k +=+， 因此122221m
y y k +=+，
所以2
22(,)2121
km m
D k k -++， 又(0,)N m -， 所以2
2222
2()()2121
km m
ND m k k =-
++++ 整理得224222
4(13)
(21)m k k ND k ++=
+ ， 因为NF m =，
所以
24222
22
22
4(31)831(21)(21)ND k k k k k NF
+++==+++. 令2
83,3t k t =+≥，
故2
1
214
t k ++=
， 所以
22
2
1616
111(1)2ND
t t NF
t t
=+
=++++ . 令1y t t
=+，所以211y t
'=-. 当3t ≥时，0y '>,
从而1y t t =+在[3,)+∞上单调递增，
因此110
3
t t +≥，
等号当且仅当3t =时成立，此时0k =，
所以
22
134ND NF
≤+=，
由（*）得 m << 且0m ≠. 故
12
NF ND
≥
， 设2EDF θ∠=， 则1sin 2
NF ND
θ=
≥
， 所以θ的最小值为
π6
， 从而EDF ∠的最小值为
π
3
，此时直线l 的斜率是0.
综上所述：当0k =，(m ∈⋃时，EDF ∠取到最小值
π3
. 例6.（2018·浙江高考真题）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2
=4x 上存在不同的两
点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．
（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；
（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2
+2
4
y =1(x<0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）⎡⎢⎣⎦
.
【解析】
（Ⅰ）设()00,P x y ，2111,4A y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，2
221,4
B y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程
2
2
014422y x y y ++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭
， 即22
000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根．
所以1202y y y +=． 因此，PM 垂直于y 轴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知120212
002,
8,y y y y y x y +=⎧⎨=-⎩
所以()
2221200013384
PM y y x y x =
+-=-，
12y y -=． 因此，PAB △
的面积()
3
2
2
1200
1424
PAB
S
PM y y y x =⋅-=-．
因为2200
01(0)4
y x x +=<，所以[]22
000044444,5y x x x -=--+∈．
因此，
PAB △
面积的取值范围是4⎡⎢⎣⎦
．
例7.（2019·浙江高考真题）如图，已知点(1
0)F ，为抛物线22(0)y px p =>，点F 为焦点，过点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点C 在抛物线上，使得V ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为
12,S S .
（1）求p 的值及抛物线的准线方程；
（2）求1
2
S S 的最小值及此时点G 的坐标.
【答案】（1）1，1x =-；（2
）1+()2,0G . 【解析】 (1)由题意可得
12
p
=，则2,24p p ==，抛物线方程为24y x =，准线方程为1x =-. (2)设()()1122,,,A x y B x y ，
设直线AB 的方程为()1,0y k x k =->，与抛物线方程24y x =联立可得：
()2222240k x k x k -++=，故：222224
2,1k
x x x x +=+
=， (
)
1212124
2,4y y k x x y y k
+=+-==-
⨯
=-，
设点C 的坐标为()33,C x y ，由重心坐标公式可得：
1233G x x x x ++=
321423x k ⎛⎫++ ⎝=⎪⎭，1233G y y y y ++=3143y k =⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
， 令0G y =可得：34y k =-，则2
3324
4y x k
==.即222144123382G k x k k ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭=，
由斜率公式可得：
13132
23113134
44
AC y y y y k y y x x y y --=
==-+-，
直线AC 的方程为：()3313
4
y y x x y y -=
-+，
令0y =可得：()()2
31331331334444
Q y y y y y y y y y
x x -+-+=+=+=-，
故()11112218121323118223G F y S x x y y k k ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫+-⨯=⨯- ⎪=
⨯-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝=⨯⎭⎣⎦， 且()()32213311822423Q G y y y S x x y k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎡⎤=
⨯-⨯-=---⎢⎥⎣⎦
， 由于34
y k
=-
，代入上式可得：12222833y S k k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，
由12124,4y y y y k
+==-可得1144y y k -=，则12144y k y =-，
则
()()()2211122121112281233222284433y y S y S y y k k k y k -==⎛⎫-+--⎛⎫
⨯- ⎭
⎪
⎝⎭
⎪⎝()212142488168y y =--++-
212≥=+
.
