多元函数的求导法则

第四节 多元复合函数的求导法则

教学目的：使学生熟练掌握多元复合函数的求导法则；了解函数全微

分形式不变性:。

教学重点：复合函数的中间变量均为多元函数的求导法则

教学过程：

一、 复合函数的中间变量均为一元函数的情形

定理1 如果函数u =ϕ(t )及v =ψ(t )都在点t 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(t ), ψ(t )]在点t 可导, 且有

dt

dv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=. 简要证明1: 因为z =f (u , v )具有连续的偏导数, 所以它是可微的, 即有

dv v

z du u z dz ∂∂+∂∂=. 又因为u =ϕ(t )及v =ψ(t )都可导, 因而可微, 即有

dt dt du du =, dt dt

dv dv =, 代入上式得

dt dt dv v z dt dt du u z dz ⋅∂∂+⋅∂∂=dt dt

dv v z dt du u z )(⋅∂∂+⋅∂∂=, 从而 dt

dv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=. 简要证明2: 当t 取得增量∆t 时, u 、v 及z 相应地也取得增量∆u 、∆v 及∆z . 由z =f (u , v )、u =ϕ(t )及v =ψ(t )的可微性, 有

)(ρo v v z u u z z +∆∂∂+∆∂∂=∆)()]([)]([ρo t o t dt

dv v z t o t dt du u z +∆+∆∂∂+∆+∆∂∂= )()()()(ρo t o v

z u z t dt dv v z dt du u z +∆∂∂+∂∂+∆⋅∂∂+⋅∂∂=, t

o t t o v z u z dt dv v z dt du u z t z ∆+∆∆∂∂+∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=∆∆)()()(ρ

, 令∆t →0, 上式两边取极限, 即得

dt dv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=. 注:0)()(0)()()(lim )(lim 222200=+⋅=∆∆+∆⋅=∆→∆→∆dt dv dt du t v u o t o t t ρ

ρρ. 推广: 设z =f (u , v , w ), u =ϕ(t), v =ψ(t ), w =ω(t ), 则z =f [ϕ(t), ψ(t ), ω(t )]对t 的导数为: dt

dw w z dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂+∂∂=.

上述dt

dz 称为全导数.

二、 复合函数的中间变量均为多元函数的情形

定理2 如果函数u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y )都在点(x , y )具有对x 及y 的偏导数, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(x , y ), ψ(x , y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有

x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂

∂. 推广: 设z =f (u , v , w ), u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y ), w =ω(x , y ), 则

x w w z x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, y w w z y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂

∂. 讨论:

(1)设z =f (u , v ), u =ϕ(x , y ), v =ψ(y ), 则=∂∂x

z ？=∂∂y z ？ 提示: x u u z x z ∂∂⋅∂∂=∂∂, dy dv v z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂

∂. (2)设z =f (u , x , y ), 且u =ϕ(x , y ), 则=∂∂x

z ？=∂∂y z ？ 提示: x f x u u f x z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂, y f y u u f y z ∂∂+∂∂∂∂=∂

∂

. 这里x z ∂∂与x f ∂∂是不同的, x

z ∂∂是把复合函数z =f [ϕ(x , y ), x , y ]中的y 看作不变而对x 的偏导数, x

f ∂∂是把f (u , x , y )中的u 及y 看作不变而 对x 的偏导数. y z ∂∂与y f ∂∂也朋类似的区别.

三、复合函数的中间变量既有一元函数, 又有多元函数的情形

定理3 如果函数u =ϕ(x , y )在点(x , y )具有对x 及对y 的偏导数, 函数v =ψ(y )在点y 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(x , y ), ψ(y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有

x u u z x z ∂∂⋅∂∂=∂∂, dy dv v z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂

∂.

例1 设z =e u sin v , u =xy , v =x +y , 求x

z ∂∂和y z ∂∂. 解 x

v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ =e u sin v ⋅y +e u cos v ⋅1

=e x y [y sin(x +y )+cos(x +y )],

y

v v z y u u z y z ∂∂

⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ =e u sin v ⋅x +e u cos v ⋅1

=e xy [x sin(x +y )+cos(x +y )].

例2 设222),,(z y x e z y x f u ++==, 而y x z sin 2=. 求x

u ∂∂和y u ∂∂. 解 x

z z f x f x u ∂∂

⋅∂∂+∂∂=∂∂ y

x ze xe z y x z y x sin 2222

22222⋅+=++++ y x y x e y x x 2422sin 22)sin 21(2++++=. y

z z f y f y u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂ y

x ze ye z y x z y x cos 2222

22222⋅+=++++ y x y x e y y x y 2422sin 4)cos sin (2+++=. 例3 设z =uv +sin t , 而u =e t , v =cos t . 求全导数dt

dz . 解 t

z dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂= =v ⋅e t +u ⋅(-sin t )+cos t

=e t cos t -e t sin t +cos t

=e t (cos t -sin t )+cos t .

例4 设w =f (x +y +z , xyz ), f 具有二阶连续偏导数, 求x w ∂∂及z

x w ∂∂∂2. 解 令u =x +y +z , v =xyz , 则w =f (u , v ).

引入记号: u

v u f f ∂∂='),(1, v u v u f f ∂∂∂='),(12; 同理有2f ',11f '',22f ''等. z

f yz f y z f f yz f z z x w ∂'∂+'+∂'∂='+'∂∂=∂∂∂221212)( 2

22121211f z xy f yz f y f xy f ''+''+'+''+''= 2

221211)(f z xy f y f z x y f ''+'+''++''=. 注: 1211111f xy f z v v f z u u f z f ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂, 22

21222f xy f z v v f z u u f z f ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂. 例5 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 把下列表达式转换成极坐标系中的形式: