(江苏专用)2020版高考数学一轮复习加练半小时资料：专题5平面向量、复数第39练平面向量的应用理

第39练平面向量的应用

[基础保分练]

1．已知向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝5，则|a|＋|b|的取值范围是________．

PB→PC→PB→PC→PA→

2．点P是△ABC所在平面上一点，且满足|－|－|＋－2|＝0，则△ABC的形状是________三角形．

3．一艘船以4km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经3

过h，船的实际航程为________km.

AB→DC→AC→BD→

4．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD的形状为________．

5．一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°方向移动了8m，已知|F1|＝2N，方向为北偏东30°，|F2|＝4N，方向为北偏东60°，|F3|＝6N，方向为北偏西30°，则这三个力的合力所做的功为________J.

6．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝|a－b|，则|t a＋(1－t)b|(t∈R)的最小值

为________．

PB→PC→OB→OC→

7．设O是平面ABC内一定点，P为平面ABC内一动点，若(－)·(＋)

PC→PA→OC→OA→PA→PB→OA→OB→

＝(－)·(＋)＝(－)·(＋)＝0，则O为△ABC的________．

PA→PB→PC→AB→

8．(2019·镇江模拟)△ABC所在平面上一点P满足＋＋＝，则△PAB的面积与△ABC的面积之比为________．

BD→BA→BC→

9.如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DCA＝2∠BAC，若＝x＋y(x，y∈R)，则x－y＝________.

PA→PC→

10．已知P为锐角△ABC的AB边上一点，A＝60°，AC＝4，则|＋3|的最小值为

________．

[能力提升练]

AB→AC→AB→AC→AB→AC→AB→AC→

1．已知，是非零向量且满足(－2)⊥，(－2)⊥，则△ABC的形状是

________三角形．

2．(2018·扬州考试)在平面上，

⊥，||＝||＝1，＝＋.若||<，则|

AB 1→ AB 2→ OB 1→ OB 2→ AP → AB 1→ AB 2→ OP → 12|的取值范围是________．OA → 3．在△ABC 中，已知·＝0，且·＝，则△ABC 是________三角(AB → |AB → |＋AC → |AC → |)

BC → AB → |AB → |BC → |BC → |22形．

4．设点G 为△ABC 的重心，·＝0，且||＝，则△ABC 面积的最大值是________．

BG → CG → BC → 25．(2019·盐城模拟)在△ABC 中，tan A ＝－3，△ABC 的面积S △ABC ＝1，P 0为线段BC 上一定

点，且满足CP 0＝BC ，若P 为线段BC 上任意一点，且恒有·≥·，则线段BC

13PA → PC → P 0A → P 0C → 的长为________．

6．已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值是________．

答案精析

基础保分练

1．[5,5]　2.直角　3.6　4.菱形25．24　6.　7.外心　8.1∶3

625

59．－1

解析　如图，过D 作BC 的垂线，交BC 的延长线于M ，

设∠BAC ＝α，

则∠ACD ＝2α，

∠ACB ＝90°－α，

∴∠DCM ＝180°－2α－(90°－α)

＝90°－α，

∴Rt△ABC ∽Rt△DMC ，

∴＝＝k (k 为相似比)．

DM AB CM

BC 又B ＝x ＋y ＝＋，

D → BA → BC → MD → BM → ∴x ＝＝k ，

DM

AB y ＝＝＝k ＋1，

BM BC BC ＋CM

BC ∴x －y ＝－1.

10．63

解析　＋3＝＋3(＋)

PA → PC → PA → PA → AC → ＝4＋3，

PA → AC → (4＋3)2

PA → AC → ＝16||2＋9||2＋24||||cos120°

PA → AC → PA → AC → ＝16||2－48||＋144，

PA → PA → ∴当||＝时，(4＋3)2最小为108.

PA → 32PA → AC → 故|＋3|min ＝6.

PA → PC → 3

能力提升练

1．等腰　2.　3.等腰直角(72，2]4.32

解析　由·＝0，可得BG ⊥CG ，

BG → CG → 取BC 的中点D ，则GD ＝，GA ＝，

2

22设GC ＝2x ，GB ＝2y ，所以三角形的面积为

S ＝2x ·2y ·＋2x ··sin∠CGA ·＋2y ··sin∠BGA ·，

1221221

2且∠CGA ＋∠BGA ＝270°，

所以S ＝2xy ＋x sin∠CGA －

2y cos∠CGA

2＝2xy ＋sin(∠CGA ＋φ)．

2 x 2＋y 2 而BG ⊥CG ，故在Rt△BCG 中4x 2＋4y 2＝2，即x 2＋y 2＝，

1

2所以S ＝2xy ＋sin(∠CGA ＋φ)．

又x 2＋y 2＝≥2xy ，

1

2所以S max ＝2xy ＋sin(∠CGA ＋φ)

≤＋1＝.

123

25.6

解析　取AC 的中点M ，

则·＝(＋)·(＋)＝2－2，所以当MP ⊥BC 时，·取得最小值，因为PA → PC → PM → MA → PM → MC → PM → MC → PA → PC → 恒有·≥·，所以MP 0⊥BC ，过A 作AN ⊥BC 于N .设AN ＝h ，CP 0＝m ，

PA → PC → P 0A → P 0C → 则NP 0＝m ，BN ＝m ，因为S △ABC ＝1，

所以h ·3m ＝1；因为tan A ＝－3，1

2所以tan(∠BAN ＋∠CAN )＝

＝－3，m h ＋2m h

1－m h ·2m h 所以＝1(舍负)，因此m ＝，BC ＝3m ＝.

m

h 636