当且仅当2
12
14888
y y
-=
-，即2
18
y =+
1y =
. 此时12144y k y =
=-，281223G x k ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
=，则点G 的坐标为()2,0G . 例8.（2019·全国高考真题（理））已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−1
2
.记M 的轨迹为曲线C .
（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .
（i ）证明：PQG 是直角三角形； （ii ）求PQG 面积的最大值. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】
（1）直线AM 的斜率为
(2)2y x x ≠-+，直线BM 的斜率为(2)2
y
x x ≠-，由题意可知：221
24,(2)222
y y x y x x x ⋅=-⇒+=≠±+-，所以曲线C 是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为()221,242
x y x +=≠±；
（2）（i ）设直线PQ 的方程为y kx =,由题意可知0k >,直线PQ 的方程与椭圆方程2
2
24x y +=
联立,
即
22
,2 4.x y kx x y y ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=
⎪⎩
或x y ⎧
=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
,点P 在第一象限，所以
P Q ，因此点E
的坐标为
直线QE 的斜率为2QE k
k =
，可得直线QE
方程：2k y x =-
2222 4.
k y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩
，消去y
得，22222128(2)021k k x k ++=+（*），设点11(,)G x y ，显然Q 点
和1x 是方程（*）的解
所以有222112128212k k x x k +-+=⇒=+，代入直线QE 方程中，得
3
1y =
G
的坐标为23
，
直线PG 的斜率为
; 3
322222(2)1642(2)PG
k k k k k k k -+=
==-+-+, 因为1
()1,PQ PG k k k k
=⋅-=-所以PQ PG ⊥，因此PQG 是直角三角形； （ii ）由（i
）可知：P Q ，
G
的坐标为23
，
PQ ==
，
PG =
,
34218()2252
PQG
k k S k k ∆+==++
42'
422
8(1)(1)(232)(252)
k k k k S k k -+-++=++,因为0k >，所以当01k <<时，'0S >，函数()S k 单调递增，当1k >时，'0S <，函数()S k 单调递减，因此当1k =时，函数()S k 有最大值，最大值为16(1)9
S =
. 【压轴训练】
1．（2017·全国高考真题（文））（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A ，B 是椭圆C ：22
13x y m
+=长轴的两个端
点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是（ ）
A ．(0,1][9,)+∞
B ．[9,)+∞
C ．(0,1][4,)+∞
D ．[4,)+∞
【答案】A 【解析】
当03m <<时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则
t a n 603a
b
≥=
≥，得01m <≤；当3m >时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则
tan603a
b
≥=
≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞，选A ． 2．（2019·浙江温州中学高三月考）已知点P 在圆2
2
680x y y +-+=上，点Q 在椭圆()2
2211x y a a
+=>上，
且PQ 的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值等于__________，当椭圆的离心率取到最大值时，记椭圆的右焦点为F ，则PQ QF +的最大值等于__________．
5+ 【解析】
22680x y y +-+=化简为22(3)1x y +-=，圆心(0,3)A .
PQ 的最大值为5等价于AQ 的最大值为4
设(,)Q x y ，即2
2
(3)16x y +-≤，又()22211x
y a a
+=>
化简得到222
(1)670(11)a y y a y --+-≤-≤≤ 当1y =-时，验证等号成立 对称轴为231x a =
-满足2
3
1,21x a a
=≤-≤-故12a <≤
222
22211314c a e e a a a -===-≤∴≤
当2a =时，离心率有最大值，此时椭圆方程为2
214
x y +=，设左焦点为1F
11141455PQ QF PQ QF AQ QF AF +=+-≤++-≤+=+当1,,,A F P Q 共线时取等号.
故答案为
2
和5+3．（2019·甘肃兰州一中高三月考（理））已知抛物线方程为y 2
＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________.
