八年级数学上册11.2.1 三角形的内角

利用上面的结果，你能得出什么结论？
直角三角形的两个锐角互余．
B
C
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，
A
直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．
B
C此性质的几何推理格式该怎样 Nhomakorabea示？A
在Rt△ABC 中， ∵ ∠C =90°， ∴ ∠A +∠B =90°．
B
C
例3 如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相 交于点E，∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？
分析：两个角的关系 是什么？这两个角分别在 什么三角形中？你如何验 证自己的想法？
A
C D
E
B
例3 如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相 交于点E，∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？
解：在Rt△AEC 中，
∵ ∠C =90°，
C
∴ ∠CAE +∠AEC =90°
（直角三角形两锐角互余）．
在Rt△BDE 中，
∵ ∠D =90°，
A
D E
B
例3 如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相 交于点E，∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？
解：∴ ∠DBE +∠BED =90°
（直角三角形两锐角互余）． C ∵ ∠AEC =∠BED （对顶角相等），
D E
∴ ∠CAE =∠DBE
（等角的余角相等）． A
l B2
A
1 5
46
P
m
n 3C
追问4 通过前面的操作和证明过程，你
能受到什么启发？你能用其他方法证明此定
理吗？
l
m
A
5
1
4
6
n
P
B2
3C
知识点2 运用三角形内角和定理
例1 如图，在△ABC 中， ∠BAC =40°， ∠B = 75°，AD 是△ABC 的角平分线．求∠ADB
的度数．
解：∵ 由∠BAC=40 ° ， AD 是 △ABC 的角平分线，得 ∠BAD = 1 ∠BAC = 20°.
武汉天成贵龙文化传播有限公司 湖北山河律师事务所
证明：过点A 作直线l ，使l ∥BC． ∵ l ∥BC ， ∴ ∠2 = ∠4，
∠3 = ∠5 （两直线平行，内错角相等） ．B 2
A
l
41 5
3C
追问3 结合下图，你能写出已知、求证和 证明吗？ 已知：△ABC．求证：∠A +∠B + ∠C = 180°．
证明：∵ ∠1 + ∠4 + ∠5 = 180° （平角定义）， ∴ ∠A + ∠B + ∠C = 180° （等量代换）．
是直角三角形．
A
B
D
变式2 若∠ACD =∠B，CD ⊥AB，△ACB 为直角三角形吗？为什么？
C 是．
有两个角互余的三 角形是直角三角形．
A
B
D
变式3 如图，若∠C =90°，∠AED =∠B， △ADE 是直角三角形吗？为什么？
C 是．
有两个角互余的三
角形是直角三角形． B
E
（证明过程略）．
解：
∠CAB=∠BAD - ∠CAD 北
C
北
E
=80 °- 50 °
D
=30 °.
B
A
过C 点作正南方向线，则有
∠1 = ∠3 ，∠2 = ∠4
（两直线平行，内错角相等），
∴∠ACB = ∠1 + ∠2
= ∠3 + ∠4 北
= 50°+ 40° D
= 90°
3
（等量代换）． A
C
北
E 12
4
B
南
练习1 如图，说出各图中∠1 的度数．
B2
A
l
41 5
3C
追问4 通过前面的操作和证明过程，你 受到了什么启发？你还能用其他方法证明此 定理吗？
追问4 通过前面的操作和证明过程，你 能受到什么启发？你能用其他方法证明此定 理吗？
A
m
l
1
5
B 24
6
P
3C
追问4 通过前面的操作和证明过程，你 能受到什么启发？你能用其他方法证明此定 理吗？
方法：度量、剪拼、折叠
BAC
A
B
C
B
CA B
方法：度量、剪拼、折叠
A
C AB
B
B C
B
C
A
方法：度量、剪拼、折叠
A
B
C
追问1 运用度量的方法，得出的三个内 角的和都是180°吗？为什么？
不一定，测量可能会有误差．
追问2 通过度量、剪拼或折叠的方法验证了 手中的三角形纸片的三个内角和等于180°，但我 们手中的三角形只是所有三角形中有限的几个，而 形状不同的三角形有无数个，我们如何能得出“所 有的三角形的三个内角的和都等于180°”这个结 论呢？
• 学习目标： 1．通过经历探究活动的过程，得出三角形的 内角和定理.
2．能运用平行线的性质证明内角和定理. 3．能应用三角形内角和定理推导并归纳直角
三角形的性质与判定.
