2019年高考数学附加题专题训练空间向量与立体几何

空间向量与立体几何
考纲要求：
1、理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量。

2、能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理判断一些平行于垂直问题
3、能用向量法证明线线、线面、面面等问题
例1、如图，在空间直角坐标系Oxyz 中，正四棱锥P ABCD 的侧棱长与底边长都为32，点M ，N 分别在
P A ，BD 上，且PM P A ＝BN BD ＝13
. (1) 求证：MN ⊥AD ；
(2) 求MN 与平面P AD 所成角的正弦值．
(2) 设平面P AD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．
由(1)得AD →＝(－3，－3,0)，AP →＝(－3,0,3)．
设MN 与平面P AD 所成的角为θ，则
sin θ＝|cos 〈n ，MN →〉|＝223
. 所以MN 与平面P AD 所成角的正弦值为223
.(10分) 变式1、如图，已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，N 是BC 的中点，
点P 在直线A 1B 1上，且满足A 1P →＝λA 1B 1→(λ∈R )． (1) 当λ＝12
时，求直线PN 与平面ABC 所成角的正弦值． (2) 若平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为45°，求λ的值．
规范解答 (1) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，且AB ⊥AC ，故以AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Axyz ，如图：M 是CC 1的中点，N 是BC 的中点，
因为AA 1＝AB ＝AC ＝1，所以A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，A 1(0,0,1)，B 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，M ⎝
⎛⎭⎫0，1，12，
N ⎝⎛⎭⎫12，12，0.(2分)
又因为λ＝12
，且满足A 1P →＝λA 1B 1→，所以P ⎝⎛⎭⎫12，0，1，PN →＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1. 又向量AA 1→＝(0,0,1)是平面ABC 的一个法向量，所以直线PN 与平面ABC 所成的角θ的正弦值为
sin θ＝cos 〈PN →，AA 1→〉＝|PN →·AA 1→||PN →||AA 1→|＝1⎝⎛⎭⎫122＋1＝255，
令x ＝3，得m ＝(3,2λ＋1,2(1－λ))．
因为平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为45°，
平面ABC 的一个法向量为n ＝AA 1→＝(0,0,1)，所以
cos 〈m ，n 〉＝|m ·n ||m ||n |＝2|1－λ|9＋(2λ＋1)2＋4(1－λ)2＝22
， 解得λ＝－12
.(10分) 变式2、如图，在底面边长为l ，侧棱长为2的正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上的一点，CP ＝m .
(1) 若m ＝1，求异面直线AP 与BD 1所成角的余弦；
(2) 是否存在实数m ，使直线AP 与平面AB 1D 1所成角的正弦值是13
？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
即异面直线AP 与BD 1所成角的余弦值是23.(5分)
(2) 假设存在实数m ，使直线AP 与平面AB 1D 1所成的角的正弦值等于13
，则 D 1B 1→＝(1,1,0)，AD 1→＝(－1,0,2)，AP →＝(－1,1，m )．
设平面AB 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )．
由⎩⎪⎨⎪⎧ n ⊥D 1B 1→，n ⊥AD 1→，)得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝0，－x ＋2z ＝0，)取x ＝2，得平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．(7分) 由直线AP 与平面AB 1D 1所成的角的正弦值等于13，得|cos 〈AP →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－2＋m 3·m 2＋2＝13
，解得m ＝74. 因为0≤m ≤2，所以m ＝74满足条件，所以当m ＝74时，直线AP 与平面AB 1D 1所成角的正弦值等于13
.(10分) 变式3、如图，在棱长为3的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，A 1E ＝CF ＝1.
(1) 求异面直线AC 1与D 1E 所成角的余弦值；
(2) 求直线AC 1与平面BED 1F 所成角的正弦值．
规范解答 (1) 因为DA ，DC ，DD 1两两垂直，所以分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
(2) 设平面 BED 1F 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，又因为BE →＝(0，－3,2)，BF →＝(－3,0,1)，n ⊥BE →，n ⊥BF →，
所以n ·BE →＝0，n ·BF →＝0，
即⎩⎨⎧ －3y ＋2z ＝0，－3x ＋z ＝0，
令z ＝3，则x ＝1，y ＝2，所以n ＝(1,2,3)．(7分) 又AC 1→＝(－3,3,3)，所以
cos 〈AC 1→，n 〉＝AC 1→·n |AC 1→||n |
＝－3＋6＋91＋4＋9·9＋9＋9。