【答案】
15
- 【解析】 如图所示：
如图，过点A 作AH ⊥l 于H ，AN 垂直于抛物线的准线于N ，则|AH|+|AN|=m+n+1，
连接AF ，则|AF|+|AH|=m+n+1，
由平面几何知识，得当A ，F ，H 三点共线时，|AF|+|AH|=m+n+1取得最小值，根据点到直线距离公式，求得
|FH|=
5=即m+n
1 4．（2020·浙江高三月考）已知P 是椭圆22
2211
1x y a b +=（110>>a b ）和双曲线2222221x y a b -=（220,0a b >>）
的一个交点，12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，12,e e 分别为椭圆和双曲线的离心率，若123
F PF π
∠=，
则12e e ⋅的最小值为________．
【解析】
根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P 在第一象限，那么12PF PF >， 因为椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线的半焦距为c ， 根据椭圆与双曲线的定义，有：
1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ， 解得112=+PF a a ，212=-PF a a ， 在12F PF ∆中，由余弦定理，可得： 2
2
2
1212122cos
3
π
=+-F F PF PF PF PF ，
即222121212124()()()()=++--+-c a a a a a a a a ， 整理得2221243=+c a a ， 所以
22
1211
34+=e e ，
又
221212
113+≥e e ，
所以12≥
e e
5．（2019·河北高三月考）已知P 是离心率为2的双曲线()2
2
10y x m m
-=>右支上一点，则该双曲线的渐
近线方程为_______，P 到直线()1y m x =-的距离与P 到点()2,0F -的距离之和的最小值为_____.
【答案】y = 25
+ 【解析】
离心率为2的双曲线()22
10y x m m -=＞2=，解得m ＝3，双曲线方程为：x 2
213y -
=，故
双曲线的渐近线方程为：y =； 双曲线的焦点坐标（±2，0），
PF ′﹣PF ＝2，PF ′+PD ＝2+PF +PD ，显然PDF 三点共线，并且PF 垂直直线y ＝2x 时， P 到直线y ＝2x 的距离与P 到点F （﹣2，0）的距离之和的最小值：
2=2．
故答案为：y =；25
+
． 6．（2018·黑龙江哈师大附中高考模拟（理））已知椭圆()222:102x y
C a b a b
+=>>的右焦点为(),0F c ,点P
为椭圆C 上的动点，若PF 的最大值和最小值分别为2和2. (I)求椭圆C 的方程
(Ⅱ)设不过原点的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点,若直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列,求OPQ ∆面积的最大值
【答案】(1) .(2)1.
【解析】
（I）由已知得：
椭圆方程为
（II）设（易知存在斜率，且），设由条件知：
联立(1)(2)得：
点到直线的距离
且
所以当时：
.
7．（2019·山东高考模拟（理））已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率为12，
P 是椭圆C 上的一个动点，且12PF F ∆
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线2PF 斜率为(0)k k ≠，且2PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，是否存在点(0,)T t ，使得||||?TP TQ =若存在，求t 的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) 22
143
x y += (2)见解析
【解析】
（1）当P 为C 的短轴顶点时，12PF F ∆
所以222
12
122
c a a b c c b ⎧
=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩
，解得21
a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为：22143x y +=.
（2）设直线PQ 的方程为(1)y k x =-，
将(1)y k x =-代入22143
x y +=，得()2222
3484120k x k x k +-+-=；
设()()1122,,,P x y Q x y ，线段PQ 的中点为()00,N x y ，
()2
12120002
2
43,
1234234x x y y k k
x y k x k k
++-===
=-=++， 即22243,3434k k N k k ⎛⎫
- ⎪
++⎝⎭
因为||TP
TQ =，所以直线TN 为线段PQ 的垂直平分线，
所以TN PQ ⊥，则·
1TN PQ k k =-，即2
223431443
k
t k k k k --+⋅=-+， 所以
21343
4k t k k k
=
=
++
， 当0k >
时，因为3
4k k +≥
t ⎛∈ ⎝⎦， 当k 0<
时，因为3
4k k +≤-
12t ⎡⎫∈-⎪⎢⎪⎣⎭
. 综上，存在点T ，使得||TP TQ =，且t
的取值范围为⎡⎫⎛⋃⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦
. 8．（2019·河北辛集中学高三月考（文））已知焦点在y 轴上的抛物线1C 过点(2,1)，椭圆2C 的两个焦点分别为1F ，2F ，其中2F 与1C 的焦点重合，过点1F 与2C 的长轴垂直的直线交2C 于A ，B 两点，且3AB =，曲线3C 是以坐标原点O 为圆心，以2OF 为半径的圆. （1）求2C 与3C 的标准方程；
（2）若动直线l 与3C 相切，且与2C 交于M ，N 两点，求OMN ∆的面积S 的取值范围.