推进新课
知识点1 探索并证明三角形内角和定理
在小学我们已经知道任意一个三角形三个内 角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论 的吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究．
需要通过推理去证明．
你能从以上的操作过程中受到启发，想出证明 “三角形内角和等于180°”的方法吗？
追问1 在下图中，∠B 和∠C 分别拼在 ∠A 的左右，三个角合起来形成一个平角，出 现了一条过点 A 的直线 l，直线 l 与边 BC 有 什么位置关系？
l BA C
直线 l 与边 BC 平行．
A
有两个角互余的三角 形是直角三角形．
B
C
直角三角形的两个锐角互余．
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
声明
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除此以外，将本文件任何内容用于其他用途时，应获 得授权，如发现未经授权用于商业或盈利用途将追加侵权 者的法律责任。
∠_B__=_∠___A_C__D____，互余的角有：___∠__A__与__∠___B，
∠A与_∠__A__C_D__，___∠__B_与___∠__B__C_D__，__∠___A_C__D__与__∠__B__C. D
综合应用
3.如图，在△ABC 中，∠ABC= 70°，
∠C=65°，BD⊥AC于D，求∠ABD，∠CBD
2 在△ABD中， ∠ADB =180°– ∠B – ∠BAD
=180° – 75° – 20° =85°.
例2 如图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，
B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏
西40°方向．从B 岛看A，C 两岛的视角∠ABC
是多少度？从C岛看A，B 两岛的视角∠ACB 呢？
B
知识点4 探索直角三角形的判定
我们知道，如果一个三角形是直角三角形， 那么这个三角形有两个角互余．反过来，你能得 出什么结论？这个结论成立吗？如何验证你的想 法？
利用三角形内角和定理可得： 有两个角互余的三角形是直角三角形．
类比性质的几何推理格式，判定的几
何推理格式又该怎样表示？
A
推理格式：
在Rt△ABC 中，
的度数.
解：∵∠ABC = 70°，∠C = 65°， ∴∠A = 180°–∠ABC –∠C = 45°. ∵BD⊥AC， ∴∠ADB =∠CDB = 90°， ∴∠ABD = 90°–∠A = ∠45°， ∠CBD = 90° – ∠C = 25°.
l BA C
B
C
课堂小结
三角形内角和 等于180°.
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
• R·八年级上册
新课导入
• 前面我们学习了与三角形有关的线段，今天我 们就来学习与三角形有关的角. 三角形内角和 定理是本章的重要内容，也是“图形与几何” 必备的知识基础．它从“角”的角度刻画了三 角形的特征．三角形内角和定理的探究体现了 由实验几何到论证几何的研究过程，同时也说 明了证明的必要性．
∵ ∠A +∠B =90°，
∴ △ABC 是直角三角形．
B
C
练习 如图，∠ACB =90°，CD⊥AB，垂 足为D，∠ACD 与∠B 有什么关系？为什么？
C 相等． 同角的余角相等．
A
B
D
变式1 若∠ACD =∠B，∠ACB =90°，则 CD 是△ACB 的高吗？为什么？
是．
C
有两个角互余的三角形
D A
基础巩固
随堂演练
1.△ABC中，∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3， 则∠A=__3__0_°_，∠B = ____6_0_°，∠C = ____9_0_°.
2.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则 图中除直角外相等的角有____∠__A__=__∠__B__C_D__，_
80°
50°
50°1
（1）
105°
1 45° 30° （2）
68°1
22°
（3）
练习2 如图，从A 处观测C 处的仰角 ∠CAD = 30°，从B 处观测C 处的仰角∠CBD = 45°．从C 处观测A，B 两处的视角∠ACB
是多少？ C
∠ACB =∠ACD – ∠BCD = 60°– 45°=15°.
A B
D
问题 在△ABC 中，∠A =60°，∠B =30°， ∠C 等于多少度？你是用什么知识解决的？
A ∠C =90°，三角形 的三个内角和等于 180°。
B
C
知识点3 探索直角三角形的性质
在△ABC 中，若∠C =90°，你能求
A
出∠A，∠B 的度数吗？为什么？你能求
出∠A +∠B 的度数吗？
B
C
追问2 在操作过程中,我们发现了与边BC
平行的直线 l，由此，你又能受到什么启发？
你能发现证明“三角形内角和等于180°”的
思路吗？
l
通过添加与边 BC
BA C
平行的辅助线 l，利用
平行线的性质和平角的
定义即可证明该结论．
B
C
追问3 结合下图，你能写出已知、求证和 证明吗？ 已知：△ABC．求证：∠A +∠B + ∠C = 180°．