《高等数学》PPT课件-第8课 曲面,级数,微分方程及真题

收敛, 则级数 发散, 则级数
也收敛; 也发散.
定理3 (比较审敛法的极限形式) 正项级数, 满足
则有
(1) 当 0 < l <+∞ 时, 两个级数同时收敛或发散; (2) 当 l = 0
(3) 当 l =+∞
定理4 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且
则
(1) 当 (2) 当 说明:当
法向量
——平面的一般方程
三、两平面的夹角 定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.
（取锐角）
两平面夹角余弦公式：
二 空间直线及其方程 一、空间直线的各种方程 二、线面间的位置关系
一、空间直线的方程形式 1. 空间直线的一般形式
定义 空间直线可看成两平面的交线.
L
(1)
空间直线的一般式方程. (形式不唯一)
2.对称式——点向式方程
定义 如果一非零向量平行于一条 已知直线, 称此向量为该直线的 方向向量.
设一直线过 其方向向量为的
， 此直线方程为
二、线面间的位置关系 1. 两直线的夹角 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(取锐角) 设直线 L1, L2 的方向向量分别为
则两直线夹角 满足
特别有:
曲面及其方程
若未知函数和未知函数的导数都是一次有理式， 则称其为一阶线性微分方程.
2.一阶线性微分方程的分类
当
时，方程（1）称为一阶线性齐次微分方程.
当
时，方程（1）称为一阶线性非齐次微分方程.
一阶齐次线性微分方程的解法
分离变量 两边积分，得 由于y=0也是方程的解. 所以通解为
线性非齐次方程 一阶线性非齐次微分方程的通解为:
时, 级数收敛; 时, 级数发散.
时,级数可能收敛也可能发散.
定理5 根值审敛法 ( Cauchy判别法)
设
为正项 级数,且
则
说明:
时,级数可能收敛也可能发散.
幂级数
一、幂级数及其收敛性 二、幂级数的运算
一、幂级数及其收敛性 定义 形如
的函数项级数称为幂级数,
其中数列
称为幂级数的系数.
下面着重讨论 的情形 , 即
幂级数的收敛性
定理1 (Abel定理) 若幂级数
则对满足不等式 反之,若当 则对满足不等式
发散
的一切 x 幂级数都绝对收敛.
时该幂级数发散,
的一切 x ,幂级数也发散.
收敛
收敛 发散 发散
由Abel 定理,
收敛区间是以原点为中心的区间.
用 ±R 表示幂级数收敛与发散的分界点,
则
R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛;
=0的图形 .
曲面S 1-1对应 F (x, y, z) =0(三元方程）
研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． （2）已知曲面方程，研究曲面形状．
例1 求动点到定点 解 设轨迹上动点为 即 故所求方程为
特别,当M0在原点时,球面方程为
距离为 R 的轨迹方程. 依题意
收敛的必要条件
说明：1.逆命题不成立. 级数发散.
第二节 常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛
一、正项级数及其审敛法
若
则称
为正项级数.
定理1 正项级数
收敛
部分和序列
注：
有界.
定理2 (比较审敛法)
设
是两个正项级数,有
(1)若级数 (2)若级数
M M0
表示上(下)球面 .
四、二次曲面 三元二次方程
的图形通常为二次曲面. 基本类型有:
(二次项系数不全为 0 )
椭球面、抛物面、双曲面、锥面
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
1.椭球面 z
1 用坐标面z = 0 , x = 0和y =
O y
0去截割,分别得椭圆
x
椭球面的几种特殊情况： 球面方程可写为
常微分方程（数一）
可分离变量的微分方程
形如 的微分方程.
的微分方程，称为可分离变量
可分离变量方程 1.分离变量：
的解法:
2.方程两边求积分：
——微分方程的通解.
例1 求微分方程
的通解.
解 方程是可分离变量的微分方程，
分离变量，得
两边积分，得 所求微分方程的通解为
一阶线性微分方程 1.定义 形如
旋转椭球面 球面
内容小结: 球面 平面
旋转曲面: 曲线
绕 z 轴的旋转曲面:
柱面 曲面
表示母线平行 z 轴的柱面.
无穷级数(数一)
无穷级数
数项级数 幂级数 傅氏级数
无穷级数是研究函数的工具
表示函数 研究性质 数值计算
第一节 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件
可设特解
例2. 解： 其根为
特征方程为
设非齐次方程特解为
代入方程得
比较系数, 得
的通解.
因此特解为 对应齐次方程的通解为 所求通解为
数一
数一
数一
数二
数二
数二
数一Βιβλιοθήκη 数二数一数一
数二
数二
二阶常系数齐次线性微分方程
一、二阶常系数线性微分方程 二阶常系数线性微分方程的标准形式
当
称为二阶常系数齐次线性方程.
当
称为二阶常系数非齐次线性方程.
二阶常系数齐次线性方程：
特解,
是二阶线性齐次方程的两个线性无关
是该方程的通解.
二、二阶常系数齐次线性方程解法
---特征方程法
猜想该方程具有
形式的解，
一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面
一、曲面方程的概念
定义:若曲面S与三元方程F (x, y, z) = 0 有如下关系:
(1) S上任一点的坐标都满足方程F (x, y, z) =0;
z F (x, y, z) = 0 S
(2)坐标满足方程F (x, y, z) =0的点
o
都在S上;
x
y
方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲面S叫做方程F (x, y, z)
将其代入上方程, 得 故有
特征根
特征方程
特征方程
微分方程
特征根 实根
通解表达式
例1. 解: 特征方程
特征根: 原方程的通解为
的通解.
常系数非齐次线性微分方程 ①
小结： (1) 若 不是特征方程的根, (2) 若 是特征方程的单根 , (3) 若 是特征方程的重根 , 当 是特征方程的 k 重根时,
第五章 空间解析几何（数一）
一 平面及其方程 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角
一、平面的点法式方程 1. 点法式方程（已知法向量）
定义 如果一非零向量垂直于一
平面, 称此向量为该平面的法线
向量(法向量).
2. 点法式方程
设法向量 平面的点法式方程为
及平面上的定点
二、平面的一般方程 由平面的点法式方程
R = + 时, 幂级数在 (－∞, +∞) 收敛;
幂级数在 (－R , R ) 收敛;
在[－R , R ]
外发散; 在
可能收敛也可能发散.
R 称为收敛半径， (－R , R ) 称为收敛区间.
(－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.
定理2 若
的系数满足
则 (1) 当 ≠0 时, (2) 当 ＝0 时, (3) 当 ＝+∞时,