【答案】(1) 2C 的标准方程为22143y x +=.3C 的标准方程为22
1x y +=
.(2) 32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】
（1）由已知设抛物线1C 的方程为2
2(0)x py p =>，
则42p =，解得2p =，即1C 的标准方程为2
4x y =.
则()20,1F ，不妨设椭圆2C 的方程为22
221(0)y x a b a b
+=>>，
由22
2211
y x a b y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2b x a =±，所以223b AB a ==，
又221a b =+，所以2a =
，b =
故2C 的标准方程为22
143
y x +=.
易知21OF =，所以3C 的标准方程为22
1x y +=.
（2）因为直线l 与3C 相切，所以圆心O 到直线l 的距离为1.所以1
122
MN S MN =
⨯⨯=
. 当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =±，易知两种情况所得到的OMN ∆的面积相等.
由22
143
1
y x x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩
，得y =
不妨设M ⎛ ⎝
⎭
，1,N ⎛ ⎝⎭
，则3MN =，
此时2
MN S =
=
. 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，
则1=，即221m k =+.
由22
143y x y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，得()2223463120k x kmx m +++-=， 所以(
)(
)
2
2
2
2
36434312k m k m ∆=-+- (
)()
22
2
484348230k m k
=+-=+>恒成立.
设(),M M M x y ，(),N N N x y ，
则2634M N km x x k -+=+，22
312
34
M N m x x k -=+.
所以2MN
S =
令()2
344k t t +=≥，则2
4
3
t k -=
，
所以S =
=
令1'm t =，则1'0,4
m ⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦
，
易知2
''2y m m =--+区间10,4
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
上单调递减，所以
32S ≤<
.
综上，OMN ∆的面积S 的取值范围为3,23⎡⎢⎣⎦
.
9．已知椭圆C 1的方程为2
214
x y +=，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶
点分别是C 1的左、右焦点，O 为坐标原点． (1)求双曲线C 2的方程；
(2)若直线l ：y ＝kx 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且2OA OB ⋅>，求k 的取值范围．
【答案】（1）22
13x y -=；（2）1,⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ 【解析】
(1)设双曲线C 2的方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>
则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2
＝1，
故双曲线C 2的方程为23x －y 2
＝1.
(2)将y ＝kx 代入2
3
x －y 2＝1，
得(1－3k 2)x 2
－kx －9＝0.
由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，
得22
130
36(1)0
k k ⎧-≠⎨∆=->⎩ ∴k 2<1且k 2≠
13
.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2
x 1x 2＝2913k --. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1
)(kx 2
)
＝(k 2
＋1)x 1x 2
k (x 1＋x 2)＋2＝22
37
31
k k +-. 又∵OA OB ⋅>2，即x 1x 2＋y 1y 2>2，∴22
37
31
k k +- >2 >2，即223931k k -+->0， 解得
13
<k 2
<3.② 由①②得13
<k 2
<1，
故k
的取值范围为(1,,1)33
--
⋃ 10．（2019·浙江高考模拟）对于椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>，有如下性质：若点()00,P x y 是椭圆外一点，
PA ，PB 是椭圆的两条切线，则切点,A B 所在直线的方程是
00221x x y y
a b
+=，利用此结论解答下列问题： 已知椭圆2
2:12x C y +=和点()2,t P ()t R ∈，过点P 作椭圆C 的两条切线，切点是,A B ，记点,A B 到直
线PO （O 是坐标原点）的距离是1d ，2.d
（Ⅰ）当0t =时，求线段AB 的长； （Ⅱ）求
12
AB d d +的最大值.
【答案】
（Ⅰ）AB =
（Ⅱ）
4
【解析】
（Ⅰ）因为点()2,P t ，直线AB 的方程式：
212
x
ty +=， 即1x ty +=，当0t =时，直线AB 的方程是1x =，
此时AB =
（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线AB 的方程是1x ty +=，直线PO 的方程是20tx y -=. 设()11,A x y ，()22,B x y
，则12d d +=
+
.
又112
21,1,x ty x ty +=⎧⎨+=⎩由点,A B 在直线PO 的两侧可得112tx y -与222tx y -异号，
所以
12d d
+=
.
又12AB y =-，
所以12
AB d d =+设22t x +=
，则
12
AB d d =
=
+ 所以，当
114x =，即24,2x t ==
时，12AB d d +有最大值为4
11．（2019·全国高三月考（文））已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左焦点1F ，直线:2360l x y --=与
y 轴交于点P .且与椭圆交于A ，B 两点.A 为椭圆的右顶点，B 在x 轴上的射影恰为1F . （1）求椭圆E 的方程；
（2）M 为椭圆E 在第一象限部分上一点，直线MP 与椭圆交于另一点N ，若:P N
PMA
B S S
λ=，求λ的取
值范围.
【答案】（1）22
198
x
y +=；（2）99λ<<+
【解析】
:2360l x y --=与椭圆的一个交点A 为椭圆的右顶点
(3,0)A ∴.
又1BF x ⊥轴，得到点2
,b B c a ⎛⎫--
⎪⎝
⎭
，
2
222
3
332601a a b c b a c a b c
=⎧=⎧⎪⎪⎪
∴-+-=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎩
椭圆E 的方程为22
198
x y +=.
（2）因为
1
sin 32(3)11sin 2
3PA PM APM
S PAM PM PM S PBN PN PN PB PN BPN λ
λλ⋅⋅∠⋅===⇒=>⋅⋅⋅∠ 所以3
PM PN λ
=-，由（1）可知(0,2)P -，设MN 方程2y kx =-，()()1122,,,M x y N x y ，
联立方程222198y kx x y
=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()
221936360k x kx +--=，得1221223698()3698k x x k x x k ⎧
+=⎪⎪+*⎨-⎪⋅=⎪+⎩
， 又()()1122,2,,2PM
x y PN x y =+=+，有123
x x λ=-，将其代入(*)化简可得：
2
2
2
(3)10898
k k λ
λ-=+，因为M 为椭圆E 在第一象限部分上一点，所以23
k >
， 222
108108
(4,12)
8
989k k k ∴=∈++，则2(3)412λλ
-<<且3λ>，
解得99λ<<+
12．（2019·四川石室中学高三开学考试（理））己知椭圆()22
22C :10x y a b a b
+=>>上任意一点到其两个焦
点1F ，2F
的距离之和等于2c ，圆2
2
2
:O x y c +=，1A ，2A 是椭圆的左、右顶点，AB 是圆
O 的任意一条直径，四边形12A AA B
面积的最大值为
（1）求椭圆C 的方程；
（2）如图，若直线()1:0l y kx m m =+≠与圆O 相切，且与椭圆相交于M ，N 两点，直线2l 与1l 平行且与椭圆相切于P （O ，P 两点位于1l 的同侧），求直线1l ，2l 距离d 的取值范围．
【答案】（1）22
154
x y +=（2
）3,1⎡⎣ 【解析】
（1
）由椭圆的定义知：2a
=a ∴=
又当直径AB x ⊥轴时四边形12A AA B
的面积最大，最大为2ac =1c =，2b =
∴椭圆22
:154
x y C +=
（2）因为直线()1:0l y kx m m =+≠与圆O
相切，1=
m ∴=又设直线2:l y kx n =+，联立22
154
x y y kx n ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
消去y 有()
222
54105200k x knx n +++-= ()()()2
22104545200kn k n ∴∆=-+-=化简有2254n k =+
因为1n
d m m
n m =
=
=--， 又2
222541511n k m k k +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
，又20k ≥，21011k <≤+，2
45n m ⎛⎫∴≤< ⎪⎝⎭ 又由O ，P 两点位于1l 的同侧，m ，n
异号，2n
m
≤-
13,1n d m ⎡
∴=-
∈⎣
.
13．（2019·浙江高三月考）过抛物线()2
20y px p =>上一点P 作抛物线的切线l 交x 轴于Q ，F 为焦点，
以原点O 为圆心的圆与直线l 相切于点M
.
（Ⅰ）当p 变化时，求证：
PF
QF
为定值. （Ⅱ）当p 变化时，记三角形PFM 的面积为1S ，三角形OFM 的面积为2S ，求
1
2
S S 的最小值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；
（Ⅱ）3+【解析】
（Ⅰ）设()00,P x y ，则过P 的切线l 方程为()00y y p x x =+， 于是Q 为()0,0x -. 则02p QF x =
+，02
p
PF x =+， 故1PF
QF
=.
（Ⅱ）OM =
M 的坐标为2000222200,p x px y p y p y ⎛⎫
- ⎪++⎝⎭
， ()
200
0022222001224px y p x y p S p y p y =⨯⨯=++ 00100220122px y p S x y p y ⎛
⎫⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭2000000022
244p x p y px y py x y p y +++⨯=+ ()()2
000122002p x y p px S S p x y ++=()()000
2p x p x px ++
=00233x p x p =++≥+，
当且仅当02x =时取“=”，综上12
S S
的最小值为3+
14．（2019·山西高三月考（文））已知抛物线C ：()2
20x py p =>，其焦点到准线的距离为2，直线l 与抛
物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l 交于点M （Ⅰ）求抛物线C 的方程
（Ⅱ）若12l l ⊥，求三角形MAB △面积的最小值 【答案】（Ⅰ）2
4x y =；（Ⅱ）4. 【解析】
（Ⅰ）焦点到准线的距离为2，即2p =，所以求抛物线C 的方程为2
4x y =
（Ⅱ）抛物线的方程为2
4x y =，即214y x =，所以12
y x '= 设()11,A x y ，()22,B x y ，
1l ：()211142x x y x x -=-，2l ：()2
22242
x x
y x x -=-
由于12l l ⊥，所以
12
122
x x ⋅=-，即124x x =- 设直线l 方程为y kx m =+，与抛物线方程联立，得2
4y kx m
x y
=+⎧⎨
=⎩所以2440x kx m --= 216160k m ∆=+>，124x x k +=，1244x x m =-=-，所以1m =，即l ：1y kx =+ 联立方程2
112
222424
x x y x x x y x ⎧=-
⎪⎪
⎨
⎪=-⎪⎩
得21x k y =⎧⎨=-⎩，即：()2,1M k - M 点到直线l
的距离d =
=
()2||41AB k =
=+
所以(
)()3222
1414142S k k =⨯+=+≥
当0k =时，MAB △面积取得最小值4．
15．（2019·广东高三月考（文））已知直线:10l x y -+=与焦点为F 的抛物线
2
:2(0)C y px p =>相切.
（Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）过点F 的直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点到直线l 的距离之和的最小值. 【答案】（Ⅰ）2
4y x =
（Ⅱ）2
【解析】
（Ⅰ）将:10l x y -+=与抛物线2
:2C y px =联立得：2
220y py p -+= l 与C 相切 2480
p p ∴∆=-=，解得：2p = ∴抛物线C 的方程为：24y x =
（Ⅱ）由题意知，直线m 斜率不为0，可设直线m 方程为：1x ty =+
联立241
y x x ty ⎧=⎨=+⎩得：2
440y ty --=
设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t += 2
121211
42x x t y t y t ∴+=+++=+ ∴线段AB 中点()
221,2M t t +
设,,A B M 到直线l 距离分别为,,A B M d d d
则2
2
13
22124
A B M d d d t t ⎫+===-+=-+⎪⎭
2
133244t ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭ ∴当12t =时，2
min
133244t ⎛⎫-+
= ⎪⎝⎭ ,
A B ∴两点到直线l 的距离之和的最小值为：342
= 16．（2019·河南南阳中学高三月考）已知平面上一定点()2,0C 和直线:8l x =，P 为该平面上一动点，作
PQ l ⊥，垂足为Q ，且11022PC PQ PC PQ ⎛⎫⎛⎫
+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（1）求动点P 的轨迹方程；
（2）若EF 为圆22
:(1)1+-=N x y 的任一条直径，求PE PF ⋅的最小值．
【答案】（1）
22
11612
x y +=（2）12-
【解析】
（1）设(),P x y ，则()8,Q y ()2,PC x y ∴=--，()8,0PQ x =-
221110224PC PQ PC PQ PC PQ ⎛⎫⎛⎫
+⋅-=-= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
()()2
22
12804x y x ∴-+--=，整理可得：22
11612
x y +=
P ∴的轨迹方程为：
22
11612
x y += （2）由题意知，圆N 的圆心为：()0,1，则,E F 关于()0,1对称
设(),P x y ，()cos ,1sin E θθ+ ()c o s ,1s i n F θθ∴--
()cos ,sin 1PE x y θθ∴=-+-，()cos ,sin 1PF x y θθ=---+- ()()2
2
2222cos 1sin 11PE PF x y x y θθ∴⋅=-+--=+--
∴要求PE PF ⋅得最小值，只需求解出点P 到点()0,1的距离d 的平方的最小值
设()
4cos ,23sin P αα
()
2
22
216cos 14sin 17d αααα=+-=--+
[]
sin 1,1α∈- ∴当sin 1α=时，2d 取最小值：13-()
2
min min
113112PE PF
d ∴⋅=-=-=-17．（2019·湖南长沙一中高三月考（理））如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22
221(0)
x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆C 上一点，且2PF 垂直于x 轴，连结1PF 并延长交椭圆于另一点Q ，设1
PQ FQ λ=
(1)若点P 的坐标为31,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，求椭圆C 的方程;
(2)若34λ≤≤，求椭圆C 的离心率的取值范围
【答案】(1) 22143x y +=；(2) [53
【解析】
(1)∵2PF 垂直于x 轴，且点P 的坐标为31,2⎛⎫
⎪⎝⎭
∴2221a b c -==，
221914a b
+=，解得24a =，23b = ∴椭圆C 的方程为22
143
x y +=.
(2)∵2PF x ⊥轴，不妨设P 在x 轴上方，0(),P c y ，00y >，设11(,)Q x y
∵P 在椭圆上，∴220221y c a b +=.解得2
0b y a =，即2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
∵1()0F c -，，由1
PQ FQ λ=得2
1111(),b x c x c y y a
λλ-=+-=， 解得2111,1(1)b x c y a λλλ+=-=---，∴2
1(,)1(1)b Q c a
λλλ+---- ∵点Q 在椭圆上
∴2222
1()11(1)b e a
λλλ++=--，即2222(1)(1)(1)e e λλ++-=- ∴2
(2)2e λλ+=-，从而2
24
122
e λλλ-=
=-++ ∵34λ≤≤，∴
211
53
e ≤≤
e ≤≤
∴椭圆C 的离心率的取值范围是53
. 18.（2009·全国高考真题（文））如图，已知抛物线2
:E y x =与圆222
:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、
B 、
C 、
D 四个点. （Ⅰ）求r 的取值范围
（Ⅱ）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC 、BD 的交点P 的坐标.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（）
【解析】 （Ⅰ）联立方程组
与，可得
，所以方程由两个不等式正根
由此得到解得，所以r 的范围为
（Ⅱ）不妨设E 与M 的四个交点坐标分别为设
直线AC,BD 的方程分别为
，
解得点p 的坐标为设t=，由t=及（1）可知
由于四边形ABCD 为等腰梯形，因而其面积
将代入上式，并令，得
求导数，
令，解得
当时，，当，；当时，
当且仅当时，由最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P 的坐标为（）
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